Oppgaver: Standardform

Oppgave 1

a

Les av koeffisientene til

\[ f(x) = -2x^2 - 2x + 12 \]

Fasit

\[ a = -2 \and b = -2 \and c = 12 \]

b

Les av koeffisientene til

\[ g(x) = -x^2 + x + 2 \]

Fasit

\[ a = -1 \and b = 1 \and c = 2 \]

c

Les av koeffisientene til

\[ h(x) = -2x^2 + 5 \]

Fasit

\[ a = -2 \and b = 0 \and c = 5 \]

d

Les av koeffisientene til

\[ p(x) = -x^2 + 3x \]

Fasit

\[ a = -1 \and b = 3 \and c = 0 \]

---

Oppgave 2

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^2 + 4x - 5 \]

Regn ut \(f(-1)\), \(f(0)\) og \(f(2)\).

Fasit

\[\begin{align*} f(-1) &= -7, \\ \\ f(0) &= -5, \\ \\ f(2) &= 11. \end{align*}\]

Løsning

\[\begin{align*} f(-1) &= 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 5 = 2 - 4 - 5 = -7, \\ \\ f(0) &= 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5, \\ \\ f(2) &= 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 5 = 8 + 8 - 5 = 11. \end{align*}\]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -x^2 + 3x + 2 \]

Regn ut \(g(-2)\), \(g(1)\) og \(g(4)\).

Fasit

\[\begin{align*} g(-2) &= -8, \\ g(1) &= 4, \\ g(4) &= -2. \end{align*}\]

Løsning

\[\begin{align*} g(-2) &= -(-2)^2 + 3 \cdot (-2) + 2 = -4 - 6 + 2 = -8, \\ g(1) &= -(1)^2 + 3 \cdot (1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4, \\ g(4) &= -(4)^2 + 3 \cdot (4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2. \end{align*}\]

c

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist nedenfor.

Bruk grafen til å bestemme \(h(-3)\), \(h(-2)\), \(h(-1)\), \(h(0)\) og \(h(1)\).

Fasit

\[\begin{align*} h(-3) &= 0, \\ \\ h(-2) &= -3, \\ \\ h(-1) &= -4, \\ \\ h(0) &= -3, \\ \\ h(1) &= 0. \end{align*}\]

d

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist nedenfor.

Bruk grafen til å bestemme \(p(-1)\), \(p(0)\), \(p(1)\), \(p(2)\) og \(p(3)\).

Fasit

\[\begin{align*} p(-1) &= 0, \\ \\ p(0) &= 3, \\ \\ p(1) &= 4, \\ \\ p(2) &= 3, \\ \\ p(3) &= 0. \end{align*}\]

---

Oppgave 3

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

a

Er grafen til \(f\) konveks eller konkav?

Kan du si noe om koeffisientene til \(f(x)\) ut ifra dette?

Fasit

Grafen er konveks siden den smiler .

Dette betyr at \(a > 0\) (koeffisienten er positiv).

b

Bestem verdien til \(a\).

Fasit

\[ a = 1 \]

Løsning

Bunnpunktet til \(f\) er i \((2, -1)\). Går vi én enhet langs \(x\)-aksen til høyre og finner grafen, er vi i \((3, 0)\). Altså øker \(y\)-verdien med \(1\) som betyr at

\[ a = 1 \]

c

Bestem likningen til symmetrilinja til \(f\) og bruk denne til å bestemme verdien til \(b\).

Fasit

Symmetrilinje:

\[ x = 2 \]

Koeffisienten \(b\):

\[ b = -4 \]

Løsning

Likningen til symmetrilinja er \(x = 2\) siden det er \(x\)-koordinaten der grafen har et bunnpunkt. Da får vi

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2 \cdot 1} \liff b = -4. \]

d

Bestem koordinatene til skjæringspunktet med \(y\)-aksen.

Bruk svaret ditt til å bestemme verdien til \(c\).

Fasit

Grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\) som betyr at \(c = 3\).

e

Bruk svarene dine fra a, b og c til å bestemme \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = x^2 - 4x + 3 \]

---

Oppgave 4

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^2 + 4x - 5 \]

a

Hva er verdiene til koeffisientene til \(f(x)\)?

