Oppgaver: Standardform#
Oppgave 1#
Oppgave 2#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.
Bruk grafen til å bestemme \(f(0)\).
Å bestemme \(f(0)\) betyr å finne ut hvilken \(y\)-verdi grafen har når \(x = 0\). Vi kan se at grafen går gjennom punktet \((0, 3)\) som betyr at \(f(0) = 3\).
Bruk grafen til å finne \(f(1)\).
Å bestemme \(f(1)\) betyr å finne ut hvilken \(y\)-verdi grafen har når \(x = 1\). Vi kan se at grafen går gjennom punktet \((1, 1)\) som betyr at \(f(1) = 1\).
Finn stigningstallet til grafen til \(f\).
Når vi øker \(x\) med \(1\), så synker \(f(x)\) med \(-2\). Dermed er stigningstallet \(a = -2\).
Bestem konstantleddet til \(f(x)\).
Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\) som betyr at konstantleddet er \(b = 3\).
Bestem \(f(x)\).
Stigningstallet er \(a = -2\) og konstantleddet er \(b = 3\). Dermed er \(f(x)\) gitt ved
Oppgave 3#
En lineær funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem stigningstallet til grafen til \(f\).
Vi har at
Sammenligner vi det generelle uttrykket med det spesielle uttrykket, så ser vi at stigningstallet er
Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og \(y\)-aksen.
Vi har at
Konstantleddet er \(b = -1\) som betyr at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -1)\).
Lag ferdig verditabellen nedenfor.
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ |
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-5$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $5$ |
Tegn grafen til \(f\) i et koordinatsystem og marker punktene fra oppgave c).
Oppgave 4#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(f(x)\).
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -3)\) som betyr at konstantleddet er \(b = -3\). Flytter vi oss én enhet langs \(x\)-aksen, øker funksjonsverdien med \(1\). Dermed er stigningstallet \(a = 1\). Altså er
Grafen til en lineær funksjon \(g\) er vist i figuren til høyre.
Finn \(g(x)\).
Grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 2)\) som betyr at konstantleddet er \(b = 2\).
Øker vi \(x\) med 1, så synker funksjonsverdien med \(-1\) som betyr at stigningstallet er \(a = -1\).
Dermed er
Grafen til en lineær funksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(h(x)\).
Grafen til \(h\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -2)\). Ergo er konstantleddet \(b = -2\).
Øker vi \(x\) med \(1\), så øker funksjonsverdien med \(2\), som betyr at stigningstallet er \(a = 2\).
Dermed er
Grafen til en lineær funksjon \(p\) er vist i figuren til høyre.
Finn \(p(x)\).
Grafen til \(p\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\). Altså er konstantleddet \(b = 1\).
Øker vi \(x\) med \(1\), synker funksjonsverdien med \(-3\). Ergo er stigningstallet \(a = -3\).
Det betyr at
Oppgave 5#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(f(x)\).
Siden grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -4)\) er \(b = -4\).
Stigningstallet til grafen kan vi finne med topunktsformelen. Grafen går gjennom \((0, -4)\) og \((2, 0)\) som gir at
som gir stigningstallet
Dermed er
Grafen til en lineær funksjon \(g\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(g(x)\).
Grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\) som betyr at \(b = 1\).
Stigningstallet til grafen kan vi finne med topunktsformelen. Grafen til \(g\) går gjennom \((0, 1)\) og \((3, -8)\) som betyr at
Da blir stigningstallet
Dermed er
Grafen til en lineær funksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(h(x)\).
Grafen til \(h\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -3)\) som betyr at \(b = -3\).
Vi bruker topunktsformelen til å finne stigningstallet. Grafen går gjennom \((0, -3)\) og \((2, 1)\) som betyr at
Dermed er stigningstallet
Altså er
Oppgave 6#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist til høyre.
Bestem stigningstallet til grafen til \(f\).
Vi bruker topunktsformelen til å finne stigningstallet. Grafen går gjennom punktene \((-2, -5)\) og \((3, 5)\) som betyr at
Stigningstallet blir dermed
Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og \(y\)-aksen.
Vi vet at stigningstallet er \(a = 2\). For hver gang vi øker \(x\) med \(1\), så øker \(f(x)\) med \(2\).
For å komme til \(y\)-aksen, kan vi gå fra \(x = -2\) til \(x = 0\) som er to enheter langs \(x\)-aksen. Da må \(f(x)\) øke med \(2a = 2 \cdot 2 = 4\). Det betyr at
Dermed blir koordinatene til skjæringspunktet mellom \(f\) og \(y\)-aksen \((0, -1)\).
