35. Enhetssirkelen

Læringsmål

• Kunne beskrive hvordan \(\cos v\) og \(\sin v\) henger sammen med koordinatene til et punkt \(P\) på enhetssirkelen.

• Kunne bruke enhetssirkelen til å bestemme \(\cos v\) og \(\sin v\) for vinkler \(v \in [0, 360\degree\rangle\)

• Kunne begrunne og bruke ulike trigonometriske identiteter til å bestemme ulike verdier for \(\cos v\) og \(\sin v\).

Vi har sett at \(\sin v\) og \(\cos v\) er forholdstall i rettvinklede trekanter. Fordi alle rettvinklede trekanter med samme vinkel \(v\) er formlike, vil \(\sin v\) og \(\cos v\) være lik uansett hvor stor eller liten trekanten er.

Men trekanter som ikke er rettvinklede kan jo også være formlike. Her skal vi utvide definisjonen av \(\sin v\) og \(\cos v\) slik at de fungerer for trekanter uavhengig om rettvinklede eller ikke.

Enhetssirkelen

Vi forestiller oss at vi tar en trekant og plasserer den i et koordinatsystem der det éne hjørnet alltid er plassert i origo, den ene kateten ligger alltid på \(x\)-aksen og hypotenusen har lengde \(1\). Da vil det ene hjørnet alltid ligge på en sirkel med radius \(1\) og sentrum i origo. Denne sirkelen kaller vi for enhetssirkelen.

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen er en sirkel med radius \(1\) og sentrum i origo.

Vi lar \(v\) være vinkelen vi får dersom vi tegner en vinkelbue fra \(x\)-aksen til linjestykket \(OP\). Da vil koordinatene til punktet \(P\) være gitt ved \(P(\cos v, \sin v)\).

---

Eksempel 1

Enhetssirkelen vises til høyre med et linjestykke \(OP\) tegnet inn som har vinkelen \(60\degree\) med \(x\)-aksen.

Bestem koordinatene til punktet \(P\).

Løsning

Trekanten som er tegnet inn i enhetssirkelen er vist til høyre. Her kan vi se at

\[ \cos 60\degree = \frac{x}{1} = x \qog \sin 60\degree = \frac{y}{1} = y \]

Altså er koordinatene til punktet \(P\) gitt ved \(P(\cos 60\degree, \sin 60\degree)\). De eksakte verdiene er

\[ \cos 60\degree = \frac{1}{2} \qog \sin 60\degree = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ergo er punktet \(P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

---

Eksempel 2

I enhetssirkelen til høyre vises et linjestykke \(OP\) som har vinkelen \(150\degree\) med \(x\)-aksen.

Bestem \(\cos 150\degree\) og \(\sin 150\degree\).

Løsning

Den rettvinklede trekanten som er tegnet inn i enhetssirkelen har en vinkel på

\[ v = 180\degree - 150\degree = 30\degree \]

Derfor vil sidelengdene i den rettvinklede trekanten være gitt ved

\[ \cos 30\degree = \frac{x}{1} = x \qog \sin 30\degree = \frac{y}{1} = y \]

Punktet \(P\) på enhetssirkelen vil være gitt ved \(P(\cos 150\degree, \sin 150\degree)\) per definisjon. Vi vet at \(x\)-koordinaten er negativ, slik at

\[ \cos 150\degree = -\cos 30\degree = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Videre er \(y\)-koordinaten positiv, slik at

\[ \sin 150\degree = \sin 30\degree = \frac{1}{2} \]

Trigonometriske identiteter

I mange sammenhenger kan vi bruke trigonometriske identiteter til å bestemme verdier for \(\sin v\) og \(\cos v\) gitt at vi kjenner til noen andre verdier for \(\sin v\) og \(\cos v\). Vi skal se på noen av de mest grunnleggende identitetene her.

Pytagoras’ identitet

Pytagoras’ identitet har fått navnet sitt fordi den er en direkte konsekvens av Pytagoras’ setning.

Pytagoras’ identitet

For alle vinkler \(v\), så gjelder

\[ \boxed{(\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1} \]

Vi skriver ofte at \(\sin^2 v = (\sin v)^2\) og \(\cos^2 v = (\cos v)^2\) for å spare litt plass.

---

Eksempel 3

For en vinkel \(v\), så er \(\sin v = \dfrac{2}{3}\).

Bestem en eksakt verdi for \(\cos v\).

Løsning

For alle vinkler, så gjelder Pytagoras’ identitet

\[ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 \]

Vi vet at \(\sin v = \dfrac{2}{3}\), slik at

\[ (\cos v)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \]

\[ (\cos v)^2 + \frac{4}{9} = 1 \]

\[ (\cos v)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]

\[ \cos v = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Komplementvinkler

Sinus og cosinus til komplementvinkler

For alle vinkler \(v\), så gjelder følgende to identiteter

\[\begin{split} \boxed{ \begin{align*} \\ \sin(90\degree - v) &= \cos v \\ \\ \cos(90\degree - v) &= \sin v \\ \\ \end{align*} } \end{split}\]