Eksempelsett

Innhold

Eksempelsett#

Oppgaver#

Oppgavesettet nedenfor vil likne på en eksamen, med unntak av at oppgavesettet ikke tar for seg trigonometri. Oppgavesettet er delt inn i to deler:

Del 1: Uten hjelpemidler (3 timer)

Del 2: Med hjelpemidler (2 timer)

Del 1: Uten hjelpemidler#

Oppgave 1 (6 poeng)

a

En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 3x - 4 \]

Bestem i hvilke punkter grafen til $f$ skjærer $x$-aksen.

Fasit

$(-1, 0)$ og $(4, 0)$.

b

En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved

\[ g(x) = 2(x - 1)^2 - 8 \]

Bestem nullpunktene til $g$.

Fasit

\[ x = -1 \or x = 3 \]

c

En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved

\[ h(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)(x - 3) \]

Bestem koordinatene til bunnpunktet til $h$.

Fasit

\[ \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{49}{8}\right) \]

Oppgave 2 (2 poeng)

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{16x + 4}{4x - 8} \]

Bestem likningene til asymptotene til $f$.

Fasit

Horisontal asymptote: $y = 4$
Vertikal asymptote: $x = 2$

Oppgave 3 (2 poeng)

En likning er gitt ved

\[ a(x + 1)^2 + b = -2(x + 4)(x - c) \]

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet.

Fasit

\[ a = -2 \and b = 18 \and c = 2 \]

Oppgave 4 (4 poeng)

a

Løs likningen

\[ x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 1 \or x = 3 \]

b

Funksjonen $f$ er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 \]

Hvilken av figurene nedenfor viser grafen til $f$?

Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Graf C.

Oppgave 5 (2 poeng)

Alma jobber med en følge av figurer som vist nedenfor. Hver sidekant i figurene har lengde $2$.

Hun vil bruke programmering til å regne ut den samlede omkretsen til de $10$ første figurene i følgen.

Hva må Alma bytte ut ???? med i programmet sitt nedenfor for å løse oppgaven sin?

lengde = 2
sum_omkrets = 0
for n in range(1, 11):
    sum_omkrets = ????

print(sum_omkrets)

Fasit

sum_omkrets = sum_omkrets + (n + 2) * lengde

Oppgave 6 (4 poeng)

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor.

Tangenten i punktet $(2, f(2))$ har stigningstall $4$.
Tangenten i punktet $(4, f(4))$ har stigningstall $-4$.

a

Bestem $f'(x)$.

Fasit

\[ f'(x) = -4(x - 2) + 4 = -4x + 12 \]

b

Tangentene skjærer hverandre i punktet $(3, 10)$.

Bestem $f(x)$.

Fasit

\[ f(x) = -2x^2 + 12x - 10 \]

Oppgave 7 (2 poeng)

Grafen til en rasjonal funksjon $f$ er vist i figuren nedenfor.

Bestem et mulig uttrykk for $f(x)$.

Fasit

\[ f(x) = x - 1 + \dfrac{-3}{x + 1} \]

Del 2: Med hjelpemidler#

Oppgave 1 (8 poeng)

En smed berarbeider et metallstykke. Funksjonen $T$ gitt ved

\[ T(x) = 500 \cdot 0.95^x + 20, \quad x > 0 \]

viser temperaturen $T(x)$ grader celsius i metallstykket $x$ minutter etter at smeden tar det ut av ovnen.

a

Hva er temperaturen i metallstykket idet det blir tatt ut av ovnen?

Fasit

$520~\degree\mathrm{C}$.

b

Metallet kan bare bearbeides så lenge temperaturen i metallet er mer enn $150 \degree\mathrm{C}$.

Hvor lang tid har smeden på seg til å bearbeide metallstykket etter det blir at ut av ovnen?

Fasit

Ca. $26$ minutter.

c

Bestem stigningstallet til linja som går gjennom punktene $(0, T(0))$ og $(10, T(10))$.

