15. Polynomdivisjon

Læringsmål

• Kunne beskrive og utføre polynomdivisjon.

• Kunne forklare hva som er kvotient og rest i en polynomdivisjon, og forklare hva resten forteller oss om dividenden.

• Kunne bruke polynomdivisjon til å regne ut funksjonsverdier.

Divisjon: Begreper

Når vi deler et tall \(a\) med et tall \(b\), kan vi alltid skrive utregningen som

\[ \dfrac{a}{b} = k + \dfrac{r}{b} \]

der

• \(a\) kalles for dividenden

• \(b\) kalles for divisoren

• \(k\) kalles for kvotienten

• \(r\) kalles for resten

Disse begrepene vil også gjelde dersom vi deler polynomer, som vi snart skal se på.

Polynomdivisjon er en metode for å dele et polynom med et annet polynom og skrive det på en enklere måte. Før vi ser på dette, skal vi motivere hvorfor vi trenger polynomdivisjon i det hele tatt. Følgende setning forteller oss hvorfor.

Algebraens fundamentalsetning for tredjegradspolynomer

Et tredjegradspolynom \(f(x)\) kan alltid skrives som et produkt av et førstegradspolynom og et andregradspolynom

\[ f(x) = (x - r)(ax^2 + px + q). \]

Her er \(x = r\) et nullpunkt for \(f\). Andregradspolynomet kan ha ingen, ett eller to nullpunkter.

Setningen over forteller oss at hvis vi klarer å finne en faktor \((x - r)\) som deler \(f(x)\), så får vi et andregradspolynom. Siden vi vet hvordan vi bestemmer alle egenskapene til andregradspolynomer allerede, betyr det at vi har en mulig metode for å finne ut alt om tredjegradspolynomer også.

Vårt neste steg er derfor å se på en algoritme for å dele et polynom med en faktor \((x - r)\). Vi starter med å se på et eksempel med et andregradspolynom.

Polynomdivisjon uten rest

Eksempel 1

Utfør polynomdivisjonen:

\[ (3x^2 + 3x - 6) : (x + 2). \]

Løsning

For å utføre divisjonen, følger vi disse stegene:

Steg 1

Først finner vi hva vi må gange \((x + 2)\) slik at vi får \(3x^2\) som høyeste potens av \(x\). Dette er \(3x\). Deretter trekker vi fra \(3x(x + 2)\) fra \((3x^2 + 3x - 6)\).

Steg 2

Nå er resten vår \(-3x - 6\). Vi må derfor finne hva vi må gange \((x + 2)\) med for at vi skal få \(-3x\) som ett av leddene.

Dette er \(-3\). Deretter trekker vi fra \(-3(x + 2)\) fra \((-3x - 6)\).

Steg 3

Legger vi sammen de to linjene, så sitter vi igjen med \(0\) i rest, og vi er ferdig med divisjonen.

Hele utregningen kan derfor skrives ned som:

Utregningen vår forteller oss at

\[ \dfrac{3x^3 + 3x - 6}{x + 2} = 3x - 3 \liff 3x^2 + 3x - 6 = (x + 2)(3x - 3). \]

---

Vi ser på et eksempel til med et tredjegradspolynom i telleren.

Eksempel 2

Utfør polynomdivisjonen

\[ (x^3 - 3x^2 - 6x + 8) : (x + 2). \]

Løsning

Steg 1

Vi starter med å dele høyeste potens av \(x\) i teller som er \(x^3\) med høyeste potens av \(x\) i nevner som er \(x\). Dette gir \(x^2\).

Steg 2

Vi ganger svaret fra steg 1 med \((x + 2)\) som gir \(x^2(x + 2) = x^3 + 2x^2\). Deretter trekker vi fra dette fra \((x^3 - 3x^2 - 6x + 8)\).

Steg 3

Vet å regne ut differansen fra steg 2, får vi polynomet \(-5x^2 - 6x + 8\) (men merk at vi ikke trekker ned alle tallene før vi trenger dem i divisjonen).

Steg 4

Vi deler leddet med høyeste potens av \(x\) fra det resterende polynomet som er \(-5x^2\) med høyeste potens av \(x\) i nevner som er \(x\). Dette gir \(-5x\).

Steg 5

Vi ganger tilbake svaret fra steg 4 med \((x + 2)\) som gir \(-5x(x + 2) = -5x^2 - 10x\). Deretter trekker vi fra dette fra \(( -5x^2 - 6x + 8)\) og legger sammen.

