36. Arealsetningen

Læringsmål

• Kunne bruke arealsetningen til arealberegninger for trekanter.

• Kunne begrunne arealsetningen.

Repetisjon: Arealet av en trekant

Fra geometri har du tidligere lært en måte å regne ut arealet av en trekant. Arealet \(T\) av en trekant med grunnlinje \(g\) og høyde \(h\) er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h. \]

Høyden \(h\) vil være den korteste avstanden fra linja som går gjennom linjestykke til grunnlinja \(g\) og hjørnet som ikke ligger på grunnlinja.

---

Underveisoppgave 1

En trekant \(\triangle ABC\) er vist i figuren nedenfor. \(AB = 4\).

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ T = 2. \]

Løsning

Fra figuren, kan vi se at grunnlinja er \(g = AB = 4\) og høyden er \(h = 1\). Dermed blir arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{g \cdot h}{2} = \dfrac{4 \cdot 1}{2} = 2. \]

Arealsetningen

Arealsetningen lar oss regne ut arealet så lenge vi kjenner til to sidelenger og vinkelen som disse sidene spenner ut.

Arealsetningen

Gitt en trekant \(\triangle ABC\), så er arealet \(T\) av trekanten gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \]

Forklaring av formelen

Vi lager oss en hjelpefigur som vist til høyre for en trekant \(\triangle ABC\). Med de stiplede linjene får vi rettvinklet trekant \(\triangle ADC\)

Grunnlinja i trekanten er \(AB\), og høyden er \(h\). Arealet av trekanten er derfor

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h. \]

Fra definisjonen av \(\sin A\), har vi at

\[ \sin A = \dfrac{h}{AC} \liff h = AC \cdot \sin A. \]

Setter vi dette inn i formelen for arealet, får vi

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. \]

---

Eksempel 2

Figuren til høyre viser en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem arealet av trekanten.

Løsning

Arealet til trekanten er gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. \]

Vi har at \(\sin A = \sin 30\degree = \dfrac{1}{2}\). Siden \(AB = 3\) og \(AC = 4\), så får vi at arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 3. \]

---

Underveisoppgave 2

En trekant \(\triangle ABC\) er vist i figuren til høyre.

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ T = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}. \]

Løsning

Arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. \]

Vi har at \(\sin A = \sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Siden \(AB = 5\) og \(AC = 2\), så får vi at arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}. \]

---

Hittil har vi fokusert på arealsetningen ut ifra hjørne \(A\) i en trekant, men den fungerer like godt ut ifra hjørnene \(B\) og \(C\).

Arealsetningen: Generelt

Gitt en trekant \(\triangle ABC\), så er arealet \(T\) av trekanten gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A && (\mathrm{hjørne \, A})\\ \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B && (\mathrm{hjørne \, B})\\ \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C && (\mathrm{hjørne \, C}) \end{align*} \end{split}\]

Det er enklest å huske formelen for arealsetningen ved å tenke seg følgende oppskrift:

1. Velg et hjørne i trekanten.

2. Ta produktet av de to sidene som spenner ut vinkelen i hjørnet.

3. Gang med sinus til vinkelen i hjørnet.

4. Del med 2.

---

Eksempel 3

Figuren til høyre viser en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem arealet til trekanten.

Løsning

Vi tar produktet av de to sidene som spenner ut vinkelen i hjørnet \(B\). Siden \(AB = 4\) og \(BC = 2\), så får vi at arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin 60\degree = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

der vi har brukt at \(\sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

---

Underveisoppgave 3

I figuren til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ T = \dfrac{15}{4} \]

Løsning

Arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 30\degree = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{4}. \]