Fasit

\[ a = 2 \and b = 4 \and c = -5. \]

b

Er grafen til \(f\) konveks eller konkav?

Begrunn svaret ditt.

Fasit

Grafen er konveks fordi \(a > 0\).

c

Hva var formelen for symmetrilinja igjen? $$x = -\dfrac{b}{2a}$$

Bestem symmetrilinja til \(f\).

Fasit

\[ x = -1 \]

Løsning

\[ x = -\frac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 2} = -1 \]

d

Har grafen til \(f\) et topp- eller bunnpunkt?

Bestem koordinatene til dette punktet.

Fasit

Grafen har et bunnpunkt i \((-1, -7)\).

Løsning

Grafen til \(f\) har et bunnpunkt siden \(a > 0\) som gjør at grafen er konveks .

Symmetrilinja er \(x = -1\). Dette er \(x\)-koordinaten til bunnpunktet. Vi setter \(x = -1\) inn i \(f(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til bunnpunktet:

\[ f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 5 = 2 - 4 - 5 = -7. \]

Dermed er koordinatene til bunnpunktet \((-1, -7)\).

e

Lag en skisse av grafen til \(f\) og marker egenskapene du har funnet på grafen.

Fasit

---

Oppgave 5

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

a

Bruk grafen til å bestemme verdien til \(a\).

Fasit

\[ a = -1 \]

Løsning

Toppunktet til \(f\) er \((-2, 9)\). Øker vi \(x\) med én enhet til høyre, så finner vi grafen i \((-1, 8)\) som betyr at \(y\)-verdien har sunket med \(1\). Dermed er

\[ a = -1. \]

b

Bruk grafen til å bestemme verdien til \(b\).

Fasit

\[ b = -4 \]

Løsning

Grafen til \(f\) har symmetrilinje i \(x = -2\) siden dette er \(x\)-koordinaten til toppunktet. Fra formelen for symmetrilinja til \(f\) får vi da at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff -2 = -\dfrac{b}{2 \cdot (-1)} \liff b = -4. \]

c

Bruk grafen til å bestemme verdien til \(c\).

Fasit

\[ c = 5. \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 5)\) som betyr at

\[ c = 5. \]

d

Bruk svarene dine fra a, b og c til å bestemme \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -x^2 - 4x + 5 \]

Løsning

Vi vet nå at koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 4 \and c = 5 \]

som betyr at

\[ f(x) = -x^2 + 4x + 5 \]

---

Oppgave 6

a

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 2x^2 + 8x + 6. \]

Løsning

Vi skriver \(f(x)\) på standardform

\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi finner ekstremalpunktet til \(f\) i \((-2, -2)\). Vi flytter oss én enhet til høyre langs \(x\)-aksen og finner grafen i \((-1, 0)\) som betyr at \(y\)-verdien har økt med \(2\). Det betyr at \(a = 2\).

Grafen til \(f\) har symmetrilinje i \(x = -2\) siden ekstremalpunktet er i \((-2, -2)\). Fra formelen for symmetrilinja til \(f\) finner vi da at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff -2 = -\dfrac{b}{2 \cdot 2} \liff b = 8. \]

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 6)\) som betyr at \(c = 6\). Dermed er

\[ f(x) = 2x^2 + 8x + 6. \]

b

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -x^2 + 4x - 5. \]

Løsning

Vi skriver \(g(x)\) på standardform

\[ g(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi ser at ekstremalpunktet til \(g\) er i \((2, -1)\). Øker vi \(x\) med én enhet til høyre, så finner vi grafen i \((3, -2)\) som betyr at \(y\)-verdien synker med \(1\) enhet. Dermed er \(a = -1\).

