Oppgaver: Den deriverte#
Oppgave 1
Deriver polynomfunksjonene.
Fasit
Fasit
Fasit
Fasit
Oppgave 2
I denne oppgaven skal du finne likningene til tangentene ved å bruke den deriverte og ettpunktsformelen.
En polynomfunksjon er gitt ved
Bestem likningen til tangenten i \((2, f(2))\).
Fasit
En polynomfunksjon er gitt ved
Bestem likningen til tangenten i \((1, g(1))\).
Fasit
En polynomfunksjon er gitt ved
Bestem likningen til tangenten i \((0, h(0))\).
Fasit
En polynomfunksjon er gitt ved
Bestem likningen til tangenten i \((-1, p(-1))\).
Fasit
Oppgave 3
I denne oppgaven skal du bruke polynomdivisjon til å finne likningen til tangentene.
En polynomfunksjon er gitt ved
Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i \((2, f(2))\).
Fasit
Løsning
Vi utfører polynomdivisjonen \(f(x) : (x - 2)^2\) og leser av resten siden dette gir likningen til tangenten i \((2, f(2))\). Vi bruker 2.kvadratsetning for å regne ut divisoren:
Polynomdivisjonen blir da:
Vi kan se at resten er \(-x + 5\) som gir likningen til tangenten:
En polynomfunksjon er gitt ved
Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i \((1, g(1))\).
Fasit
Løsning
Vi utfører polynomdivisjonen \(g(x) : (x - 1)^2\) for å finne resten som gir likningen til tangenten i \((1, g(1))\).
Fra 2.kvadratsetning får vi divisoren som:
Dermed blir polynomdivisjonen:
Vi kan lese av at resten er \(-5x + 5\) som gir likningen til tangenten:
En polynomfunksjon er gitt ved
Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i \((0, h(0))\).
Fasit
Løsning
Vi utfører polynomdivisjonen \(h(x) : (x - 0)^2\) for å finne resten som gir likningen til tangenten i \((0, h(0))\).
Siden \((x - 0)^2 = x^2\), kan vi utføre polynomdivisjonen direkte:
Vi kan lese av at resten er \(1\) som betyr at likningen til tangenten er
En polynomfunksjon er gitt ved
Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i \((-1, p(-1))\).
Fasit
Løsning
Vi utfører polynomdivisjonen \(p(x) : (x + 1)^2\) for å finne resten som gir likningen til tangenten i \((-1, p(-1))\).
Vi bruker 1.kvadratsetning til å regne ut divisoren:
Så utfører vi polynomdivisjonen:
Vi leser av at resten er \(13x + 10\) som gir likningen til tangenten:
Oppgave 4
Fig. 19.6 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).
Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til \(f'(x)\).
Fig. 19.6 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).#
Fasit
Fig. 19.7 viser fortegnslinja til \(f'(x)\).#
Fig. 19.8 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\).
Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til \(g'(x)\).
Fig. 19.8 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\).#
Fasit
Fig. 19.9 viser fortegnslinja til \(g'(x)\).#
Fig. 19.10 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\).
Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til \(h'(x)\).
Fig. 19.10 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\).#
Fasit
Fig. 19.11 viser fortegnslinja til \(h'(x)\).#
Fig. 19.12 viser grafen til en fjerdegradsfunksjon \(p\).
Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til \(p'(x)\).
Fig. 19.12 viser grafen til en fjerdegradsfunksjon \(p\).#
Fasit
Fig. 19.13 viser fortegnslinja til \(p'(x)\).#
Oppgave 5
Fig. 19.14 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).
Lag en skisse av grafen til \(f'\).
Fig. 19.14 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).#
Fasit
Fig. 19.15 viser grafen til den deriverte \(f'\).#
Fig. 19.16 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\).
Lag en skisse av grafen til \(g'\).
Fig. 19.16 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\).#
Fasit
Fig. 19.17 viser grafen til den deriverte \(g'\).#
Fig. 19.18 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\).
Lag en skisse av grafen til \(h'\).
Fig. 19.18 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\).#
Fasit
Fig. 19.19 viser grafen til den deriverte \(h'\).#
Fig. 19.20 viser grafen til en fjerdegradsfunksjon \(p\).
Lag en skisse av grafen til \(p'\).
Fig. 19.20 viser grafen til en fjerdegradsfunksjon \(p\).#
Fasit
Fig. 19.21 viser grafen til den deriverte \(p'\).#
Oppgave 6
Fig. 19.22 viser grafen til en lineær funksjon \(f'\).
Lag en skisse av grafen til \(f\).
Fig. 19.22 viser grafen til \(f'\).#
Fasit
Fig. 19.23 viser en skisse av grafen til \(f\).#
Fig. 19.24 viser grafen til en andregradsfunksjon \(g'\).
Lag en skisse av grafen til \(g\).
Fig. 19.24 viser grafen til \(g'\).#
Fasit
Fig. 19.25 viser en skisse av grafen til \(g\).#
Fig. 19.26 viser grafen til en andregradsfunksjon \(h'\).
Lag en skisse av grafen til \(h\).
Fig. 19.26 viser grafen til \(h'\).#
Fasit
Fig. 19.27 viser en skisse av grafen til \(h\).#
Fig. 19.28 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(p'\).
Lag en skisse av grafen til \(p\).
Fig. 19.28 viser grafen til \(p'\).#
Fasit
Fig. 19.29 viser en skisse av grafen til \(p\).#
Oppgave 7
Fig. 19.30 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og to tangenter. Om tangentene får du vite at:
Tangentene går gjennom nullpunktene til \(f\).
Den ene tangenten har likningen \(y = 4x + 4\).
Den andre tangenten skjærer \(y\)-aksen i \((0, 12)\).
Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\).
Bestem \(f(x)\) og \(f'(x)\).
Fig. 19.30 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og to tangenter. Den ene tangenten har likningen \(y = 4x + 4\) og den andre tangenten skjærer \(y\)-aksen i \((0, 12)\).#
Fasit
Oppgave 8
Fig. 19.31 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f'\).
Fig. 19.31 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f'\).#
Bestem \(f'(x)\).
Fasit
Grafen til \(f\) har et nullpunkt i \(x = 1\).
Bestem \(f(x)\).
Fasit
Oppgave 9
Fig. 19.32 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f'\). Tangenten gjennom toppunktet til \(f'\) har likningen \(y = 4\).
Fig. 19.32 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f'\).#
Bestem \(f'(x)\).
Fasit
En tangent som går gjennom \((0, f(0))\) har likningen \(y = 3x - 2\).
Bestem \(f(x)\).
Fasit