Eksempelsett

Oppgaver

Oppgavesettet nedenfor vil likne på en eksamen, med unntak av at oppgavesettet ikke tar for seg trigonometri. Oppgavesettet er delt inn i to deler:

1. Del 1: Uten hjelpemidler (3 timer)

2. Del 2: Med hjelpemidler (2 timer)

Del 1: Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 3x - 4 \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\((-1, 0)\) og \((4, 0)\).

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = 2(x - 1)^2 - 8 \]

Bestem nullpunktene til \(g\).

Fasit

\[ x = -1 \or x = 3 \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)(x - 3) \]

Bestem koordinatene til bunnpunktet til \(h\).

Fasit

\[ \left(-\dfrac{1}{2}, -5\right) \]

---

Oppgave 2 (2 poeng)

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{16x + 4}{4x - 8} \]

Bestem likningene til asymptotene til \(f\).

Fasit

• Horisontal asymptote: \(y = 4\)

• Vertikal asymptote: \(x = 2\)

---

Oppgave 3 (2 poeng)

En likning er gitt ved

\[ a(x + 1)^2 + b = -2(x + 4)(x - c) \]

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen er en identitet.

Fasit

\[ a = -2 \and b = 18 \and c = 2 \]

---

Oppgave 4 (4 poeng)

a

Løs likningen

\[ x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 1 \or x = 3 \]

b

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 \]

Hvilken av figurene nedenfor viser grafen til \(f\)?

Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Graf C.

---

Oppgave 5 (2 poeng)

Alma jobber med en følge av figurer som vist nedenfor. Hver sidekant i figurene har lengde \(2\).

Hun vil bruke programmering til å regne ut den samlede omkretsen til de \(10\) første figurene i følgen.

Hva må Alma bytte ut ???? med i programmet sitt nedenfor for å løse oppgaven sin?

lengde = 2
sum_omkrets = 0
for n in range(1, 11):
    sum_omkrets = ????

print(sum_omkrets)

Fasit

sum_omkrets = sum_omkrets + (n + 2) * lengde

---

Oppgave 6 (4 poeng)

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

• Tangenten i punktet \((2, f(2))\) har stigningstall \(4\).

• Tangenten i punktet \((4, f(4))\) har stigningstall \(-4\).

a

Bestem \(f'(x)\).

Fasit

\[ f'(x) = -4(x - 2) + 4 = -4x + 12 \]

b

Tangentene skjærer hverandre i punktet \((3, 10)\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -2x^2 + 12x - 10 \]

---

Oppgave 7 (2 poeng)

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem et mulig uttrykk for \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = x - 1 + \dfrac{-3}{x + 1} \]

Del 2: Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng)

En smed berarbeider et metallstykke. Funksjonen \(T\) gitt ved

\[ T(x) = 500 \cdot 0.95^x + 20, \quad x > 0 \]

viser temperaturen \(T(x)\) grader celsius i metallstykket \(x\) minutter etter at smeden tar det ut av ovnen.

a

Hva er temperaturen i metallstykket idet det blir tatt ut av ovnen?

b

Metallet kan bare bearbeides så lenge temperaturen i metallet er mer enn \(150 \degree\mathrm{C}\).

Hvor lang tid har smeden på seg til å bearbeide metallstykket etter det blir at ut av ovnen?

c

Bestem stigningstallet til linja som går gjennom punktene \((0, T(0))\) og \((10, T(10))\).

Gi en praktisk tolkning av svaret.

d

Hva er temperaturen til omgivelsene til metallstykket, ifølge modellen?

---

Oppgave 2 (2 poeng)

Til en konsert, ble det solgt billetter til to forskjellige priser:

Type billett	Pris
Ordinær	300 kr
Student	200 kr

Det ble til sammen solgt 250 billetter, og de totale inntektene var 58 000 kr.

Hvor mange av hver type billett ble solgt?

Fasit

\(170\) studentbilletter og \(80\) ordinære billetter.

---

Oppgave 3 (4 poeng)

Grunnflaten til en bygning skal ha en form som er består av et rektangel og en halvsirkel som vist i figuren nedenfor.

Omkretsen \(\mathcal{O}\) og arealet \(A\) av en sirkel er gitt ved

\[ \mathcal{O} = 2 \pi r \quad \text{og} \quad A = \pi r^2 \]

Omkretsen til bygningen skal være \(100\) meter.

a

Bestem arealet av grunnflaten til bygningen dersom \(x = 40\) meter.

Fasit

\[ A(40) \approx 334.96 \]

b

Bestem en eksakt verdi for det største mulige arealet grunnflaten til bygget kan ha.

Fasit

\[ A_\mathrm{størst} = \dfrac{5000}{\pi + 4} \]

---

Oppgave 4 (4 poeng)

I figurfølgen nedenfor har den første trekanten areal \(9\).

La \(T_n\) være antall trekanter i figur \(n\) og la \(A_n\) være arealet av hver

a

Lag en oversikt som vist nedenfor. Fyll ut verdiene som mangler.

Figur $n$	$T_{n + 1}$	$A_n$	Areal av hele figuren
$1$
$2$
$3$
$4$

b

Figurfølgen består av \(10~000\) figurer som følger samme mønster som de tre første figurene.

Lag et program som regner ut det samlede arealet av de \(10~000\) første figurene i følgen.