Andregradslikninger

Innhold

12. Andregradslikninger#

Læringsmål

Kunne løse andregradslikninger grafisk, algebraisk og med programmering.
Kunne bruke $abc$-formelen til å løse andregradslikninger
Kunne bruke diskriminanten til å avgjøre hvor mange løsninger en andregradslikning har.

Som vi så med lineære likninger, kan vi bruke flere løsningsstrategier for å løse andregradslikninger. Strategier vi skal se på er:

Grafisk løsning
Algebraisk løsning
Løsning med programmering

12.1. Grafisk løsning#

Når vi løser en andregradslikning grafisk, tegner vi grafene til funksjonsuttrykket på venstre og høyre side av likningen, så finner vi skjæringspunktene mellom grafene. Da er det $x$-koordinatene til skjæringspunktene som er løsningene til likningen.

Eksempel 1

Løs likningen

\[ x^2 + x + 1 = x + 2 \]

Løsning

Vi tegner grafene til funksjonsuttrykkene på venstre og høyre side av likningen:

\[ f(x) = x^2 + x + 1 \quad \text{og} \quad g(x) = x + 2 \]

Det gir oss følgende figur:

Vi ser at grafene skjærer hverandre i to punkter: $(-1, 1)$ og $(1, 3)$. $x$-koordinatene til disse punktene er løsningene av likningen. Det første punktet gir oss $x = -1$. Det andre punktet gir oss $x = 1$. Dermed er løsningen av likningen

\[ x = -1 \or x = 1. \]

Underveisoppgave 1

I figuren nedenfor vises grafene til

\[ f(x) = x^2 + 3x - 5 \qog g(x) = 2x - 3. \]

Bruk figuren til å løse likningen

\[ x^2 + 3x - 5 = 2x - 3. \]

Fasit

\[ x = -2 \or x = 1 \]

Løsning

Vi ser at grafene skjærer hverandre i punktene $(-2, -7)$ og $(1, -1)$. Løsningen av likningen er $x$-koordinatene til disse punktene som gir løsningen

\[ x = -2 \or x = 1. \]

12.2. Algebraisk løsning#

Når vi løser en andregradslikning algebraisk, så kan vi alltid faktorisere andregradspolynomet til nullpunktsform. Men her skal vi se at det også finnes noen spesielle andregradslikninger der vi kan faktorisere direkte. Vi skal også se at det finnes en helt generell formel for løsningen av en andregradslikning, som kalles for $abc$-formelen.

Spesielle Andregradslikninger#

Produktregelen#

Når vi har faktorisert andregradspolynomer til nullpunktsform og lest av nullpunktene, har vi i prinsippet brukt det som kalles for produktregelen for likninger:

Setning: Produktregelen

Hvis $A$ og $B$ er to tall og

\[ A \cdot B = 0, \]

så er

\[ A = 0 \or B = 0. \]

La oss nå se hvordan vi bruker produktregelen i praksis:

Eksempel 2

Løs likningen

\[ (x - 1)(x + 2) = 0 \]

Løsning

Vi kan bruke produktregelen ved å tenke på hver faktor som to tall $A$ og $B$:

\[ \underbrace{(x - 1)}_{\displaystyle A} \cdot \underbrace{(x + 2)}_{\displaystyle B} = 0. \]

Altså står det egentlig bare $A \cdot B = 0$, som betyr at

\[\begin{align*} A = 0 \quad & \lor \quad B = 0 \\ \\ x - 1 = 0 \quad & \lor \quad x + 2 = 0 \\ \\ x = 1 \quad & \lor \quad x = -2. \end{align*}\]

Underveisoppgave 2

Løs likningen

\[ (x + 2)(x - 4) = 0. \]

Fasit

\[ x = -2 \or x = 4. \]

Løsning

Vi bruker produktregelen ved å tenke på hver faktor som to tall $A$ og $B$:

\[ \underbrace{(x + 2)}_{\displaystyle A} \cdot \underbrace{(x - 4)}_{\displaystyle B} = 0. \]

som gir oss

\[ x + 2 = 0 \or x - 4 = 0 \]

som vi skriver om til

\[ x = -2 \or x = 4. \]