Ekstremalpunktet er i \((2, -1)\) som gir at likningen til symmetrilinja er \(x = 2\) siden dette er \(x\)-koordinaten til punktet. Fra formelen for symmetrilinja til \(g\) kan vi bestemme verdien til \(b\):

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2 \cdot (-1)} \liff b = -4. \]

Vi ser at grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -5)\) som betyr at \(c = -5\). Dermed er

\[ g(x) = -x^2 + 4x - 5. \]

c

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = x^2 + 2x + 4. \]

Løsning

Vi skriver \(h(x)\) på standardform

\[ h(x) = ax^2 + bx + c \]

Ekstremalpunktet til \(h\) er i \((-1, 3)\). Øker vi \(x\) med én enhet og finner grafen igjen, havner vi i punktet \((0, 4)\). Altså har \(y\)-verdien økt med \(1\) enhet som betyr at \(a = 1\).

Ekstremalpunktet \((-1, 3)\) gir oss symmetrilinja \(x = -1\) siden \(x\)-koordinaten er symmetrilinja til grafen. Da kan vi finne \(b\):

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff -1 = -\dfrac{b}{2 \cdot 1} \liff b = 2. \]

Grafen til \(h\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 4)\) som betyr at \(c = 4\). Dermed er

\[ h(x) = x^2 + 2x + 4. \]

d

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x. \]

Løsning

Vi skriver \(p(x)\) på standardform

\[ p(x) = ax^2 + bx + c \]

Ekstremalpunktet til \(p\) er \((2, 2)\). Hvis øker \(x\) med én enhet, så klarer vi ikke lese av de eksakte koordinatene til punktet på grafen. Øker vi \(x\) med \(2\) enheter, så finner vi grafen i punktet \((4, 0)\) som betyr at \(y\)-verdien har sunket med \(2\) enheter. Da har vi at

\[ 2^2 \cdot a = -2 \liff 4a = -2 \liff a = -\dfrac{1}{2} \]

Siden ekstremalpunktet er i \((2, 2)\), så er symmetrilinja \(x = 2\) (\(x\)-koordinaten til punktet). Fra formelen for symmetrilinja, finner vi da at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)} \liff b = 2 \]

Grafen til \(p\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 0)\) som betyr at \(c = 0\). Dermed er

\[ p(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x \]

---

Oppgave 7

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 + 2x - 2. \]

Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(f\).

Fasit

Graf B viser grafen til \(f\).

Løsning

Koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = 2 \and b = 4 \and c = -5. \]

Vi ser derfor at grafen til \(f\) er konveks siden \(a > 0\). Det betyr at grafen til \(f\) enten er B eller D. Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i et punkt med negativ \(y\)-koordinat siden \(c < 0\), men dette er sant både for graf B og D.

Symmetrilinja til \(f\) er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1. \]

Dette passer bare med graf B som betyr at grafen til \(f\) er graf B.

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = x^2 - 4x \]

Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(g\).

Fasit

Graf D.

Løsning

Koeffisientene til \(g(x)\) er

\[ a = 1 \and b = -4 \and c = 0. \]

Siden \(a > 0\) er grafen til \(g\) konveks . Det passer bare med graf B og D.

Symmtrilinja til \(g\) er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = - \dfrac{-4}{2\cdot 1} = 2. \]

Det er bare graf D som har en symmetrilinja langs en positiv \(x\)-verdi, så dermed er graf D grafen til \(g\).

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 + 6x + 5 \]

Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(h\).

Fasit

Graf A.

Løsning

Koeffisientene til \(h(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 6 \and c = 5. \]

Grafen til \(h\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 5)\) siden \(c = 5\). Det bare graf A og C som skjærer \(y\)-aksen i et punkt med positiv \(y\)-verdi.

Symmetrilinja til \(h\) er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot 1} = -3. \]

Altså må grafen til \(h\) ha en symmetrilinja langs en negativ \(x\)-verdi. Dette stemmer bare for graf A. Dermed er graf A grafen til \(h\).

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -2x^2 + 4x - 1 \]

Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(p\).

Fasit

Graf C.

Løsning

Koeffisientene til \(p(x)\) er

\[ a = -2 \and b = 4 \and c = -1 \]

Grafen til \(p\) er konkav siden \(a < 0\). Det betyr at grafen til \(p\) enten er A eller C.

