Polynomfunksjoner

Læringsmål

• Kunne bestemme nullpunktene til polynomfunksjoner grafisk eller ved hjelp av nullpunktsformen.

• Kunne tegne fortegnslinjer for en polynomfunksjon og skissere grafen.

• Kunne bestemme \(f(x)\) for polynomfunksjoner.

Vi har allerede møtt på to polynomfunksjoner – lineære funksjoner og andregradsfunksjoner. Nå skal vi gå løs på helt generelle polynomfunksjoner.

Definisjon: Polynomfunksjon

Et polynom \(f(x)\) er en sum av ledd på formen \(a_n x^n\) der \(a_n\) er koeffisienten til leddet og \(n \in \{0, 1, 2, \ldots\}\)

Den største verdien av \(n\) i summen kalles for graden til polynomet.

En polynomfunksjon \(f\) er en funksjon der funksjonsuttrykket \(f(x)\) er et polynom.

Eksempel 1

Nedenfor ser du fire eksempler på polynomfunksjoner med ulik grad.

Grad 1 (lineær funksjon)

\[ f(x) = 2x + 3 \]

Grad 2 (andregradsfunksjon)

\[ f(x) = x^2 - 2x - 3 \]

Grad 3 (tredjegradsfunksjon)

\[ f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 \]

Grad 4 (fjerdegradsfunksjon)

\[ f(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 3x + 4 \]

Tredjegradsfunksjoner

Tredjegradsfunksjoner vil fungere som en “lekemodell” for alle polynomfunksjoner av høyere grad. Mange av teknikkene vi anvender på tredjegradsfunksjoner vil også fungere på polynomfunksjoner av høyere grad. Vi kommer til å oppdage at tredjegradsfunksjoner ikke har et like ryddig system som vi har hatt når vi har jobbet med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner.

Akkurat som før, har vi en standardform for tredjegradsfunksjoner også:

Hva med betydningen til \(c\)?

Konstanten \(c\) har ikke en opplagt betydning vi kan peke på her og nå. Senere vil vi ha flere verktøy til å bedre forstå hva \(c\) betyr for grafen til en tredjegradsfunksjon.

Tredjegradsfunksjoner (standardform)

En tredjegradsfunksjon \(f\) er en funksjon der \(f(x)\) er et tredjegradspolynom. Vi kan generelt skrive

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]

der \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\) er koeffisientene til polynomet.

• Hvis \(a > 0\) har grafen til \(f\) form som . Hvis \(a < 0\) har grafen til \(f\) form som .

• Grafen til \(f\) har en anti-symmetrilinje \(x_0 = -\dfrac{b}{3a}\).

• Grafen til \(f\) har et vendepunkt i \((x_0, f(x_0))\).

• Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, d)\).

Her møter vi på to nye egenskaper: anti-symmetrilinje og vendepunkt. Grafen til en tredjegradsfunksjon er speilet om anti-symmetrilinja og rotert \(180 \degree\) om en horisontal linje som går gjennom vendepunktet. Punktet som markerer hvor dette skjer er vendepunktet.

Men det krever en del arbeid før vi vil være i stand til å drøfte dem fullstendig når de er skrevet på denne formen. Derfor skal vi starte med noen enklere tilfeller.

Utforsk 1

En tredjegradsfunksjon kan skrives på formen

\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3), \]

der \(x_1\), \(x_2\) og \(x_3\) er nullpunktene til funksjonen – men må ikke nødvendigvis være forskjellige.

Husk at det er mulig å zoome inn og flytte rundt på grafikkvinduene under.

a

Under kan du justere verdien til \(a\), mens nullpunktene \(x_1\), \(x_2\) og \(x_3\) er fastholdt.

Undersøk hvordan \(a\) påvirker formen på grafen til \(f\). Forklar spesielt hva som skjer når \(a\) er positiv og negativ.

b

Under kan du justere verdien til \(x_1\), mens \(a\), \(x_2\) og \(x_3\) er fastholdt.

1. Hva bestemmer verdien til \(x_1\)?

2. Hva skjer hvis du setter \(x_1 = x_2\) eller \(x_1 = x_3\)?

c

Undersøk hva som skjer hvis \(x_1 = x_2 = x_3\).

Faktorisering av tredjegradspolynomer

Et tredjegradspolynom \(f\) kan ha ett, to eller tre nullpunkter.

Tre nullpunkter

Hvis \(f\) har tre nullpunkter, kan vi skrive

\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3), \]

der \(x_1\), \(x_2\) og \(x_3\) er nullpunktene og \(a\) er en konstant.

To nullpunkter

Hvis \(f\) har to nullpunkter \(x_1\) og \(x_2\), og nullpunktet \(x_1\) også er et ekstremalpunkt, så kan vi skrive

\[ f(x) = a(x - x_1)^2 (x - x_2), \]

der \(a\) er en konstant. Vi kaller \(x_1\) for et dobbelt nullpunkt.

Ett nullpunkt

Hvis \(f\) har ett nullpunkt \(x_1\) og en tangent gjennom nullpunktet har stigningstall \(0\), så kan vi skrive

\[ f(x) = a(x - x_1)^3, \]

der \(a\) er en konstant.

