Oppgaver: Andregradslikninger

12.4. Oppgaver: Andregradslikninger#

Oppgave 1

a

Bruk Fig. 12.3 til å løse

\[ f(x) = 0 \]

../../../_images/a2.svg — Fig. 12.3 viser grafen til en andregradsfunksjon $f$.#

Fasit

\[ x = -3 \or x = 1 \]

b

Bruk Fig. 12.4 til å løse

\[ g(x) = 0 \]

../../../_images/b2.svg — Fig. 12.4 viser grafen til en andregradsfunksjon $g$.#

Fasit

\[ x = 1 \]

c

Bruk Fig. 12.5 til å løse

\[ h(x) = 0 \]

../../../_images/c2.svg — Fig. 12.5 viser grafen til en andregradsfunksjon $h$.#

Fasit

\[ x = -2 \or x = 2 \]

d

Bruk Fig. 12.6 til å løse

\[ p(x) = 0 \]

../../../_images/d1.svg — Fig. 12.6 viser grafen til en andregradsfunksjon $p$.#

Fasit

\[ x = -4 \or x = 3 \]

Oppgave 2

a

Løs likningen

\[ x^2 - 4 = 0 \]

b

Løs likningen

\[ x^2 - 1 = 0 \]

c

Løs likningen

\[ x^2 - 16 = 0 \]

d

Løs likningen

\[ x^2 - 2 = 0 \]

Oppgave 3

a

Løs likningen

\[ x^2 - 5x = 0. \]

b

Løs likningen

\[ x^2 + 2x = 0. \]

c

Løs likningen

\[ x^2 - 10x = 0. \]

d

Løs likningen

\[ -x^2 + x = 0. \]

Oppgave 4

Løs likningene med $abc$-formelen.

a

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Fasit

\[ x = 2 \or x = 3 \]

b

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 4 \]

c

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Fasit

\[ x = -2 \or x = 3 \]

d

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 5 \]

Oppgave 5

Løs likningene ved hjelp av $abc$-formelen.

a

\[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{1}{2} \or x = 2 \]

b

\[ 3x^2 - 7x + 2 = 0 \]

Fasit

\[ x \in \left\{\dfrac{1}{3}, 2\right\} \]

c

\[ -x^2 + 9x + 12 = 0 \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 4 \]

d

\[ \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 0 \]

Fasit

\[ x = -\dfrac{1}{2} \or x = 2 \]

Oppgave 6

Noen ganger jobber vi med andregradslikninger som vi må skrive om til formen $ax^2 + bx + c = 0$ før vi kan bruke $abc$-formelen.

Løs likningene med $abc$-formelen.

a

\[ x^2 + x + 1 = x + 5 \]

Fasit

\[ x = -2 \, \lor \, x = 2 \]

b

\[ x^2 + x - 3 = -2x + 1 \]

Fasit

\[ x = -4 \, \lor \, x = 1 \]

c

\[ -x^2 + x + 3 = 3x - 1 \]

Fasit

\[ x = -2 \, \lor \, x = 1 \]

d

\[ 2x^2 + 5x - 1 = -2x + 3 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{1}{2} \or x = -4. \]

Oppgave 7

Løs likningene med CAS.

a

\[ x^2 + 2x + 1 = 0. \]

b

\[ x^2 - 3x + 2 = -x + 6 \]

c

\[ -x^2 + 3x + 1 = 2x - 7 \]

c

\[ -3x^2 + 4x + 6 = -3x + 10 \]

Oppgave 8

a

Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning.

Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor.

b

Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning.

Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor.

c

Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning.

Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor.

d

Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning.

Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor.

Oppgave 9

a

Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen

\[ x^2 + 2x - 8 = 0. \]

Fasit

for x in range(-10, 11):
    if x**2 + 2*x - 8 == 0:
        print(x)

b

Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen

\[ x^2 + 2x - 3 = 0. \]

Fasit

for x in range(-10, 11):
    if x**2 + 2*x - 3 == 0:
        print(x)

c

Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen

\[ x^2 - x - 3 = -3x + 12 \]

Fasit

for x in range(-10, 11):
    if x**2 - x - 3 == -3*x + 12:
        print(x)

d

Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen

\[ -x^2 + 6x + 7 = x^2 - 4x - 5 \]

Fasit

for x in range(-10, 11):
    if -x**2 + 6*x + 7 == x**2 - 4*x - 5:
        print(x)

Oppgave 10

a

Bestem $a$ og $b$ slik at likningen er en identitet.

\[ x^2 + 6x - 7 = (x - a)(x - b) \]

b

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet.

\[ -x^2 - 7x - 12 = a(x - b)(x - c) \]

c

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet.

\[ 2x^2 - 18 = a(x - b)(x - c) \]

d

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet.

\[ -3x^2 + 12x = a(x - b)(x - c) \]

Oppgave 11

a

Bestem diskriminanten $D$ for likningen

\[ x^2 + 10x + 25 = 0 \]

og avgjør hvor mange løsninger likningen har.

b

Bestem diskriminanten $D$ for likningen

\[ -x^2 + 3x + 8 = 0 \]

og avgjør hvor mange løsninger likningen har.

c

Bestem diskriminanten $D$ for likningen

\[ -x^2 + 3x + 8 = 0 \]

og avgjør hvor mange løsninger likningen har.

Oppgave 12

a

En andregradslikning er gitt ved

\[ x^2 + kx + 6 = 0. \]

Bestem $k$ slik at likningen har én løsning.

b

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = kx^2 + kx - 2 \qder k \neq 0. \]

Bestem $k$ slik at grafen til $f$ skjærer $x$-aksen én gang.

c

En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 2kx + k, \qder k \in \real \]

Bestem $k$ slik at $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.