Steg 6

Vi deler leddet med høyeste potens av det resterende polynomet som er \(4x\) med høyeste potens av \(x\) i nevner som er \(x\). Dette gir \(4\). Deretter vi svaret \(4\) med \((x + 2)\) som gir \(4(x + 2) = 4x + 8\) og trekker dette fra det resterende polynomet. Da får vi \(0\).

Vi kan oppsummere hele regnestykket som følger:

Utregningen forteller oss at

\[ \dfrac{x^3 - 3x^2 - 6x + 8}{x + 2} = x^2 - 5x + 4, \]

som betyr at

\[ x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = (x + 2)(x^2 - 5x + 4). \]

---

Vi kan også utføre polynomdivisjon når divisoren er et andregradspolynom.

Eksempel 3

Utfør polynomdivisjonen

\[ (x^3 - 8x^2 + 21x - 18) : (x^2 - 6x + 9). \]

Løsning

Utregningen forteller oss at

\[ \dfrac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x^2 - 6x + 9} = x - 2 \]

som betyr at vi kan skrive at

\[ x^3 - 8x^2 + 21x - 18 = (x - 2)(x^2 - 6x + 9). \]

Polynomdivisjon med rest

Som vi så i begynnelsen av dette delkapittelet, så er \(f(x)\) bare delelig med en faktor \((x - r)\) hvis faktoren er i \(f(x)\). Hvis ikke vil vi få en rest i divisjonen. Vi skal ta et eksempel som viser hvordan dette ser ut:

Eksempel 4

Regn ut

\[ (x^3 - 5x^2 + 8x - 4) : (x - 3). \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon:

Ved å følge stegene som før, får vi nå \(2\) i rest. Dette betyr at vi må legge på et ledd \(\dfrac{2}{x - 3}\) siden vi ikke kan dele noe mer. Dette forteller oss at

\[ \dfrac{x^3 - 5x^2 + 8x - 4}{x - 3} = x^2 - 2x + 2 + \dfrac{2}{x - 3}. \]

Siden vi ikke har \(0\) i rest, vil ikke \((x - 3)\) være en faktor i \(x^3 - 5x^2 + 8x - 4\).

I eksempel 1, 2 og 2 utførte vi polynomdivisjon som ikke ga noen rest fordi \((x - r)\) var en faktor i dividenden (telleren). I eksempel 3 fikk vi en rest som betydde at \((x - r)\) ikke var en faktor i dividenden. Basert på eksemplene, kan vi formulere en setning:

Setning: Polynomdivisjonen \(f(x) : (x - r)\)

Gitt et polynom \(f\), vil polynomdivisjonen \(f(x) : (x - r)\) alltid kunne skrives på formen

\[ \dfrac{f(x)}{x - r} = K(x) + \dfrac{R}{x - r} \]

der \(R\) er resten i divisjonen og \(K(x)\) er et polynom som kalles for kvotienten.

---

Setningen over har noen konsekvenser vi skal utforske videre:

Utforsk 1

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6. \]

a

Regn ut \(f(-1)\).

Fasit

\[ f(-1) = -4 \]

b

Regn ut polynomdivisjonen

\[ (x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x + 1) \]

Sammenlikn resten med svaret ditt fra a.

Fasit

Vi kan merke oss at resten \(R = -4\) og \(f(-1) = -4\). Altså er resten i \((x + 1)\) og \(f(-1)\) den samme.

---

Observasjonene gjort i Utforsk 1 lar oss skrive en setning som er viktig for polynomdivisjon:

Setning: Resten i polynomdivisjon med \((x - r)\)

Gitt et polynom \(f\), så er resten \(R\) i polynomdivisjon \(f(x) : (x - r)\) lik \(R = f(r)\).

Hvis \(R = 0\), betyr det at \(f(r) = 0\) og \((x - r)\) er en faktor i \(f(x)\).

Bevis

Ved polynomdivisjon \(f(x) : (x - r)\) får vi generelt

\[\begin{align*} \dfrac{f(x)}{x - r} &= K(x) + \dfrac{R}{x - r} \\ \\ \textcolor{red}{(x - r)} \cdot\dfrac{f(x)}{x - r} &= K(x) \cdot \textcolor{red}{(x - r)} + \dfrac{R}{x - r} \cdot \textcolor{red}{(x - r)} \\ \\ f(x) &= K(x) \cdot (x - r) + R \\ \end{align*}\]

Setter vi inn \(x = r\) i den siste likningen, får vi

\[ f(r) = K(r) \cdot (r - r) + R = R. \]

Altså er resten \(R = f(r)\) og vi har bevist setningen.

---

Hjelpesetning: Resten i polynomdivisjonen \(f(x) : (x - r)\)

Hvis resten i polynomdivisjonen \(f(x) : (x - r)\) er \(R = f(r) = 0\), så er

• \(x = r\) et nullpunkt for \(f\) siden \(f(r) = 0\).