Uten konstantledd#

Når et andregradspolynom mangler konstantleddet, kan vi faktorisere det direkte og bruke produktregelen:

Eksempel 3

Løs likningen

\[ x^2 - 3x = 0. \]

Løsning

Vi faktoriserer ut en faktor $x$ fra hvert ledd:

\[ x^2 - 3x = x(x - 3) = 0. \]

Så bruker vi produkteregelen:

\[ x = 0 \or x - 3 = 0 \]

som vi skriver om til

\[ x = 0 \or x = 3. \]

Underveisoppgave 3

Løs likningen

\[ x^2 + 3x = 0. \]

Fasit

\[ x = 0 \or x = -3 \]

Løsning

Vi faktoriserer ut en faktor $x$ fra hvert ledd:

\[ x^2 + 3x = 0 \liff x(x + 3) = 0. \]

Deretter bruker vi produktregelen:

\[ x(x + 3) = 0 \liff x = 0 \or x + 3 = 0 \]

som betyr at

\[ x = 0 \or x = -3. \]

Uten lineært ledd#

Når et andregradspolynom mangler det lineære leddet $bx$, så kan vi bruke konjugatsetningen eller bare ta kvadratroten på hver side av likningen:

Eksempel 4

Løs likningen

\[ x^2 - 9 = 0. \]

Løsning

Vi skriver om likningen

\[ x^2 - 9 = 0 \liff x^2 = 9 \]

Deretter kan vi ta kvadratroten på hver side av likningen. Men da får vi to muligheter:

\[ x = \pm \sqrt{9} = \pm 3. \]

Dette gir mening siden både $(-3)^2 = 9$ og $3^2 = 9$. Dermed er løsningene av likningen

\[ x = -3 \or x = 3. \]

Underveisoppgave 4

Løs likningen

\[ x^2 - 49 = 0 \]

Fasit

\[ x = -7 \or x = 7. \]

Løsning

Vi skriver om likningen $$ x^2 - 49 = 0 \liff x^2 = 49. $$

Deretter kan vi ta kvadratroten på hver side av likningen:

\[ x = \pm \sqrt{49} = \pm 7. \]

Altså er løsningen

\[ x = -7 \or x = 7. \]

$abc$-formelen#

Vi har tidligere sett at vi kan faktorisere et andregradspolynom $ax^2 + bx + c$ ved å første skrive det om til ekstremalform med fullstendig kvadraters metode, og deretter skrive det om til nullpunktsform med konjugatsetningen. Det lar oss bestemme nullpunktene som er det samme som å løse likningen $ax^2 + bx + c = 0$. Det er naturlig å lure på om vi kan løse dette én gang for alle, uten å måtte utføre alle disse stegene hver gang. Det kan vi, og det gir oss en formel som kalles for $abc$-formelen:

Setning: $abc$-formelen

Løsningen til en andregradslikning

er gitt ved

I oppgavene skal du få utlede $abc$-formelen. For nå, la oss se på hvordan vi bruker den.

Eksempel 2

Løs likningen

\[ x^2 - 4x - 5 = 0. \]

Løsning

Fra likningen kan vi lese av at koeffisientene er

\[ a = 1 \quad \text{og} \quad b = -4 \quad \text{og} \quad c = -5. \]

Vi setter inn disse i $abc$-formelen som gir:

\[\begin{align*} x & = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-5)}}{2\cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \\ \\ & = \frac{4 \pm 6}{2} \end{align*}\]

Vi regner ut de to mulige løsningene, en med “$+$” og en med “$-$” som gir

\[ x = 5 \or x = -1. \]

Nå kan du prøve deg!

Underveisoppgave 5

Bruk $abc$-formelen til å løse likningen

\[ x^2 - 3x - 4 = 0. \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 4. \]

Løsning

Vi bruker $abc$-formelen med koeffisientene $a = 1$, $b = -3$ og $c = -4$:

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-4)}}{2\cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Så regner vi ut de to mulige løsningene, en med “$+$” og en med “$-$”:

\[ x = \dfrac{3+ 5}{2} \or x = \dfrac{3 - 5}{2} \liff x = 4 \or x = -1. \]

Antall løsninger#

Vi har tidligere sett at en andregradsfunksjon kan ha ingen, ett eller to nullpunkter. Med $abc$-formelen har vi et nytt verktøy for å avgjøre hvor mange nullpunkter en andregradsfunksjoner har – og dermed hvor mange løsninger en andregradslikning har.

