Oppgaver: Den deriverte

Oppgave 1

Deriver polynomfunksjonene.

a

\[ f(x) = x^2 - 3x + 2 \]

Fasit

\[ f'(x) = 2x - 3 \]

b

\[ g(x) = -x^3 + 4x + 1 \]

Fasit

\[ g'(x) = -3x^2 + 4 \]

c

\[ h(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1 \]

Fasit

\[ h'(x) = 8x^3 - 6x \]

d

\[ p(x) = 3x^5 - 2x^3 + 4x \]

Fasit

\[ p'(x) = 15x^4 - 6x^2 + 4 \]

Oppgave 2

I denne oppgaven skal du finne likningene til tangentene ved å bruke den deriverte og ettpunktsformelen.

a

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 3x + 1 \]

Bestem likningen til tangenten i \((2, f(2))\).

Fasit

\[ y = -x + 5 \]

b

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6 \]

Bestem likningen til tangenten i \((1, g(1))\).

Fasit

\[ y = -5x + 5 \]

c

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ h(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1 \]

Bestem likningen til tangenten i \((0, h(0))\).

Fasit

\[ y = 1 \]

d

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ p(x) = 4x^5 - 3x^3 + 2x \]

Bestem likningen til tangenten i \((-1, p(-1))\).

Fasit

\[ y = 13x + 10. \]

Oppgave 3

I denne oppgaven skal du bruke polynomdivisjon til å finne likningen til tangentene.

a

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 3x + 1 \]

Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i \((2, f(2))\).

Fasit

\[ y = -x + 5 \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjonen \(f(x) : (x - 2)^2\) og leser av resten siden dette gir likningen til tangenten i \((2, f(2))\). Vi bruker 2.kvadratsetning for å regne ut divisoren:

\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4. \]

Polynomdivisjonen blir da:

Vi kan se at resten er \(-x + 5\) som gir likningen til tangenten:

\[ y = -x + 5. \]

b

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6. \]

Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i \((1, g(1))\).

Fasit

\[ y = -5x + 5 \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjonen \(g(x) : (x - 1)^2\) for å finne resten som gir likningen til tangenten i \((1, g(1))\).

Fra 2.kvadratsetning får vi divisoren som:

\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1. \]

Dermed blir polynomdivisjonen:

Vi kan lese av at resten er \(-5x + 5\) som gir likningen til tangenten:

\[ y = -5x + 5. \]

c

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ h(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1. \]

Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i \((0, h(0))\).

Fasit

\[ y = 1 \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjonen \(h(x) : (x - 0)^2\) for å finne resten som gir likningen til tangenten i \((0, h(0))\).

Siden \((x - 0)^2 = x^2\), kan vi utføre polynomdivisjonen direkte:

Vi kan lese av at resten er \(1\) som betyr at likningen til tangenten er

\[ y = 1. \]

d

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ p(x) = 4x^5 - 3x^3 + 2x. \]

Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i \((-1, p(-1))\).

Fasit

\[ y = 13x + 10. \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjonen \(p(x) : (x + 1)^2\) for å finne resten som gir likningen til tangenten i \((-1, p(-1))\).

Vi bruker 1.kvadratsetning til å regne ut divisoren:

\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1. \]

Så utfører vi polynomdivisjonen:

Vi leser av at resten er \(13x + 10\) som gir likningen til tangenten:

\[ y = 13x + 10. \]

---

Oppgave 4

a

Fig. 19.6 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til \(f'(x)\).

Fig. 19.6 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Fasit

Fig. 19.7 viser fortegnslinja til \(f'(x)\).

b

Fig. 19.8 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\).

Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til \(g'(x)\).

Fig. 19.8 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\).

Fasit

Fig. 19.9 viser fortegnslinja til \(g'(x)\).

c

Fig. 19.10 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\).

Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til \(h'(x)\).

Fig. 19.10 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\).

Fasit

Fig. 19.11 viser fortegnslinja til \(h'(x)\).

d

Fig. 19.12 viser grafen til en fjerdegradsfunksjon \(p\).

Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til \(p'(x)\).

Fig. 19.12 viser grafen til en fjerdegradsfunksjon \(p\).

Fasit

Fig. 19.13 viser fortegnslinja til \(p'(x)\).

---

Oppgave 5

a

Fig. 19.14 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Lag en skisse av grafen til \(f'\).

Fig. 19.14 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Fasit

Fig. 19.15 viser grafen til den deriverte \(f'\).

b

Fig. 19.16 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\).

