20. Lineære-over-lineære

Læringsmål

• Kunne representere lineære-over-lineære rasjonale funksjoner algebraisk, grafisk og med fortegnslinjer.

• Kunne bestemme \(f(x)\) for rasjonale funksjoner der tellergrad og nevnergrad er 1.

• Kunne bestemme asymptotene til rasjonale funksjoner.

• Kunne bestemme nullpunkter og løse ulikheter med rasjonale funksjoner.

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.

Definisjon: Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon \(f\) er en funksjon som kan skrives som

\[ f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \]

der \(P(x)\) og \(Q(x)\) er polynomer.

Graden til \(P\) kaller vi for tellergraden til \(f\) og graden til \(Q\) kaller vi for nevnergraden til \(f\).

Vi skal først konsentrere oss om rasjonale funksjoner der tellergraden og nevnergraden er \(1\). Det vil si der både teller og nevner er lineære polynomer. Vi skal kalle dette for lineære-over-lineære rasjonale funksjoner.

Algebraisk og grafisk representasjon

Utforsk 1

En rasjonal funksjon \(f = P / Q\) der \(P\) og \(Q\) er lineære funksjoner, kan skrives som

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

der \(a, b, c \in \mathbb{R}\) er noen konstanter.

I det interaktive vinduet under vises grafen til \(f\).

1. Utforsk hva \(a\) bestemmer for grafen til \(f\).

2. Utforsk hva \(b\) bestemmer for grafen til \(f\).

3. Utforsk hva \(c\) bestemmer for grafen til \(f\).

Husk at du kan zoome inn og ut i vinduet og flytte rundt på koordinatssystemet.

Fasit

1. \(a\)

\(a\) bestemmer verdien til den horisontale linja \(y = a\). Grafen til \(f\) nærmer seg denne linja når \(|x|\) er stor.

2. \(b\)

\(b\) bestemmer nullpunktet til \(f\). Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = b\). Vi kan merke oss at når \(b = c\), så forsvinner nullpunktet og grafen til \(f\) blir en horisontal linje.

3. \(c\)

Konstanten \(c\) bestemmer den vertikale linje \(x = c\). Grafen til \(f\) nærmer seg denne linja når \(x\) er i nærheten av \(x = c\). Verdien til \(|f(x)|\) blir veldig stor når \(x\) er nærme \(x = c\).

---

Vi kan oppsummere det vi utforsket i Utforsk 1 med følgende resultat:

Lineære-over-lineære rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon \(f\) der teller \(P(x)\) og nevner \(Q(x)\) er lineære polynomer kan alltid skrives som

der definisjonsmengden er \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{c\}\) og verdimengden er \(V_f = \mathbb{R} \setminus \{a\}\).

Konstant	Betydning
\(a\)	Horisontal asymptote. Verdien \(f(x)\) nærmer seg når \(|x|\) er veldig stor.
\(b\)	Nullpunktet til \(f\). Samme som nullpunktet til telleren \(P\).
\(c\)	Vertikal asymptote. Grafen til \(f\) vokser mot uendeligheten når \(x\) er nær linja \(x = c\). Samme som nullpunktet til nevneren \(Q\).

---

Bestemme \(f(x)\) fra grafisk representasjon

Vi går løs på et eksempel.

Eksempel 1

I Fig. 20.1 vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

I figuren vises det at grafen til \(f\) har

• En horisontal asymptote \(y = 2\).

• En vertikal asymptote \(x = -1\).

• Et nullpunkt i \(x = 3\).

Bestem \(f(x)\).

Fig. 20.1 viser grafen til en rasjonal funksjon \(f\) med en horisontal asymptote \(y = 2\) og en vertikal asymptote \(x = -1\) og et nullpunkt i \(x = 3\).

Løsning

En rasjonal funksjon der teller og nevner er lineære polynomer, kan alltid skrives som

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

der \(y = a\) er den horisontale asympoten, \(x = b\) er nullpunktet og \(x = c\) er den vertikale asymptoten.

• Horisontal asymptote er \(y = 2\), så \(a = 2\).

• Nullpunktet er \(x = 3\), så \(b = 3\).

• Vertikal asymptote er \(x = -1\), så \(c = -1\).

Dermed er \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2\cdot (x - 3)}{x - (-1)} = \dfrac{2x - 6}{x + 1} \]

---

Quiz 1

Ta quizen!

Underveisoppgave 1

I Fig. 20.2 vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Fig. 20.2 viser grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 3)}{x + 1} \]

Løsning

En rasjonal funksjon kan skrives som:

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

der \(y = a\) er den horisontale asymptoten, \(x = b\) er nullpunktet og \(x = c\) er den vertikale asymptoten.

• Horisontal asymptote er \(y = 2\), så \(a = 2\).

• Nullpunktet til \(f\) er \(x = 3\), så \(x_1 = 3\).

• Vertikal asymptote er \(x = -1\), så \(x_\infty = -1\).

Dermed er \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 3)}{x + 1} \]

Bestemme egenskaper fra \(f(x)\)

Eksempel 2

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2x + 6}{x - 1} \]

Bestem nullpunktet og asymptotene til \(f\).

Løsning

Vi kan skrive om uttrykket til \(f(x)\) ved å faktorisere telleren:

\[ f(x) = \dfrac{2x + 6}{x - 1} = \dfrac{2(x + 3)}{x - 1} \]

som betyr at vi kan lese av nullpunktet og asymptotene til \(f\):

• Horisontal asymptote: \(y = 2\).

• Vertikal asymptote: \(x = 1\).

• Nullpunkt: \(x = -3\).

---

Skissere grafen til \(f\)

Vi går løs på et eksempel der vi lager en skisse av grafen til en lineær rasjonal funksjon.

Eksempel 3

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{-2x + 4}{x + 3} \]

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Løsning

Vi starter med å bestemme egenskapene til \(f\) ved å skrive om \(f(x)\) så vi kan lese av nullpunktet og asymptotene:

\[ f(x) = \dfrac{-2x + 4}{x + 3} = \dfrac{-2(x - 2)}{x + 3} \]

som betyr at

• \(y = -2\) er en horisontal asymptote.

• \(x = 2\) er et nullpunkt.

• \(x = -3\) er en vertikal asymptote.

Vi tegner en fortegnslinje der vi passer på å få med at \(x = -3\) et bruddpunkt:

Fig. 20.3 viser fortegnsskjema for \(f(x) = (-2x + 4) / (x + 3)\). Bruddpunktene til \(f(x)\) er markert med et kryss “\(\times\)” i fortegnslinja.

Ut ifra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi se at \(f(x) < 0\) når \(x < -3\) og \(x > 2\) og at \(f(x) > 0\) når \(-2 < x < 3\). Samler vi dette med opplysningene om nullpunktet og asymptotene til \(f\), kan vi lage en skisse av grafen til \(f\) som følger:

Fig. 20.4 viser en skisse av grafen til \(f(x) = (-2x + 4) / (x + 3)\) med nullpunktet \(x = 2\), den vertikale asymptoten \(x = -3\) og den horisontale asymptoten \(y = -2\).