Symmetrilinja til \(p\) er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-2)} = 1. \]

Det er bare graf C som har en symmetrilinje langs en positiv \(x\)-verdi, så dermed er graf C grafen til \(p\).

---

Oppgave 8

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 4x + 3. \]

Lag en skisse av grafen til \(f\) og marker følgende egenskaper:

• Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

• Symmetrilinja

• Topp- eller bunnpunkt med koordinater

Fasit

Løsning

Koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 4 \and c = 3. \]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Konstantleddet er \(x = 3\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\).

Symmetrilinja

Symmetrilinja er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2. \]

Topp- eller bunnpunkt

Grafen til \(f\) er konkav siden \(a < 0\). Dermed har grafen et toppunkt. Toppunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 2\). Vi setter \(x = 2\) inn i \(f(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til toppunktet:

\[ f(2) = -1 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 3 = 5. \]

Dermed er toppunktet til \(f\) gitt ved \((2, 5)\).

Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til \(f\):

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = 2x^2 + 4x - 1 \]

Lag en skisse av grafen til \(g\) og marker følgende egenskaper:

• Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

• Symmetrilinja

• Topp- eller bunnpunkt med koordinater

Fasit

Løsning

Koeffisientene til \(g(x)\) er

\[ a = 2 \and b = 4 \and c = -1. \]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Konstantleddet er \(c = -1\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -1)\).

Symmetrilinja

Symmetrilinja er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 2} = -1. \]

Topp- eller bunnpunkt

Grafen til \(g\) er konveks siden \(a > 0\) . Dermed har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = -1\). Vi setter \(x = -1\) inn i \(g(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til bunnpunktet:

\[ g(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 1 = -3. \]

Dermed er bunnpunktet til \(g\) gitt ved \((-1, -3)\).

Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til \(g\):

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 - 4 \]

Lag en skisse av grafen til \(h\) og marker følgende egenskaper:

• Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

• Symmetrilinja

• Topp- eller bunnpunkt med koordinater

Fasit

Løsning

Koeffisientene til \(h(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 0 \and c = -4. \]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Konstantleddet er \(c = -4\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -4)\).

Symmetrilinja

Symmetrilinja er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2 \cdot 1} = 0. \]

Topp- eller bunnpunkt

Grafen til \(h\) er konveks siden \(a > 0\). Dermed har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 0\). Vi setter \(x = 0\) inn i \(h(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til bunnpunktet:

\[ h(0) = 0^2 - 4 = -4. \]

Dermed er bunnpunktet til \(h\) gitt ved \((0, -4)\).

Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til \(h\):

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -x^2 + 2x \]

Lag en skisse av grafen til \(p\) og marker følgende egenskaper:

• Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

• Symmetrilinja

• Topp- eller bunnpunkt med koordinater

Fasit

Løsning

Koeffisientene til \(p(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 2 \and c = 0. \]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Konstantleddet er \(c = 0\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 0)\).

Symmetrilinja

Symmetrilinja er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot (-1)} = 1. \]

Topp- eller bunnpunkt

Grafen til \(p\) er konkav siden \(a < 0\). Dermed har grafen et toppunkt. Toppunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 1\). Vi setter \(x = 1\) inn i \(p(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til toppunktet:

\[ p(1) = -1 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1. \]

Dermed er toppunktet til \(p\) gitt ved \((1, 1)\).

Nå har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til \(p\):

---

Oppgave 9

a

Åpne CAS‑vindu

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk CAS til å bestemme \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = x^2 - 2x - 3 \]

Løsning

Vi trenger tre punkter på grafen til \(f\). Vi ser at grafen går gjennom punktene \((-1, 0)\), \((3, 0)\) og \((0, -3)\). Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til \(f(x)\):

Fra utskriften finner vi at koeffisientene er

\[ a = 1 \and b = -2 \and c = -3 \]

Dermed får vi at

\[ f(x) = x^2 - 2x - 3 \]

b

Åpne CAS‑vindu

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk CAS til å bestemme \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -2x^2 - 4x - 3 \]

Løsning

Vi trenger tre punkter på grafen til \(g\). Vi ser at grafen til \(g\) går gjennom punktene \((-1, -1)\), \((0, -3)\) og \((-2, -3)\). Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til \(g(x)\):

