26. Lineære-over-lineære

Læringsmål

• Kunne representere lineære-over-lineære rasjonale funksjoner algebraisk, grafisk og med fortegnslinjer.

• Kunne bestemme \(f(x)\) for rasjonale funksjoner der tellergrad og nevnergrad er 1.

• Kunne bestemme asymptotene til rasjonale funksjoner.

• Kunne bestemme nullpunkter og løse ulikheter med rasjonale funksjoner.

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.

Definisjon: Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon \(f\) er en funksjon som kan skrives som

\[ f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \]

der \(P(x)\) og \(Q(x)\) er polynomer.

Graden til \(P\) kaller vi for tellergraden til \(f\) og graden til \(Q\) kaller vi for nevnergraden til \(f\).

Algebraisk og grafisk representasjon

Vi skal først konsentrere oss om rasjonale funksjoner der tellergraden og nevnergraden er \(1\). Det vil si der både teller og nevner er lineære polynomer. Vi skal kalle dette for lineære-over-lineære rasjonale funksjoner.

Lineære-over-lineære rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon \(f\) der teller \(P(x)\) og nevner \(Q(x)\) er lineære polynomer kan alltid skrives som

Grafen til \(f\) er en hyperbel med

• En horisontal asymptote med likningen \(y = a\).

• En vertikal asymptote med likningen \(x = c\).

• Et nullpunkt i \(x = b\).

• En definisjonsmengde \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{c\}\).

• En verdimengde \(V_f = \mathbb{R} \setminus \{a\}\).

---

Fra graf til \(f(x)\)

Vi går løs på et eksempel.

Eksempel 1

I figuren nedenfor vises grafen til en lineær-over-lineær rasjonal funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Løsning

En rasjonal funksjon der teller og nevner er lineære polynomer, kan alltid skrives som

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

der \(y = a\) er den horisontale asympoten, \(x = b\) er nullpunktet og \(x = c\) er den vertikale asymptoten.

• Horisontal asymptote er \(y = 2\), så \(a = 2\).

• Nullpunktet er \(x = 3\), så \(b = 3\).

• Vertikal asymptote er \(x = -1\), så \(c = -1\).

Dermed er \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2\cdot (x - 3)}{x - (-1)} = \dfrac{2x - 6}{x + 1} \]

---

Quiz 1

---

Underveisoppgave 1

I figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Fig. 26.1 viser grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 3)}{x + 1} \]

Løsning

En rasjonal funksjon kan skrives som:

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

der \(y = a\) er den horisontale asymptoten, \(x = b\) er nullpunktet og \(x = c\) er den vertikale asymptoten.

• Horisontal asymptote er \(y = 2\), så \(a = 2\).

• Nullpunktet til \(f\) er \(x = 3\), så \(x_1 = 3\).

• Vertikal asymptote er \(x = -1\), så \(x_\infty = -1\).

Dermed er \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 3)}{x + 1} \]

Bestemme egenskaper fra \(f(x)\)

Eksempel 2

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2x + 6}{x - 1} \]

Bestem nullpunktet og asymptotene til \(f\).

Løsning

Vi kan skrive om uttrykket til \(f(x)\) ved å faktorisere telleren:

\[ f(x) = \dfrac{2x + 6}{x - 1} = \dfrac{2(x + 3)}{x - 1} \]

som betyr at vi kan lese av nullpunktet og asymptotene til \(f\):

• Horisontal asymptote: \(y = 2\).

• Vertikal asymptote: \(x = 1\).

• Nullpunkt: \(x = -3\).

---

Underveisoppgave 2

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{3x + 6}{x - 1} \]

Bestem

• Nullpunktet til \(f\)

• Likningen for den vertikale asymptoten til \(f\)

• Likningen for den horisontale asymptoten til \(f\)

Fasit

• Nullpunktet er \(x = -2\)

• Vertikal asymptote er \(x = 1\)

• Horisontal asymptote er \(y = 3\)

Løsning

Generelt er en lineær-over-lineær rasjonal funksjon gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

Vi har at

\[ f(x) = \dfrac{3x + 6}{x - 1} = \dfrac{3(x + 2)}{x - 1} \]

Sammenlikninger vi det generelle uttrykket med \(f(x)\) så ser vi at

• Nullpunktet er \(x = -2\)

• Vertikal asymptote er \(x = 1\)

• Horisontal asymptote er \(y = 3\)

---

Fra \(f(x)\) til graf

Vi går løs på et eksempel der vi lager en skisse av grafen til en lineær rasjonal funksjon.

Eksempel 3

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{-2x + 4}{x + 3} \]

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Løsning

Vi starter med å bestemme egenskapene til \(f\) ved å skrive om \(f(x)\) så vi kan lese av nullpunktet og asymptotene:

\[ f(x) = \dfrac{-2x + 4}{x + 3} = \dfrac{-2(x - 2)}{x + 3} \]

som betyr at

• \(y = -2\) er en horisontal asymptote.

• \(x = 2\) er et nullpunkt.

• \(x = -3\) er en vertikal asymptote.

Vi tegner en fortegnslinje der vi passer på å få med at \(x = -3\) et bruddpunkt:

Fig. 26.2 viser fortegnsskjema for \(f(x) = (-2x + 4) / (x + 3)\). Bruddpunktene til \(f(x)\) er markert med et kryss “\(\times\)” i fortegnslinja.

Ut ifra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi se at \(f(x) < 0\) når \(x < -3\) og \(x > 2\) og at \(f(x) > 0\) når \(-2 < x < 3\). Samler vi dette med opplysningene om nullpunktet og asymptotene til \(f\), kan vi lage en skisse av grafen til \(f\) som følger:

Fig. 26.3 viser en skisse av grafen til \(f(x) = (-2x + 4) / (x + 3)\) med nullpunktet \(x = 2\), den vertikale asymptoten \(x = -3\) og den horisontale asymptoten \(y = -2\).