Funksjonsbegrepet

Innhold

7. Funksjonsbegrepet#

Kunne finne funksjonsverdier til funksjoner representert med formler, graf, verditabell eller et program.
Kunne tolke funksjoner representert som grafer og finne funksjonsverdier, nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkter med koordinatakser.
Kunne bestemme definisjonsmengden og verdimengden til en funksjon fra grafen.

Når vi jobber med funksjoner, er koordinatsystemet et sentralt verktøy, så er det viktig at vi først og fremst forstår hvordan vi leser av koordinatene til punktet i et koordinatsystem:

Koordinatsystemet#

Koordinatsystemet består av to tallinjer som vi kaller for akser. De to aksene er:

$x$-aksen (den horisontale aksen - også kalt førsteaksen).
$y$-aksen (den vertikale aksen - også kalt andreaksen).

Punktet der aksene møtes kaller vi for origo. Origo har koordinatene $(0, 0)$.

For å finne et punkt $(x, y)$ i koordinatsystemet, går vi $x$ plasser parallelt med $x$-aksen og $y$ plasser parallelt med $y$-aksen. Da står vi på punktet $(x, y)$. Vi kaller $x$-verdien til punktet for $x$-koordinaten og $y$-verdien for $y$-koordinaten.

I figuren nedenfor vises et konkret eksempel med punktet $(3, 2)$.

Nå som vi vet hvordan vi leser av koordinatene til punktet i et koordinatsystem, kan vi gå videre til å definere hva en funksjon er.

Definisjon: Funksjoner#

En funksjon $f$ er en regel som tar inn et tall $x$, gjør noe med tallet og gir oss nøyaktig ett tall $y$. Vi skriver det som

\[ y = f(x) \]

Tallet $x$ kalles for argumentet, mens $f(x)$ kalles for funksjonsverdien. Vi leser $f(x)$ som “$f$ av $x$”.

Representasjoner#

En funksjon $f$ kan representeres på flere ulike måter:

Funksjonsuttrykk: En formel som lar oss regne ut funksjonsverdien $y = f(x)$ for et gitt argument $x$.
Graf: En kurve som består av punktene $(x, f(x))$ tegnet i et koordinatsystem.
Verditabell: En tabell som viser funksjonsverdiene $y = f(x)$ til funksjonen for ulike argumenter $x$.
Programkode: En programkode som beregner funksjonsverdien $y = f(x)$ for et gitt argument $x$.

For å illustrere de ulike representasjonene tar vi utgangspunkt i samme funksjon.

Eksempel 1#

Nedenfor ser du fire ulike representasjoner av den samme funksjonen $f$.

Funksjonsuttrykk

\[ f(x) = x^2 - 4 \]

Verditabell

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

Graf

Programkode

def f(x):
    return x**2 - 4

y = f(1)

print(y)

Bruk hver representasjon til å bestemme verdien til $f(1)$.

Funksjonsuttrykk:

Med funksjonsuttrykket $f(x) = x^2 - 4$ setter vi inn $x = 1$ i $f(x)$ for å regne ut funksjonsverdien $f(1)$:

\[ f(\textcolor{red}{1}) = \textcolor{red}{1}^2 - 4 = -3 \]

Graf:

Fra grafen kan vi lese av at når $x = 1$, så er $y = -3$. Dermed er $f(1) = -3$.

Verditabell:

Verditabellen er gitt ved

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

Fra tabellen kan vi se at når $x = 1$ så er $f(x) = -3$. Dermed er $f(1) = -3$.

Programkode:

Kjører vi programmet ovenfor, blir utskriften lik -3 som betyr at $f(1) = -3$.