• \((x - r)\) er en faktor i \(f(x)\).

• \(f(x)\) er delelig med \((x - r)\). Noen ganger sier vi at polynomdivisjonen \(f(x) : (x - r)\) “går opp” og vi skriver \((x - r) \, | \, f(x)\) og leser det som “\((x - r)\) deler \(f(x)\)”.

Setningene over lar oss gjøre to ting:

• Avgjøre om et punkt \(x = r\) er et nullpunkt for \(f\), og dermed faktorisere \(f\).

• Regne ut funksjonsverdier \(f(r)\) raskt ved å dele med \((x - r)\) og lese av resten \(R\).

Vi tar et eksempel som illustrer setningen i praksis:

Eksempel 4

Et tredjegradspolynom \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6. \]

Regn ut \(f(-1)\) ved hjelp av polynomdivisjon.

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon og får:

Resten i polynomdivisjonen er \(8\), og derfor er \(f(-1) = 8\).

---

Horner-skjema

Når du leste gjennom eksempel 4 kan du ha stusset litt over en ting – hvordan i alle dager er dette mindre regning enn å bare sette inn verdien for \(x\) i \(f(x)\)? Trikset her er at vi gjør svært mye unødvendig skriving når vi gjør polynomdivisjonen – vi kan heller bare holde styr på koeffisientene og fokusere på de viktige regnestykkene som vi skal vise i neste eksempel:

Vi skal ta i bruk noe vi kaller for et Horner-skjema for å utføre divisjonen.

Horner-skjema

Et Horner-skjema kan brukes til å regne ut polynomdivisjonen \(f(x) : (x - r)\). La

\[ f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \]

og \(K(x)\) være kvotienten i polynomdivisjonen gitt ved

\[ K(x) = b_2x^2 + b_1x + b_0. \]

Da kan vi bestemme koeffisientene til \(K(x)\) og resten \(R\) ved å lage et Horner-skjema som vist under:

\[\begin{split} \begin{array}{r|cccc} & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ % Dividend coefficients x = r & & b_2\cdot r & b_1\cdot r & b_0\cdot r \\ % Linear term \hline & b_2 & b_1 & b_0 & R \\ % Resulting coefficients \end{array} \end{split}\]

der \(b_2 = a_3\) og de resterende tallene \(b_1, b_0\) og \(R\) regnes ut ved å summere tallene i kolonnen over streken. Vi jobber oss gjennom én og én kolonne fra venstre mot høyre.

Det viktigste å merke seg med den generelle teorien er hvor koeffisientene til telleren \(f(x)\) plasseres, og hvor koeffisientene til kvotienten \(K(x)\) og resten \(R\) plasseres. Rent praktisk trenger vi ikke huske formlene som står i hver kolonne – det hele blir klart med et eksempel.

Eksempel 5

Polynomdivisjonen fra eksempel 4 krever mye skriving:

Vi kan se at mange av leddene forsvinner som en trapp, så vi trenger ikke holde styr på de leddene. Rent praktisk lager vi Horner-skjemaet slik:

Fig. 15.1 viser hvordan vi algoritmisk regner ut verdiene i tabellen.

Prøv å sammenligne med polynomdivisjonen for å gjenkjenne hvor tallene i Horner-skjemaet dukker opp i polynomdivisjonen.

Vi kan oppsummere resultatet vi fikk med Horner-skjemaet som

Fig. 15.2 På øverste rad står koeffisientene til \(f(x)\) med høyeste grad først og konstantledd til slutt. På nederste rad er de tre første tallene koeffisientene til kvotienten \(K(x)\) med høyest grad til venstre og konstantledd til slutt. Det siste tallet (i rødt) på siste rad er resten \(R\).

Basert på Horner-skjemaet kan vi derfor lese av at

\[ K(x) = x^2 - 3x - 2 \quad \text{og} \quad R = 8. \]

Slår vi det hele sammen finner vi derfor at

\[ (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x + 1) = x^2 - 3x - 2 + \dfrac{8}{x + 1} \]

---

Underveisoppgave 1

Bruk et Horner-skjema til å regne ut kvotienten \(K(x)\) og resten \(R\) i polynomdivisjonen

\[ (x^3 - 4x^2 + 3x - 2) : (x - 2). \]

Fasit

Kvotienten:

\[ K(x) = x^2 - 2x - 1 \]

Rest:

\[ R = -4 \]

Løsning

Kvotienten:

\[ K(x) = x^2 - 2x - 1 \]

Rest:

\[ R = -4 \]