Oppgaver: Polynomlikninger

Oppgave 1

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6 \]

a

Skriv ned alle mulige heltallsrøtter til \(f\).

Fasit

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. \]

Løsning

De mulige heltallsrøttene til \(f\) er tall som deler konstantleddet \(-6\). Alle hele tall som deler \(-6\) er gitt ved

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. \]

b

Ta utgangspunkt i listen fra a og finn én rot til \(f(x)\).

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere \(f(x)\).

Fasit

Én mulighet er \(x = 1\), som gir

\[ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) \]

Løsning

En av røttene til \(f(x)\) er \(x = 1\). Det kan vi se enten med et Horner-skjema eller vanlig polynomdivisjon:

Horner-skjema

Vanlig polynomdivisjon

Dette betyr at

\[ (x^3 + 4x^2 + x - 6) = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) \]

c

Finn resten av nullpunktene til \(f\).

Hvis nullpunktene er heltallige, sjekk at de også er en del av listen fra a.

Fasit

\[ x = 1 \or x = -2 \or x = -3 \]

Løsning

Vi bruker \(abc\)-formelen med andregradspolynomet for å finne de resterende røttene til \(f\):

\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \]

som gir

\[ x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{-5 \pm 1}{2} \]

som gir

\[ x = -2 \or x = -3. \]

Samtidig fant vi tidligere at \(x = 1\) også var en rot, så dermed har vi

\[ x = 1 \or x = -2 \or x = -3 \]

---

Oppgave 2

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12. \]

a

Bestem alle røttene til \(f(x)\) og faktoriser \(f(x)\) i lineære faktorer.

Fasit

\[ x = 2 \or x = -2 \or x = 3 \]

b

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).

Fasit

c

Lag en skisse av grafen til \(f\). Marker nullpunktene.

Fasit

d

Løs ulikheten \(f(x) \geq 0\).

Fasit

\[ x \in [-2, 2] \cup [3, \to \rangle \]

---

Oppgave 3

En tredjegradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = -2x^3 + 14x^2 - 14x - 30. \]

a

Bestem alle røttene til \(f(x)\).

Fasit

\[ x = -1 \or x = 3 \or x = 5. \]

b

Løs ulikheten \(f(x) \leq 0\).

Fasit

\[ -1 \leq x \and x \leq 3 \or 5 \leq x. \]

---

Oppgave 4

a

Løs tredjegradslikningen

\[ x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0. \]

Fasit

\[ x = 1 \or x = -\sqrt{2} \or x = \sqrt{2} \]

b

Løs ulikheten

\[ x^3 - x^2 - 2x + 2 > 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle -\sqrt{2}, 1 \rangle \cup \langle \sqrt{2}, \to \rangle \]

---

Oppgave 5

En likning er gitt ved

\[ x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(ax^2 + bx + c). \]

a

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen er en identitet.

Fasit

Én mulighet er

\[ x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2). \]

som gir

\[ a = 1 \and b = -1 \and c = -2. \]

b

Løs ulikheten

\[ x^3 - 3x - 2 < 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 2\rangle \setminus \{-1\}. \]

---

Oppgave 6

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \]

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \(x\)-aksen?

Fasit

\[ x = -3 \or x = -1 \or x = 2. \]

Løsning

De mulige heltallige røttene til \(f(x)\) er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. \]

Vi prøver oss fram til vi finner en rot:

Det funket ikke med \(x = 1\), så vi går videre:

Her fikk vi \(0\) i rest, så \(x = -1\) er en rot. Vi kan dermed faktorisere \(f(x)\) som

\[ f(x) = (x + 1)(x^2 + x - 6). \]

Vi bestemmer røttene til andregradspolynomet med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \]

som gir

\[ x = 2 \or x = -3. \]

Altså skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen i punktene

\[ x = -3 \or x = -1 \or x = 2. \]

---

Oppgave 7

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^3 + x^2 - 18x - 9 \]

a

Vis at divisjonen \(f(x) : (x - 3)\) går opp.

Løsning

b

Gjør beregninger og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til \(f\).

Fasit

Graf B.

---

Oppgave 8

Gitt likningen

\[ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + a)(x - b) \]

Bestem \(a\) og \(b\) slik at likningen blir en identitet.

Fasit

\[ a = 2 \and b = 6 \or a = -6 \and b = -2 \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjonen

\[ (x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (x - 1) \]

for å bestemme andregradspolynomet i faktoriseringen:

Altså er

\[ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12). \]

Vi bestemmer røttene til andregradspolynomet med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \]

som gir løsningene

\[ x = 6 \or x = -2. \]

Altså vil vi kunne skrive

\[ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + 2)(x - 6). \]

Dermed må vi ha at

\[ a = 2 \and b = 6 \or a = -6 \and b = -2 \]

for at likningen skal bli en identitet.

---

Oppgave 9

En fjerdegradslikning er gitt ved

\[ x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30 = 0. \]

a

Lag en liste over alle mulige heltallige løsninger til likningen.

Fasit

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30\}. \]

b

Finn én løsning til likningen og faktoriser fjerdegradspolynomet i én lineær faktor og et tredjegradspolynom.

Fasit

\(x = 1\) løser likningen. Fjerdegradspolynomet kan da skrives som

\[ (x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30) = (x - 1)(x^3 + 4x^2 - 11x - 30). \]

Løsning

\(x = 1\) er en løsning til likningen så vi kan se fra et Horner-skjema eller vanlig polynomdivisjon:

Horner-skjema

Vanlig polynomdivisjon

som gir \(0\) i rest og

\[ \dfrac{x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30}{x - 1} = x^3 + 4x^2 - 11x - 30. \]

Dermed er

\[ (x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30) = (x - 1)(x^3 + 4x^2 - 11x - 30). \]

c

Finn én rot i tredjegradspolynomet og faktoriser polynomet i én lineær faktor og et andregradspolynom.

Fasit

\(x = -2\) er en rot i tredjegradspolynomet \((x^3 + 4x^2 - 11x - 30)\). Polynomet kan da skrives som

\[ (x^3 + 4x^2 - 11x - 30) = (x + 2)(x^2 + 2x - 15). \]

Løsning

\(x = -2\) løser likningen. Vi kan se dette fra et Horner-skjema eller vanlig polynomdivisjon:

Horner-skjema

Vanlig polynomdivisjon

som gir \(0\) i rest. Dermed er

\[ \dfrac{x^3 + 4x^2 - 11x - 30}{x + 2} = x^2 + 2x - 15. \]

Altså kan vi skrive

\[ x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = (x + 2)(x^2 + 2x - 15). \]

d

Bestem alle løsningene til likningen.

Fasit

\[ x = 1 \or x = -2 \or x = 3 \or x = -5 \]