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Stigningstallet er $-20.06$.
Praktisk tolkning: Temperaturen til metallet stykket synker i gjennomsnitt med $20~\degree\mathrm{C}$ per minutt de første 10 minuttene etter at smeden tar ut metallstykket av ovnen.

d

Hva er temperaturen til omgivelsene til metallstykket, ifølge modellen?

Fasit

Temperaturen til omgivelsene er $20~\degree\mathrm{C}$.

Oppgave 2 (2 poeng)

Til en konsert, ble det solgt billetter til to forskjellige priser:

Type billett	Pris
Ordinær	300 kr
Student	200 kr

Det ble til sammen solgt 250 billetter, og de totale inntektene var 58 000 kr.

Hvor mange av hver type billett ble solgt?

Fasit

$170$ studentbilletter og $80$ ordinære billetter.

Oppgave 3 (4 poeng)

Grunnflaten til en bygning skal ha en form som er består av et rektangel og en halvsirkel som vist i figuren nedenfor.

Omkretsen $\mathcal{O}$ og arealet $A$ av en sirkel med radius $r$ er gitt ved

\[ \mathcal{O} = 2 \pi r \quad \text{og} \quad A = \pi r^2 \]

Omkretsen til bygningen skal være $100$ meter.

a

Bestem arealet av grunnflaten til bygningen dersom $x = 40$ meter.

Fasit

\[ A(40) \approx 334.96 \]

b

Bestem en eksakt verdi for det største mulige arealet grunnflaten til bygget kan ha.

Fasit

\[ A_\mathrm{størst} = \dfrac{5000}{\pi + 4} \]

Oppgave 4 (6 poeng)

Oppgaven er endret litt siden sist du kanskje så denne fordi den forrige oppgaven ville gitt “uendelig” areal på datamaskinen.

Nedenfor vises en figurfølge med fargelagte likesidete trekanter. Den første trekanten har areal $1$.

La $T_n$ være antall fargelagte trekanter i figur $n$ og la $A_n$ være arealet til én slik trekant i figur $n$. La $F_n$ være arealet til det fargelagte området i figur $n$.

a

Lag en oversikt som vist nedenfor. Fyll ut verdiene som mangler.

Figur $n$	$T_n$	$A_n$	$F_n$
$1$	$1$	$1$	$1 \cdot 1$
$2$			$3 \cdot \dfrac{1}{9}$
$3$
$4$

Fasit

Figur $n$	$T_n$	$A_n$	$F_n$
$1$	$1$	$1$	$1 \cdot 1$
$2$	$3$	$\dfrac{1}{9}$	$3 \cdot \dfrac{1}{9}$
$3$	$3 \cdot 4 = 12$	$\dfrac{1}{9^2}$	$12 \cdot \dfrac{1}{9^2}$
$4$	$3 \cdot 4^2$ = 48	$\dfrac{1}{9^3}$	$48 \cdot \dfrac{1}{9^3}$

b

Bestem en formel for $F_n$ for $n = 3, 4, 5 \ldots$.

Fasit

Vi har at $F_1 = 1$ og $F_2 = 3 \cdot \dfrac{1}{9}$. Formelen for $n = 3, 4, 5, \ldots$ kan beskrives ved

\[ F_n = T_n \cdot A_n = 3 \cdot 4^{n - 2} \cdot \dfrac{1}{9^{n - 1}}\quad \text{ for } \quad n \geq 3 \]

c

Figurfølgen består av $100$ figurer som følger samme mønster som de fire første figurene ovenfor.

Lag et program som regner ut det samlede arealet av de fargelagte trekantene av de $100$ første figurene i følgen.

Fasit

samlet_areal = 1 + 3 * 1 / 9 # n = 1 og n = 2
for n in range(3, 101): # n = 3, 4, ..., 100
    T = 3 * 4**(n - 2)
    A = 1 / 9**(n - 1)
    samlet_areal = samlet_areal + T * A
    
print(samlet_areal)

som gir utskriften

1.5999999999999994

Det samlede arealet er altså ca. $1.6$.