8. Nullpunktsform

Læringsmål

• Kunne representere og tolke en lineær funksjon på nullpunktsform.

• Kunne bytte mellom nullpunktsform og standardform.

Vi har så langt sett at vi kan representere en lineær funksjon \(f\) på standardform. Standardformen forteller oss grafisk hvor mye grafen stiger eller synker, og hvor den skjærer \(y\)-aksen. Her skal vi se på en annen representasjonsform som vi skal kalle for nullpunktsform. Denne vil også fortelle oss hvor mye grafen til \(f\) stiger eller synker, men vil i stedet fortelle oss hvor grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen – det vi kaller for nullpunktet til \(f\) fordi det er der \(f(x) = 0\).

Algebraisk representasjon

Er nullpunktet \(x = x_1\) eller \((x_1, 0)\)?

Når vi beskriver nullpunkter, så sier vi ofte at \(x = x_1\) er nullpunktet fremfor \((x_1, 0)\) fordi det er underforstått er \(y\)-koordinaten er \(0\) i et nullpunkt. Det er ikke feil å si at nullpunktet \((x_1, 0)\), men det er mer vanlig å si at nullpunktet \(x = x_1\).

Nullpunktsform

En lineær funksjon \(f\) kan skrives på nullpunktsform som følger:

---

Eksempel 1

I figuren nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Løsning

Vi skriver \(f(x)\) på nullpunktsform

\[ f(x) = a(x - x_1) \]

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((1, 0)\) som betyr at \(x_1 = 1\).

Øker vi verdien til \(x\) med \(1\) fra \((1, 0)\), finner vi et punkt på grafen i \((2, 2)\). Det betyr at \(y\)-verdien har økt med \(2\) og derfor er stigningstallet \(a = 2\).

Altså er

\[ f(x) = a(x - x_1) = 2(x - 1) \]

---

Underveisoppgave 1

Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = 3(x + 1) \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((-1, 0)\) som betyr at \(x_1 = -1\). Vi ser at dersom vi øker \(x\) med \(1\) enhet, så øker \(y\)-verdien med \(3\) enheter. Derfor er stigningstallet \(a = 3\). Altså er

\[ f(x) = a(x - x_1) = 3(x + 1) \]

Fra standardform til nullpunktsform

Eksempel 2

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 4x + 5 \]

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Løsning

Nullpunktsformen er gitt ved

\[ f(x) = a(x - x_1) \]

Vi ser fra uttrykket at \(a = 4\). Vi må nå bare finne \(x_1\). Dette kan vi gjøre ved å løse likningen \(f(x) = 0\) siden grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen der \(f(x) = 0\). Da får vi:

\[ f(x) = 0 \]

\[ 4x + 5 = 0 \]

\[ 4x = -5 \]

\[ x = -\dfrac{5}{4} \]

Dermed er \(x_1 = -\dfrac{5}{4}\), og vi kan skrive \(f(x)\) på nullpunktsform som

\[ f(x) = 4\left(x + \dfrac{5}{4}\right) \]

Underveisoppgave 2

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -3\cdot x + 6 \]

a

Løs likningen

\[ f(x) = 0 \]

Fasit

\[ x = 2 \]

Løsning

Vi løser likningen \(f(x) = 0\):

\[ f(x) = -3 \cdot x + 6 \]

\[ -3 \cdot x + 6 = 0 \]

\[ 6 = 3x \]

\[ x = 2 \]

b

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = -3 \cdot (x - 2) \]

Løsning

Siden nullpunktsformen til \(f(x)\) er gitt ved

\[ f(x) = -3 \cdot (x - 2) \]

betyr det at nullpunktet til \(f\) er gitt ved

\[ x = 2. \]

---

Fra nullpunktsform til standardform

Eksempel 3

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2(x + 3) \]

Bestem \(f(x)\) på standardform.

Løsning

Vi ganger ut parentesen for å finne \(f(x)\) på standardform:

\[ f(x) = 2(x + 3) = 2x + 6 \]

---

Underveisoppgave 3

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -2(x - 2) \]

Bestem \(f(x)\) på standardform.

Fasit

\[ f(x) = -2x + 4 \]

Løsning

Vi ganger ut parentesen for å finne \(f(x)\) på standardform:

\[ f(x) = -2(x - 2) = -2x + 4 \]