Oppgavesamling: Tall og algebra

Oppgavesamling: Tall og algebra#

Oppgave 1#

Skriv kvadratrøttene så enkelt som mulig.

a)
\[ \sqrt{324} \]
\[ \sqrt{324} = 18 \]
2026-09-21T19:29:23.574717 image/svg+xml Matplotlib v3.10.8, https://matplotlib.org/

Vi primtallsfaktoriserer \(324\) som gir

\[ 324 = 2^2 \cdot 3^4 \]

Kvadratroten av \(324\) kan skrives som

\[ \sqrt{324} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4} = 2 \cdot 3^2 = 18 \]
b)
\[ \sqrt{360} \]
\[ \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \]
2026-09-21T19:30:22.112961 image/svg+xml Matplotlib v3.10.8, https://matplotlib.org/

Vi primtallsfaktoriserer \(360\) som gir

\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

Kvadratroten av \(360\) kan skrives som

\[ \sqrt{360} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 5} = 6\sqrt{10} \]
c)
\[ \sqrt{2016} \]
\[ \sqrt{2016} = 12\sqrt{14} \]
2026-09-22T13:24:06.911615 image/svg+xml Matplotlib v3.11.2, https://matplotlib.org/

Vi primtallsfaktoriserer \(2016\) som gir

\[ 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \]

Tar vi kvadratroten av dette får vi

\[ \sqrt{2016} = \sqrt{2^5 \cdot 3^2 \cdot 7} = 2^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 7} = 12\sqrt{14} \]

Oppgave 2#

a)

Skriv så enkelt som mulig.

\[ \sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12} \]
\[ 6\sqrt{3} \]

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \sqrt{75} &= \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \\ \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \\ \\ \sqrt{12} &= \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \\ \end{align*} \end{split}\]

Altså er

\[ \begin{align*} \sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12} &= 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \end{align*} \]
b)

Skriv så enkelt som mulig.

\[ \dfrac{\sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12}}{2\sqrt{3}} \]
\[ 3 \]

Fra oppgave a har vi at

\[ \sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12} = 6\sqrt{3} \]

Dermed blir brøken

\[ \dfrac{\sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3 \]
c)

Skriv så enkelt som mulig.

\[ \dfrac{\sqrt{125} + 3\sqrt{80} - \sqrt{20}}{\sqrt{45}} \]
\[ \dfrac{\sqrt{125} + 3\sqrt{80} - \sqrt{20}}{\sqrt{45}} = 5 \]

Vi skriver først alle kvadratrøttene så enkelt som mulig. Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \sqrt{125} &= \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \\ \\ \sqrt{80} &= \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \\ \\ \sqrt{20} &= \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \\ \\ \sqrt{45} &= \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \\ \end{align*} \end{split}\]

Så kombinerer vi resultatene som gir:

\[\begin{split} \begin{align*} \dfrac{\sqrt{125} + 3\sqrt{80} - \sqrt{20}}{\sqrt{45}} &= \dfrac{5\sqrt{5} + 3 \cdot 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} \\ \\ &= \dfrac{5\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} \\ \\ &= \dfrac{15\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} \\ \\ &= 5 \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 3#

Faktoriser uttrykkene.

a)
\[ x^2 - 4x + 4 \]
\[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \]

Vi bruker 2. kvadratsetning med \(a = x\) og \(b = 2\) som gir

\[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \]
b)
\[ x^2 + 2x + 1 \]
\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]

Vi bruker 1. kvadratsetning med \(a = x\) og \(b = 1\). Da får vi

\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]
c)
\[ x^2 - 100 \]
\[ x^2 - 100 = (x + 10)(x - 10) \]

Vi bruker konjugatsetningen med:

\[ x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x + 10)(x - 10) \]

Oppgave 4#

Utvid uttrykkene.

a)
\[ (x + 4)^2 \]
\[ x^2 + 8x + 16 \]

Vi utvider med 1. kvadratsetning:

\[ (x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \]
b)
\[ (3x - 9)^2 \]
\[ 9x^2 - 54x + 81 \]

Vi utvider med 2. kvadratsetning der \(a = 3x\) og \(b = 9\). Da får vi:

\[ (3x - 9)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 9 + 9^2 = 9x^2 - 54x + 81 \]
c)
\[ (x - 11)(x + 11) \]
\[ (x - 11)(x + 11) = x^2 - 121 \]

