Oppgaver: Pytagoras’ setning, formlikhet og vinkler

Oppgave 1

a

En trekant \(\triangle ABC\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(\angle C\).

Fasit

\[ \angle C = 30 \degree. \]

b

Figuren til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem \(\angle B\).

Fasit

\[ \angle B = 45 \degree. \]

c

En trekant \(\triangle ABC\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(\angle C\).

Fasit

\[ \angle C = 50 \degree. \]

---

Oppgave 2

Nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bestem \(x\).

Fig. 33.2 viser en rettvinklet trekant.

Fasit

\[ x = \sqrt{3}. \]

---

Oppgave 3

Nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bestem \(x\).

Fasit

\[ x = 5 \sqrt{3}. \]

---

Oppgave 4

Nedenfor vises en trekant.

Bestem høyden \(h\) i trekanten.

Fig. 33.3 viser en trekant.

Fasit

\[ h = 2\sqrt{3}. \]

---

Oppgave 5

Nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bestem \(x\).

Fasit

\[ x = 6. \]

---

Oppgave 6

Nedenfor vises to rettvinklete trekanter.

a

Forklar at \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).

Fasit

Vi kjenner til alle sidelengdene i \(\triangle ABC\) og \(\triangle DEF\), så vi kan sjekke SSS-kriteriet:

\[ \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{8}{4} = 2 \and \dfrac{DF}{AC} = \dfrac{6}{3} = 2 \and \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{10}{5} = 2. \]

Siden alle forholdstallene er like, må \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).

b

Bestem \(\angle F\) og \(\angle E\).

Fasit

\[ \angle F = \angle C = 53.13 \degree \and \angle E = \angle B = 36.87 \degree. \]

---

Oppgave 7

Nedenfor vises to rettvinklete trekanter.

a

Forklar at \(\triangle ABC \sim \triangle EDF\).

Fasit

I \(\triangle ABC\) har vi at

\[ \angle C = 90 \degree - \angle B = 90 \degree - 30 \degree = 60 \degree. \]

For \(\triangle EDF\) har vi samtidig at:

\[ \angle D = 90 \degree - \angle F = 90 \degree - 60 \degree = 30 \degree. \]

Dermed er

\[ \angle B = \angle D \and \angle C = \angle F \and \angle A = \angle E, \]

som etter VVV-kriteriet betyr at \(\triangle ABC \sim \triangle EDF\).

b

Bestem \(x\), \(y\) og \(z\).

Fasit

\[ x = 6 \and y = \sqrt{3} \and z = 2 \sqrt{3}. \]

---

Oppgave 8

Nedenfor vises to trekanter.

a

Forklar at \(\triangle ABC \sim \triangle EDF\).

Fasit

Vi kan bestemme alle vinklene i de to trekantene som gjør det hensiktsmessig å sjekke VVV-kriteriet.

For \(\triangle ABC\) har vi at

\[ \angle A = 120 \degree \and \angle C = 30 \degree \and \angle B = 180 \degree - \angle A - \angle C = 30 \degree. \]

og for \(\triangle EDF\) har vi at

\[ \angle D = 30 \degree \and \angle F = 30 \degree \and \angle E = 180 \degree - \angle D - \angle F = 120 \degree. \]

Ut ifra VVV-kriteriet er derfor \(\triangle ABC \sim \triangle EDF\).

b

Bestem \(AC\).

Fasit

Trekant \(\triangle ABC\) er likebeint så \(AB = AC = 3\).

c

Bestem \(DE\) og \(EF\).

Fasit

\[ DE = EF = 6. \]

---

Oppgave 9

Nedenfor vises to trekanter \(\triangle ABC\) og \(\triangle ADE\) der

\[ BC = 2\sqrt{3} \quad\quad\quad AB = 4 \quad\quad\quad AE = 1. \]

a

Forklar at \(\triangle ABC \sim \triangle ADE\).

Fasit

\(\angle A\) er en felles vinkel i \(\triangle ABC\) og \(\triangle ADE\). Vi har også at \(\angle E = \angle C = 90 \degree\). Siden to av vinklene er like, blir den siste også lik i hver av trekantene som betyr at trekantene oppfyller VVV-kriteriet og derfor er

\[ \triangle ABC \sim \triangle ADE. \]

b

Bestem \(DE\).

Fasit

\[ DE = \sqrt{3}. \]

---

Oppgave 10

Figuren nedenfor viser en trekant.

Bestem \(x\), \(y\) og \(z\).

Fasit

\[ x = 5 \and y = 5 \sqrt{3} \and z = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} \]

---

Oppgave 11

Bestem \(CM\) i figuren nedenfor.

Fasit

\[ CM = 2\sqrt{3} \]