Fra utskriften ser vi at koeffisientene er

\[ a = -2 \and b = -4 \and c = -3 \]

Dermed er \(g(x)\) gitt ved

\[ g(x) = -2x^2 - 4x - 3 \]

c

Åpne CAS‑vindu

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk CAS til å bestemme \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = x^2 + 6x + 5 \]

Løsning

Vi trenger tre punkter på grafen til \(h\). Vi ser at grafen til \(h\) går gjennom punktene \((-5, 0)\), \((-1, 0)\) og \((0, 5)\). Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til \(h(x)\):

Fra utskriften ser vi at koeffisientene er

\[ a = 1 \and b = 6 \and c = 5 \]

Dermed er \(h(x)\):

\[ h(x) = x^2 + 6x + 5 \]

d

Åpne CAS‑vindu

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk CAS til å bestemme \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 2 \]

Løsning

Vi trenger tre punkter på grafen til \(p\). Vi ser at grafen til \(p\) går gjennom punktene \((2, 0)\), \((0, -2)\) og \((4, -2)\). Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til \(p(x)\):

Fra utskriften ser vi at koeffisientene er

\[ a = -\dfrac{1}{2} \and b = 2 \and c = -2 \]

Dermed er \(p(x)\):

\[ p(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 2 \]

---

Oppgave 10

a

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1. \]

Løsning

Vi skriver \(f(x)\) på standardform

\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi ser at grafen til \(f\) har et toppunkt i \((2, 3)\). Flytter vi oss \(2\) enheter langs \(x\)-aksen til venstre ligger skjæringspunktet til grafen med \(y\)-aksen i \((0, 1)\). Her har \(y\)-verdien sunket med \(2\) enheter som betyr at

\[ 2^2 a = -2 \liff 4a = -2 \liff a = -\dfrac{1}{2} \]

Siden grafen til \(f\) har et toppunkt i \((2, 3)\) så er symmetrilinja gitt ved \(x = 2\). Vi kan bestemme \(b\) ved hjelp av formelen for symmetrilinja:

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)} \liff 2 = b \liff b = 2. \]

Siden grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\) så er \(c = 1\). Dermed har vi

\[ f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1. \]

b

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(g\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = 2x^2 + 4x + 4. \]

Løsning

Siden \(g\) er en andregradsfunksjon, så er

\[ g(x) = ax^2 + bx + c. \]

Grafen til \(g\) har et bunnpunkt i \((-1, 2)\) som betyr at symmetrilinja er \(x = -1\). Da får vi at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -1 \liff b = 2a. \]

Grafen til \(g\) går gjennom punktet \((-2, 4)\) som ligger én enhet til venstre for bunnpunktet. Det betyr at hvis vi flytter oss én enhet til høyre, så får vi et punkt med samme \(y\)-koordinat. Dette blir da \((0, 4)\) som er punktet grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen. Dermed er

\[ c = 4. \]

Nå kan vi skrive om \(g(x)\) til

\[ g(x) = ax^2 + 2ax + 4. \]

Nå bruker vi bunnpunktet til å bestemme verdien til \(a\). Siden grafen går gjennom \((-1, 2)\), så betyr det at

\[ g(-1) = 2 \liff a \cdot (-1)^2 + 2a \cdot (-1) + 4 = 2 \]

som vi forenkler til

\[ -a + 4 = 2 \liff -a = -2 \liff a = 2. \]

Nå kan vi regne ut verdien til \(b\):

\[ b = 2a = 2 \cdot 2 = 4. \]

Dermed er koeffisientene til \(g(x)\) gitt ved

\[ a = 2 \and b = 4 \and c = 4. \]

Dermed er

\[ g(x) = 2x^2 + 4x + 4. \]

c

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(h\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = x^2 - 6x + 9. \]

Løsning

Vi starter med standardformen til \(h(x)\) som er

\[ h(x) = ax^2 + bx + c. \]

Grafen til \(h\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 9)\) som betyr at \(c = 9\).