---

Quiz 1

---

Utforsk 2

Et tredjegradspolynom er gitt ved

\[ f(x) = (x - 1)^2 (x + 2). \]

a

Utvid uttrykket til \(f(x)\) og skriv det på formen

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. \]

Fasit

\[ f(x) = x^3 - 3x + 2. \]

Løsning

\[\begin{align*} f(x) &= (x - 1)^2 (x + 2) \\ \\ &= (x^2 - 2x + 1)(x + 2) && \text{utvidet $(x - 1)^2$ først}\\ \\ &= (x^2 - 2x + 1)\cdot x + (x^2 - 2x + 1)\cdot 2 \\ \\ &= x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2 \\ \\ &= x^3 - 3x + 2. \end{align*}\]

b

Bestem nullpunktene til \(f\).

Bruk det faktoriserte uttrykket og produktregelen for likninger!

Fasit

\[ x = 1 \or x = -2 \]

Løsning

Nullpunktene er gitt ved løsningen av \(f(x) = 0\), som betyr at

\[ (x - 1)^2 \cdot (x + 2) = 0 \liff (x - 1)^2 = 0 \or x + 2 = 0. \]

som gir

\[ x - 1 = 0 \or x + 2 = 0 \liff x = 1 \or x = -2. \]

c

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\) (som inkluderer fortegnslinjene til faktorene i \(f(x)\)).

Bruk det faktoriserte uttrykket!

Fasit

d

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Marker nullpunktene og bruk fortegnslinja til \(f(x)\) for å tegne skissen!

Fasit

Bestemme \(f(x)\)

Eksempel 2

Grafen til et tredjegradspolynom er vist i fig-polynomer-nullpunktsform-eksempel-2.

Bestem \(f(x)\).

viser grafen til et tredjegradspolynom.

Løsning

Fra grafen vi kan vi lese av to nullpunkter \(x = -3\) og \(x = 1\). Vi kan også bemerke oss at \(x = -3\) er et ekstremalpunkt, som betyr at dette er et dobbelt nullpunkt. Dermed er

\[ f(x) = a(x + 3)^2 (x - 1). \]

For å bestemme \(a\) finner vi ett punkt til på grafen. Vi kan lese av at grafen går gjennom \((0, -3)\) som betyr at

\[ f(0) = -3 \and f(0) = a\cdot (0 + 3)^2 \cdot (0 - 1) = -9a \]

Dermed er

\[ -9a = -3 \liff a = \dfrac{1}{3}. \]

Altså er

\[ f(x) = \dfrac{1}{3}(x + 3)^2 (x - 1). \]

---

Underveisoppgave 1

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) er vist i fig-polynomer-polynomfunksjoner-underveisoppgave-1.

Bestem \(f(x)\).

viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\).

Fasit

\[ f(x) = -(x + 1)(x - 1)(x - 2) \]

Løsning

Grafen til \(f\) har nullpunktene

\[ x = -1 \or x = 1 \or x = 2, \]

som betyr at vi kan skrive \(f(x)\) som

\[ f(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 2). \]

For å bestemme \(a\) finner vi ett punkt til på grafen. Grafen går gjennom \((0, -2)\) som betyr at

\[ f(0) = -2 \and f(0) = a\cdot (0 + 1)(0 - 1)(0 - 2) = 2a \]

Dermed er

\[ 2a = -2 \liff a = -1. \]

Altså er \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = -(x + 1)(x - 1)(x - 2). \]

Vi tar et eksempel på hvordan vi kan gå frem for å bestemme \(f(x)\) gitt grafen til et tredjegradspolynom. Den algebraiske regningen vil være såpass fiklete, at her skal vi benytte oss av CAS for å bestemme \(f(x)\).

Utforsk 3

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) er vist i fig-polynomer-nullpunktsform-utforsk-3.

viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\). Noen punkter på grafen til \(f\) er markert i figuren.

Fra grafen kan vi sette opp et likningssystem for \(f(x)\) ved å bruke punktene som er markert i figuren:

\[\begin{align*} f(-2) &= 3 && \text{punktet (-2, 3)} \\ \\ f(-1) &= 0 && \text{punktet (-1, 0)}\\ \\ f(0) &= 3 && \text{punktet (0, 3)}\\ \\ f(1) &= 3 && \text{punktet (1, 3)}\\ \end{align*}\]

Bruk CAS-vinduet nedenfor til å bestemme \(f(x)\). Du må sette opp resten av likningene og løse likningssystemet.

Løsning

\[ f(x) = -\dfrac{3}{2}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 3x + 3. \]

---

Underveisoppgave 2

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) er vist i fig-polynomer-nullpunktsform-underveisoppgave-2.

viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\).

a

Sett opp et likningssystem for \(f(x)\) ved å finne fire punkter på grafen til \(f\).

Fasit

Grafen går gjennom punktene

\[ (-1, 0) \and (0, 3) \and (1, 2) \and (2, 3), \]

som gir likningssystemet

\[ f(-1) = 0 \and f(0) = 3 \and f(1) = 2 \and f(2) = 3. \]

b

Løs likningssystemet ved hjelp av CAS og bestem \(f(x)\).

Åpne CAS‑vindu

Fasit

Løsningen er

\[ a = 1 \and b = -2 \and c = 0 \and d = 3, \]

som gir

\[ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3. \]

Løsning

som betyr at

\[ a = 1 \and b = -2 \and c = 0 \and d = 3. \]

Dermed er

\[ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3. \]