Diskriminanten og antall løsninger

En andregradslikning på formen

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

har løsningen

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \qder D = b^2 - 4ac. \]

Vi kaller $D$ for diskriminanten. Ut ifra diskriminanten kan vi se hvor mange løsninger likninge har:

Hvis $D < 0$, har likningen ingen løsninger.
Hvis $D = 0$, har likningen én løsning.
Hvis $D > 0$, har likningen to løsninger.

Se figuren nedenfor.

Hvis D < 0, har likningen ingen løsninger. Hvis D = 0 har likningen én løsning. Hvis D > 0 har likningen to løsninger. Dette tilsvarer at grafen til en andregradsfunksjon enten ikke skjærer x-aksen, skjærer den i ett punkt eller skjærer den i to punkter. — Fig. 12.1 Hvis $D < 0$, har likningen ingen løsninger. Hvis $D = 0$ har likningen én løsning. Hvis $D > 0$ har likningen to løsninger. Dette tilsvarer at grafen til en andregradsfunksjon enten ikke skjærer $x$-aksen, skjærer den i ett punkt eller skjærer den i to punkter.#

Eksempel 3

Bestem hvor mange løsninger likningen nedenfor

\[ x^2 - 4x + 4 = 0. \]

Løsning

Vi regner ut diskriminanten med $a = 1$, $b = -4$ og $c = 4$:

\[ D = (-4)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0. \]

Siden $D = 0$, har likningen én løsning.

Underveisoppgave 6

Bestem hvor mange løsninger likningen nedenfor har.

\[ x^2 + 2x + 8 = 0. \]

Fasit

Ingen løsninger.

Løsning

Vi regner ut diskriminanten med $a = 1$, $b = 2$ og $c = 8$:

\[ D = (2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28. \]

Siden $D < 0$, har likningen ingen løsninger.

CAS#

Å løse andregradslikninger med CAS gjøres på samme måte som for lineære likninger.

Utforsk 1

Nedenfor vises en gif som viser hvordan man løser en andregradslikning med CAS:

../../../_images/cas.gif — Fig. 12.2 viser hvordan man løser en andregradslikning med CAS. Løsningene er $x = -\sqrt{3} + 2 \or x = \sqrt{3} + 2$.#

a

Bruk CAS til å løse likningen som er vist i gif-en.

b

Bruk CAS til å løse likningen

\[ x^2 - 4x + 4 = 0. \]

Fasit

c

Bruk CAS til å løse likningen

\[ x^2 + 2x + 6 = 0. \]

Hvorfor tror du svaret blir som det blir?

Fasit

Det betyr at likningen ikke har noen løsning. Vi kan se dette ved å tegne grafen til $f(x) = x^2 + 2x + 6$ og se at den aldri skjærer $x$-aksen:

12.3. Løsning med programmering#

Når vi løste lineære likninger med programmering, skrev vi et program som systematisk prøvde ut mange heltallige verdier for $x$ og sjekke om likningen var oppfylt. Dersom likningen var oppfylt, skrev programmet ut verdien av $x$ som en løsning. Denne strategien lar seg naturlig oversette direkte til andregradslikninger også.

Utforsk 2

Nedenfor vises et eksempel på et program som løser en andregradslikning ved å prøve ut heltallsverdier for $x$.

a

Bruk CAS til å bestemme hva programmet skriver ut når det kjøres.

Skriv inn svaret ditt nedenfor og sjekk om du får riktig svar.

b

Endre på programmet slik at det løser likningen

\[ x^2 - 3x - 4 = 0. \]

Sjekk om du får samme svar med CAS.

Fasit

for x in range(-10, 11):
    if x**2 - 3*x - 4 == 0:
        print(x)

Andregradslikninger

Innhold

12. Andregradslikninger#

12.1. Grafisk løsning#

12.2. Algebraisk løsning#

Spesielle Andregradslikninger#

Produktregelen#

Uten konstantledd#

Uten lineært ledd#

\(abc\)-formelen#

Antall løsninger#

CAS#

12.3. Løsning med programmering#