Vi bruker konjugatsetningen med:

\[ (x - 11)(x + 11) = x^2 - 11^2 = x^2 - 121 \]

Oppgave 5#

Faktoriser uttrykkene så mye som mulig.

a)
\[ (x + 3)^2 - 4 \]
\[ (x + 3)^2 - 4 = (x + 1)(x + 5) \]

Vi bruker konjugatsetningen med \(a = x + 3\) og \(b = 2\). Da får vi at

\[ (x + 3)^2 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 3 - 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5) \]
b)
\[ (x - 2)^2 - 9 \]
\[ (x - 2)^2 - 9 = (x - 5)(x + 1) \]

Vi bruker konjugatsetningen med \(a = x - 2\) og \(b = 3\). Da får vi at

\[ (x - 2)^2 - 9 = (x - 2)^2 - 3^2 = (x - 2 - 3)(x - 2 + 3) = (x - 5)(x + 1) \]
c)
\[ -(x + 1)^2 + 25 \]
\[ -(x + 1)^2 + 25 = -(x - 4)(x + 6) \]

Vi bruker konjugatsetningen med \(a = x + 1\) og \(b = 5\). Da får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} -(x + 1)^2 + 25 &= -(x + 1)^2 + 5^2 \\ \\ &= -(x + 1 - 5)(x + 1 + 5) \\ \\ &= -(x - 4)(x + 6) \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 6#

Utvid uttrykkene.

a)
\[ (2x - 1)^2 \]
\[ (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \]

Vi bruker 2. kvadratsetning med \(a = 2x\) og \(b = 1\). Da får vi:

\[ (2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1 \]
b)
\[ \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 \]
\[ \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 + x + \dfrac{1}{4} \]

Vi bruker 2. kvadratsetning med \(a = x\) og \(b = \frac{1}{2}\). Da får vi:

\[ \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + x + \frac{1}{4} \]
c)
\[ (3x - 4)^2 \]
\[ (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16 \]

Vi bruker 2. kvadratsetning med \(a = 3x\) og \(b = 4\). Da får vi

\[ (3x - 4)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 - 24x + 16 \]

Oppgave 7#

Faktoriser uttrykkene så mye som mulig.

a)
\[ 9x^2 - 6x + 1 \]
\[ 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 \]

Vi bruker 2. kvadratsetning der

\[ a^2 = 9x^2 \limplies a = 3x \]

og

\[ b^2 = 1 \limplies b = 1 \]

Da har vi også at \(2ab = 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x\) som passer. Dermed får vi:

\[ 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 \]
b)
\[ 4x^2 + 16x + 16 \]
\[ 4x^2 + 16x + 16 = (2x + 4)^2 \]

Vi bruker 1. kvadratsetning der

\[ a^2 = 4x^2 \limplies a = 2x \]

og

\[ b^2 = 16 \limplies b = 4 \]

Da er også \(2ab = 2 \cdot 2x \cdot 4 = 16x\) som stemmer med uttrykket. Dermed får vi: $\( 4x^2 + 16x + 16 = (2x + 4)^2 \)$

c)
\[ 4(x^2 - 2) - 28 \]
\[ 4(x^2 - 2) - 28 = 4(x - 3)(x + 3) \]

Vi starter med å gange ut parentesen for å skrive det enklere:

\[ 4(x^2 - 2) - 28 = 4x^2 - 8 - 28 = 4x^2 - 36 \]

Her kan vi faktorisere ut \(4\) og deretter bruke konjugatsetningen:

\[ 4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x^2 - 3^2) = 4(x - 3)(x + 3) \]

Oppgave 8#

Ta quizen!

Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann?

\[\dfrac{3}{2} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad \mathbb{N}\]
\[ \notin \]
\[ \in \]
\[ \implies \]
\[ \impliedby \]

Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann?

\[x = \dfrac{3}{2} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \langle -1, 3 \rangle\]
\[ \implies \]
\[ \impliedby \]
\[ \iff \]
\[ \in \]

Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann?

\[x \in \langle -1, 3\rangle \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \langle 0, 2\rangle\]
\[ \impliedby \]
\[ \implies \]
\[ \iff \]
\[ \in \]

Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann?

\[x \lt -2 \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \langle \gets, -4]\]
\[ \impliedby \]
\[ \implies \]
\[ \iff \]
\[ \in \]

Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann?

\[|x| = 3 \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x^2 = 9\]
\[ \iff \]
\[ \implies \]
\[ \impliedby \]
\[ \in \]

Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann?

\[x \in \mathbb{Z} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \mathbb{Q}\]
\[ \impliedby \]
\[ \implies \]
\[ \iff \]
\[ \in \]

Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann?

\[x \in \{-4, 2, 9\} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in [-4, 9]\]
\[ \implies \]
\[ \impliedby \]
\[ \iff \]
\[ \in \]

Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann?

\[x \in \mathbb{Q} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \mathbb{R}\]
\[ \notin \]
\[ \implies \]
\[ \impliedby \]
\[ \iff \]

Oppgave 9#

Skriv om påstandene med intervaller.

a)
\[ x \gt -2 \]
\[ x \in \langle -2, \to \rangle. \]
b)
\[ -2 \lt x \lt 3 \]
\[ x \in \langle -2, 3 \rangle \]
c)
\[ x \leq -3 \]
\[ x \in \langle \gets, -3] \]

Oppgave 10#

Skriv om påstandene med ulikheter.

a)
\[ x \in [0, 2\rangle \]
\[ 0 \leq x \lt 2 \]
b)
\[ x \in \langle \gets, 5\rangle \]
\[ x \lt 5 \]
c)
\[ x \in [3, \to\rangle \]
\[ x \geq 3 \]

Oppgave 11#

Faktoriser uttrykkene.

a)
\[ (x + 3)^2 - 36 \]
\[ (x + 3)^2 - 36 = (x - 3)(x + 9) \]

Vi bruker konjugatsetningen med \(a = x + 3\) og \(b = 6\) som gir

\[ (x + 3)^2 - 6^2 = (x + 3 - 6)(x + 3 + 6) = (x - 3)(x + 9) \]
b)
\[ (x - 1)^2 - 9 \]
\[ (x - 1)^2 - 9 = (x - 4)(x + 2) \]

Vi bruker konjugatsetningen med \(a = x - 1\) og \(b = 3\) som gir

\[ (x - 1)^2 - 3^2 = (x - 1 - 3)(x - 1 + 3) = (x - 4)(x + 2) \]
c)
\[ -(x + 4)^2 + 81 \]
\[ -(x + 4)^2 + 81 = -(x + 4 - 9)(x + 4 + 9) = -(x - 5)(x + 13) \]

Vi bruker konjugatsetningen med \(a = x + 4\) og \(b = 9\) som gir

\[ -(x + 4)^2 + 9^2 = -(x + 4 - 9)(x + 4 + 9) = -(x - 5)(x + 13) \]

Oppgave 12#

Faktoriser uttrykkene.

a)
\[ 16 - x^2 \]
\[ 16 - x^2 = (4 + x)(4 - x) = -(x + 4)(x - 4) \]

Vi kan faktorisere direkte med konjugatsetninge:

\[ 16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 + x)(4 - x) \]

eller så kan vi skrive først skrive om til

\[ 16 - x^2 = -(x^2 - 4^2) = -(x + 4)(x - 4) \]
b)
\[ 25 - 10x + x^2 \]
\[ 25 - 10x + x^2 = (x - 5)^2 \]

Vi omkrokkerer på uttrykket slik at vi kan gjenkjenne at dette bare er 2. kvadratsetning:

\[ 25 - 10x + x^2 = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 \]
c)
\[ (x^2 - 5)^2 - 25 \]
\[ (x^2 - 5)^2 - 25 = x^2(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \]

Vi bruker konjugatsetningen med \(a = x^2 - 5\) og \(b = 5\) som gir

\[ (x^2 - 5)^2 - 25 = (x^2 - 5 + 5)(x^2 - 5 - 5) = x^2(x^2 - 10) \]

Deretter kan vi faktorisere \((x^2 - 10)\) videre med konjugatsetningen ved å bruke \(a = x\) og \(b = \sqrt{10}\) som gir

\[ x^2 - 10 = (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \]

Dermed får vi den fullstendige faktoriseringen:

\[ (x^2 - 5)^2 - 25 = x^2(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \]
Innhold