Bestem \(f(x)\).
Fra oppgave a) har vi at stigningstallet er \(a = 2\)
Fra oppgave b) har vi at konstantleddet er \(b = -1\) siden grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -1)\).
Dermed blir funksjonsuttrykket
Oppgave 7#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(f(x)\).
Vi bruker topunktsformelen til å finne stigningstallet til grafen til \(f\). Grafen går gjennom \((-3, 6)\) og \((2, 1)\) som betyr at
Dermed blir stigningstallet
Funksjonsverdien synker altså med \(-1\) hver gang vi øker \(x\) med \(1\). Det betyr at grafen vil synke med \(-3\) enheter fra \(x = -3\) til \(x = 0\). Derfor får vi at
Dermed blir konstantleddet \(b = 3\) og
Grafen til en lineær funksjon \(g\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(g(x)\).
Vi bruker topunktsformelen med \((-2, 0)\) og \((4, 3)\). Da får vi at
Stigningstallet er da
Hvis vi flytter oss \(2\) enheter fra \(x = -2\) til \(x = 0\), må funksjonsverdien øke med \(\dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1\). Det betyr at
Dermed blir konstantleddet \(b = 1\) og
Grafen til en lineær funksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(h(x)\).
Vi bruker topunktsformelen til å beregne stigningstallet. Grafen går gjennom \((-3, 2)\) og \((1, -2)\) som betyr at
Altså blir stigningstallet
Hvis vi flytter oss én enhet \(x = 1\) tilbake til \(x = 0\), må funksjonsverdien øke med \(1\) siden stigningstallet er \(a = -1\). Da vil grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -1)\). Ergo er \(b = -1\) og funksjonsuttrykket blir
Oppgave 8#
Tenk deg en lineær funksjon \(f\) er gitt ved \(f(x) = 2x + 4\).
Nullpunktet til \(f\) vil være den verdien av \(x\) der \(f(x) = 0\). Vi setter opp likningen:
så trekker vi fra \(-4\) på begge sider og får
Så deler vi med \(2\) på hver side av likningen som gir
Da er nullpunktet til \(f\) gitt ved \(x = -2\), eller \((-2, 0)\), men vi skriver gjerne bare \(x = -2\) siden \(y\)-koordinaten uansett er lik \(0\).
En lineær funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem nullpunktet til \(f\).
Vi løser likningen \(f(x) = 0\):
Altså er nullpunktet til \(f\) gitt ved \(x = 3\).
En lineær funksjon \(g\) er gitt ved
Bestem nullpunktet til \(g\).
Vi løser likningen \(g(x) = 0\):
Altså er nullpunktet \(x = 4\)
En lineær funksjon \(h\) er gitt ved
Bestem nullpunktet til \(h\).
Vi løser likningen \(h(x) = 0\):
Altså er nullpunktet \(x = \dfrac{2}{3}\)
Oppgave 9#
I figuren nedenfor vises grafene til to lineære funksjoner \(f\) og \(g\).
Bestem arealet av det fargelagte området i figuren.
Arealet \(A\) av en trekant med grunnlinje \(g\) og høyde \(h\) er gitt ved
Arealet er \(\dfrac{3}{2}\)
Vi finner først funksjonsuttrykket til \(f\). Vi har at \((0, 1)\) ligger på grafen til \(f\) som betyr at konstantleddet er \(b = 1\). Et annet punkt på grafen er \((2, -1)\). Med topunktsformelen får vi da
som gir stigningstallet
Altså er
Vi gjentar prosedyren med funksjonen \(g\). Denne skjærer \(y\)-aksen i \((0, -2)\) som betyr at konstantleddet er \(b = -2\). Et annet punkt på grafen er \((4, 0)\). Med topunktsformelen får vi da
som gir stigningstallet
Altså er
Høyden i trekanten blir \(1\) siden grafene møtes i \((2, -1)\).
Vi mangler å regne ut grunnlinja, og for å gjøre det må vi se på avstanden mellom nullpunktene til \(f\) og \(g\). For å gjøre det, må vi først finne nullpunktene til begge funksjoner.
Nullpunktet til \(f\) finner vi ved:
Nullpunktet til \(g\) finner vi ved
Altså blir grunnlinja
Derfor er arealet av trekanten gitt ved