Definisjonsmengder og verdimengder#

En funksjon $f$ kan ha en begrensning på hvilke verdier av $x$ som funksjonen er definert for. For eksempel vil funksjonen $f(x) = \sqrt{x}$ kun være meningsfull når $x \geq 0$ siden vi ikke kan regne ut kvadratroten av negative tall. Det finnes også situasjoner hvor vi selv velger hvilke $x$-verdier en funksjon skal gjelde for, for eksempel når vi vil lage en funksjon som skal brukes til en konkret situasjon vi ønsker å beskrive.

Tallene vi kan få når vi kun bruker $x$-verdier som gir mening vil også avgrense hvilke mulige funksjonsverdier $f(x)$ vi kan få.

Dette gir oss to ulike spesielle mengder som hører til funksjonen:

Definisjon: Definisjonsmengde og verdimengde#

En funksjon $f$ har to tilhørende mengder:

Definisjonsmengden $D_f$ til $f$ består av alle $x$-verdier der funksjonen er definert.
Verdimengden $V_f$ til $f$ består av alle funksjonsverdier $f(x)$ vi kan få når $x \in D_f$.

Vi markerer endepunktene til grafen til $f$ med klammeparenteser $[,]$ hvis endepunktet er med i definisjonsmengden. Vi bruker vinkelparenteser $\langle, \rangle$ hvis endepunktet ikke er med i definisjonsmengden.

Underveisoppgave 1#

Ta quizen!

Grafen til en funksjon $f$ er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser riktig definisjonsmengde?

\[ D_f = [-2, 4] \]

\[ D_f = \langle -2, 4\rangle \]

\[ D_f = [-4, 5] \]

\[ D_f = \langle -4, 5\rangle \]

Grafen til en funksjon $g$ er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser riktig definisjonsmengde?

\[ D_g = [-1, 2\rangle \]

\[ D_g = \langle-1, 2] \]

\[ D_g = \langle 1, 8] \]

\[ D_g = [1, 8\rangle \]

Grafen til en funksjon $h$ er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser riktig verdimengde?

\[ V_h = [-5, 3] \]

\[ V_h = [-5, 1\rangle \]

\[ V_h = [-3, 3\rangle \]

\[ V_h = [-5, -1] \]

Grafen til en funksjon $p$ er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser riktig verdimengde?

\[ V_p = [1, 3] \]

\[ V_p = [1, 5] \]

\[ V_p = \langle 1, 3 \rangle \]

\[ V_p = \langle 1, 5\rangle \]

Egenskaper ved funksjoner#

Det er spesielt tre sentrale egenskaper ved funksjoner vi skal bestemme igjen og igjen:

Sentrale egenskaper ved funksjoner#

For en funksjon $f$ vil følgende punkter gi oss sentrale egenskaper ved funksjonen:

Skjæringspunktet med $y$-aksen: Punktet der grafen til funksjonen krysser $y$-aksen.
Nullpunkter: Punkter der grafen til $f$ treffer $x$-aksen. Dette er punkter der $f(x) = 0$.
Ekstremalpunkter: Punkter der grafen snur. Et slikt punkt kaller vi for et bunnpunkt dersom grafen har formen rundt punktet, og for et toppunkt dersom grafen har formen rundt punktet.

Eksempel 2#

Grafen til en funksjon $f$ er vist i figuren til høyre.

Bruk grafen til å bestemme

Skjæringspunktet med $y$-aksen.
Nullpunktene til $f$.
Ekstremalpunktene til $f$.

1. Skjæring med $y$-aksen:

Fra grafen til $f$ kan vi se at grafen skjærer $y$-aksen i $(0, -2)$ som betyr at $f(0) = -2$.

2. Nullpunkter:

Grafen treffer $x$-aksen i to punkter $(-1, 0)$ og $(2, 0)$ som betyr at grafen har nullpunktene

\[ x = -1 \or x = 2 \]

Det er vanlig å oppgi nullpunktene med bare $x$-verdiene fordi $y = 0$ i punktene uansett.

3. Ekstremalpunkter:

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(-1, 0)$ og et bunnpunkt i $(1, -4)$ som er ekstremalpunktene til $f$.