Lag en skisse av grafen til \(g'\).

Fig. 19.16 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\).

Fasit

Fig. 19.17 viser grafen til den deriverte \(g'\).

c

Fig. 19.18 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\).

Lag en skisse av grafen til \(h'\).

Fig. 19.18 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\).

Fasit

Fig. 19.19 viser grafen til den deriverte \(h'\).

d

Fig. 19.20 viser grafen til en fjerdegradsfunksjon \(p\).

Lag en skisse av grafen til \(p'\).

Fig. 19.20 viser grafen til en fjerdegradsfunksjon \(p\).

Fasit

Fig. 19.21 viser grafen til den deriverte \(p'\).

---

Oppgave 6

a

Fig. 19.22 viser grafen til en lineær funksjon \(f'\).

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Fig. 19.22 viser grafen til \(f'\).

Fasit

Fig. 19.23 viser en skisse av grafen til \(f\).

b

Fig. 19.24 viser grafen til en andregradsfunksjon \(g'\).

Lag en skisse av grafen til \(g\).

Fig. 19.24 viser grafen til \(g'\).

Fasit

Fig. 19.25 viser en skisse av grafen til \(g\).

c

Fig. 19.26 viser grafen til en andregradsfunksjon \(h'\).

Lag en skisse av grafen til \(h\).

Fig. 19.26 viser grafen til \(h'\).

Fasit

Fig. 19.27 viser en skisse av grafen til \(h\).

d

Fig. 19.28 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(p'\).

Lag en skisse av grafen til \(p\).

Fig. 19.28 viser grafen til \(p'\).

Fasit

Fig. 19.29 viser en skisse av grafen til \(p\).

Oppgave 7

Fig. 19.30 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og to tangenter. Om tangentene får du vite at:

• Tangentene går gjennom nullpunktene til \(f\).

• Den ene tangenten har likningen \(y = 4x + 4\).

• Den andre tangenten skjærer \(y\)-aksen i \((0, 12)\).

• Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\).

Bestem \(f(x)\) og \(f'(x)\).

Fig. 19.30 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og to tangenter. Den ene tangenten har likningen \(y = 4x + 4\) og den andre tangenten skjærer \(y\)-aksen i \((0, 12)\).

Fasit

\[ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \quad \text{og} \quad f'(x) = -2x + 2. \]

---

Oppgave 8

Fig. 19.31 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f'\).

Fig. 19.31 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f'\).

a

Bestem \(f'(x)\).

Fasit

\[ f'(x) = (x + 1)^2 - 4 \]

b

Grafen til \(f\) har et nullpunkt i \(x = 1\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + \dfrac{5}{3} \]

---

Oppgave 9

Fig. 19.32 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f'\). Tangenten gjennom toppunktet til \(f'\) har likningen \(y = 4\).

Fig. 19.32 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f'\).

a

Bestem \(f'(x)\).

Fasit

\[ f'(x) = -\dfrac{4}{9}(x + 2)(x - 4) \]

b

En tangent som går gjennom \((0, f(0))\) har likningen \(y = 3x - 2\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x - 2. \]

---

Oppgave 10

Anna og Bjørn arbeider med tredjegradsfunksjoner og tangenter.

Anna

Jeg tror en tredjegradsfunksjon alltid må ha to tangenter som har samme stigningstall.

Bjørn

Men hva med når den har et toppunkt og et bunnpunkt? Vil den da alltid ha dette?

Anna

Kanskje vi må sjekke hva som skjer mellom toppunktet og bunnpunktet?

Bjørn

Men hva om den ikke har et toppunkt eller bunnpunkt? Vil det da alltid være to tangenter med samme stigningstall?

Utforsk det Anna og Bjørn diskuterer og finn ut om det stemmer at en tredjegradsfunksjon alltid har to tangenter med samme stigningstall.

Argumenter for svaret ditt.

Løsning

En tredjegradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]

Ekstremalpunktene på grafen til \(f\) kan vi bestemme ved å løse \(f'(x) = 0\). Vi har at

\[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]

som er en andregradsfunksjon. Andregradsfunksjonen kan enten ha ingen, ett eller to nullpunkter som vi kan bestemme med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-2b \pm \sqrt{(2b)^2 - 4\cdot (3a) \cdot c}}{2 \cdot 3a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}. \]

Vi må ta for oss tilfellene der