Grafen til \(h\) går gjennom punktene \((1, 4)\) og \((5, 4)\) som har samme \(y\)-koordinat. Siden de har samme \(y\)-koordinat, må symmetrilinja ligge midt mellom disse to punktene som betyr at symmetrilinja er gjennomsnittet av \(x\)-koordinatene:

\[ x = \dfrac{1 + 5}{2} = 3. \]

Gjennomsnittet av to tall ligger alltid midt mellom de to tallene!

Men da får vi at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = 3 \liff b = -6a. \]

Da kan vi skrive om \(h(x)\) til

\[ h(x) = ax^2 - 6ax + 9. \]

Nå trenger vi å bruke ett av punktene vi ikke har brukt enda. Vi velger \((1, 4)\) som betyr at

\[ h(1) = 4 \liff a \cdot 1^2 - 6a \cdot 1 + 9 = 4 \]

som vi forenkler til

\[ -5a + 9 = 4 \liff -5a = -5 \liff a = 1. \]

Nå kan vi regne ut verdien til \(b\):

\[ b = -6a = -6 \cdot 1 = -6. \]

Dermed er koeffisientene til \(h(x)\) gitt ved

\[ a = 1 \and b = -6 \and c = 9. \]

Dermed er

\[ h(x) = x^2 - 6x + 9. \]

d

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(p\).

Bestem \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = -2x^2 + 2x + 12. \]

Løsning

Standardformen til \(p(x)\) er gitt ved

\[ p(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi ser at grafen til \(p\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 12)\) som betyr at \(c = 12\).

Grafen til \(p\) har to nullpunkter i \((-2, 0)\) og \((3, 0)\). Siden disse punktene har samme \(y\)-koordinat, så må symmetrilinja ligge midt mellom disse to punktene som betyr at symmetrilinja er gjennomsnittet av \(x\)-koordinatene:

\[ x = \dfrac{-2 + 3}{2} = \dfrac{1}{2} \]

Da får vi at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2} \liff b = -a. \]

Da kan vi skrive om \(p(x)\) til

\[ p(x) = ax^2 - ax + 12. \]

Nå trenger vi å bruke ett av punktene vi ikke har brukt enda. Vi velger \((3, 0)\) som betyr at

\[ p(3) = 0 \liff a \cdot 3^2 - a \cdot 3 + 12 = 0 \]

som vi forenkler til

\[ 6a + 12 = 0 \liff 6a = -12 \liff a = -2. \]

Nå kan vi regne ut verdien til \(b\):

\[ b = -a = -(-2) = 2. \]

Dermed er koeffisientene til \(p(x)\) gitt ved

\[ a = -2 \and b = 2 \and c = 12. \]

Det betyr at

\[ p(x) = -2x^2 + 2x + 12. \]

---

Oppgave 11

Siri har laget programmet nedenfor:

def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x - 15

x = -5
verdi = f(x)

while x <= 5:

    if f(x) < verdi:
        verdi = f(x)

    x = x + 1

print(verdi)

Hva finner Siri når hun kjører programmet?

Hvilken verdi skrives ut?

---

Oppgave 12

Anna jobber med andregradsfunksjonen

\[ f(x) = x^2 - 4x + 5 \]

Hun ønsker å bestemme bunnpunktet med programmering og har laget en figur som illustrerer strategien hun vil bruke:

a

Bruk strategien til Anna og skriv ferdig programmet nedenfor.

Bestem koordinatene til bunnpunktet til \(f\) med programmet.

Løsning

Løsning med for-løkke:

def f(x):
    return x**2 - 4*x + 5


for x in range(0, 11):
    if f(x) <= f(x + 1):
        bunnpunkt = (x, f(x))
        print(bunnpunkt)

        break

Løsning med while-løkke:

def f(x):
    return x**2 - 4*x + 5


x = 0
while f(x) < f(x + 1):
    x = x + 1


bunnpunkt = (x, f(x))
print(bunnpunkt)

b

Anna vil bruke en tilsvarende strategi til å bestemme toppunktet til

\[ g(x) = -2x^2 + 8x - 4. \]

Gjør nødvendige endringer i programmet slik at det finner toppunktet til \(g\).