Oppgave 13

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist nedenfor.

a

Bestem $f(x)$.

b

Bruk grafen til å løse likningen

\[ f(x) = 0 \]

c

Bruk $abc$-formelen til å løse likningen

\[ f(x) = 0 \]

d

Bruk CAS til å løse likningen

\[ f(x) = 14 \]

e

Skriv et program som løser likningen

\[ f(x) = 8 \]

Oppgave 14

Vi går ut ifra en helt generell andregradslikning

\[ ax^2 + bx + c = 0. \]

a

Vis ved regning at likningen

\[ ax^2 + bx + c = 0, \]

kan skrives om til

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0. \]

Løsning

\[\begin{align*} ax^2 + bx + c & = 0 \\ \\ \dfrac{\cancel{a}x^2}{\cancel{a}} + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a} & = 0 && \text{Deler med $a$ i alle ledd}\\ \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} & = 0. \end{align*}\]

b

For å gjøre stegene videre lettere å regne med, innfører vi to nye variabler

\[ B = \dfrac{b}{2a} \quad \text{og} \quad C = \dfrac{c}{a}. \]

Vis ved regning at dette betyr at likningen nå kan skrives som

\[ x^2 + 2Bx + C = 0. \]

Dette er bare et midlertidig variabelskifte. Vi skal bytte tilbake igjen til slutt! Dette er vanlig å bruke i matematikken for å gjøre regning underveis enklere så vi unngår unødvendige feil.

Hint

Du kan uttrykke de nye variablene slik at du kan bytte ut $b$ og $c$ i likningen. For eksempel så er

\[ c = a\cdot C \]

Løsning

Vi skriver om de nye variabelene:

\[\begin{equation*} \begin{matrix} B = \dfrac{b}{2a} \quad & \text{og} & \quad C = \dfrac{c}{a} \\ \\ 2a\cdot B = \dfrac{b}{\cancel{2a}}\cdot \cancel{2a} \quad & \text{og} & \quad a\cdot C = \dfrac{c}{\cancel{a}} \cdot \cancel{a} \\ \\ 2aB = b \quad & \text{og} & \quad aC = c \end{matrix} \end{equation*}\]

så setter vi inn de nye uttrykkene for $b$ og $c$ i likningen:

\[\begin{align*} x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} &= 0 \\ \\ x^2 + \dfrac{2aB}{a}x + \dfrac{aC}{a} &= 0 \\ \\ x^2 + \dfrac{2\cancel{a}B}{\cancel{a}}x + \dfrac{\cancel{a}C}{\cancel{a}} &= 0 \\ \\ x^2 + 2Bx + C &= 0. \end{align*}\]

c

Vis ved å bruke fullstendig kvadraters metode at du kan skrive om likningen

\[ x^2 + 2Bx + C = 0 \]

til

\[ (x + B)^2 = B^2 - C \]

Løsning

\[\begin{align*} x^2 + 2Bx + C &= 0 \\ \\ \underbrace{x^2 + 2Bx + \textcolor{red}{B^2}}_{\displaystyle (x + B)^2} - \textcolor{red}{B^2} + C &= 0 \\ \\ \textcolor{red}{(x + B)^2} - B^2 + C &= 0 && \text{1.kvadratsetning}\\ \\ (x + B)^2 - B^2 \textcolor{red}{+ B^2} + C \textcolor{red}{- C} &= \textcolor{red}{B^2 - C} \\ \\ (x + B)^2 &= B^2 - C. \end{align*}\]

d

Argumenter for at

\[ (x + B)^2 = B^2 - C \]

betyr at

\[ x + B = \pm \sqrt{B^2 - C}. \]

Løsning

Vi tar kvadratroten på hver side av likningen, men husker på at det betyr at den ene siden kan være både positiv og negativ:

\[\begin{align*} (x + B)^2 &= B^2 - C \\ \\ \sqrt{(x + B)^2} &= \pm \sqrt{B^2 - C} \\ \\ x + B &= \pm \sqrt{B^2 - C}. \end{align*}\]

Det spiller egentlig ingen rolle hvilken side vi plasserer $\pm$ ved. Men å plassere den sammen med variabelen vil gjøre det litt vanskeligere å komme fram til $abc$-formelen til slutt.

e

Vis ved regning at

\[ x + B = \pm \sqrt{B^2 - C} \quad \iff \quad x = -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} \]

ved å sette tilbake

\[ B = \dfrac{b}{2a} \quad \text{og} \quad C = \dfrac{c}{a} \]

i likningen.

Løsning

\[\begin{align*} x + B &= \pm \sqrt{B^2 - C} \\ \\ x + B \textcolor{red}{-B} &= \textcolor{red}{-B} \pm \sqrt{B^2 - C} \\ \\ x &= -B \pm \sqrt{B^2 - C} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} && \text{Husk: } B = \dfrac{b}{2a} \quad \text{og} \quad C = \dfrac{c}{a} \\ \\ \end{align*}\]

f

Vis ved regning at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} \]

kan skrives om til $abc$-formelen

\[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

Hint

Når du tar kvadratroten av en brøk, så gjelder:

\[ \sqrt{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \]

Løsning

\[\begin{align*} x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\textcolor{red}{\dfrac{b^2}{4a^2}} - \dfrac{c}{a}} && \text{ganger ut potensen}\\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{\textcolor{red}{4a}}{\textcolor{red}{4a}} \cdot \dfrac{c}{a}} && \text{lager fellesnevner} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{4ac}{4a^2}} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}} && \text{Regneregel: } \sqrt{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \\ x &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \end{align*}\]