Oppgaver: Nullpunktsform

Oppgave 1

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3(x + 1)(x - 2) \]

Bestem nullpunktene til \(f\).

Fasit

\[ x = -1 \or x = 2 \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x - 1)(x - 1) = -2(x - 1)^2 \]

Bestem nullpunktene til \(g\).

Fasit

\[ x = 1 \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x + 4) \]

Bestem nullpunktene til \(h\).

Fasit

\[ x = \dfrac{1}{2} \or x = -4 \]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -3(x + 2)^2 \]

Bestem nullpunktene til \(p\).

Fasit

\[ x = -2 \]

---

Tips: Oppgave 2

Husk på konjugatsetningen:

\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

Oppgave 2

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 2)^2 - 4 \]

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = x(x - 4) \]

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om \(f(x)\) til nullpunktsform:

\[\begin{align*} f(x) &= (x - 2)^2 - 2^2 \\ \\ &= (x - 2 + 2)(x - 2 - 2) \\ \\ &= (x - 0)(x - 4) \\ \\ &= x(x - 4) \end{align*}\]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -(x + 3)^2 + 9 \]

Bestem \(g(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ g(x) = -x(x + 6) \]

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om \(g(x)\) til nullpunktsform:

\[\begin{align*} g(x) &= -(x + 3)^2 + 3^2 \\ \\ &= -\left((x + 3)^2 - 3^2 \right) \\ \\ &= -\left((x + 3 + 3)(x + 3 - 3)\right) \\ \\ &= -\left((x + 6)(x - 0)\right) \\ \\ &= -x(x + 6) \end{align*}\]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x - 6)^2 - 1 \]

Bestem \(h(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ h(x) = (x - 5)(x - 7) \]

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om \(h(x)\) til nullpunktsform:

\[\begin{align*} h(x) &= (x - 6)^2 - 1^2 \\ \\ &= (x - 6 + 1)(x - 6 - 1) \\ \\ &= (x - 5)(x - 7) \end{align*}\]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -(x - 3)^2 + 16 \]

Bestem \(p(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ p(x) = -(x - 7)(x + 1) \]

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om \(p(x)\) til nullpunktsform:

\[\begin{align*} p(x) &= -(x - 3)^2 + 4^2 \\ \\ &= -\left((x - 3)^2 - 4^2 \right) \\ \\ &= -\left((x - 3 + 4)(x - 3 - 4)\right) \\ \\ &= -\left((x + 1)(x - 7)\right) \\ \\ &= -(x + 1)(x - 7) \end{align*}\]

---

Tips: Oppgave 3

Husk: Sammenheng mellom nullpunkter \(x_1\) og \(x_2\) og symmetrilinje \(x_0\) er gitt ved

\[ x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \]

Oppgave 3

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2(x - 1)(x + 3) \]

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = 2(x + 1)^2 - 8. \]

Løsning

Fra \(f(x)\) kan vi se at nullpunktene er \(x_1 = 1\) og \(x_2 = -3\). Symmetrilinja er da gitt ved

\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1. \]

For å bestemme \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn \(x_0\) i \(f(x)\):

\[ y_0 = f(-1) = 2(-1 - 1)(-1 + 3) = 2(-2)(2) = -8. \]

Vi kan også lese av at \(a = 2\) fra \(f(x)\). Dermed er \(f(x)\) på ekstremalpunktsform gitt ved

\[ f(x) = 2(x + 1)^2 - 8. \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -3(x + 2)(x - 4) \]

Bestem \(g(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ g(x) = -3(x - 1)^2 + 27. \]

Løsning

Fra \(g(x)\) kan vi se at nullpunktene er \(x_1 = -2\) og \(x_2 = 4\). Symmetrilinja er da gitt ved

\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1. \]

For å bestemme \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn \(x_0\) i \(g(x)\):

\[ y_0 = g(1) = -3(1 + 2)(1 - 4) = -3(3)(-3) = 27. \]

Vi kan også lese av at \(a = -3\) fra \(g(x)\). Dermed er \(g(x)\) på ekstremalpunktsform gitt ved

\[ g(x) = -3(x - 1)^2 + 27. \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = \frac{1}{2}(x + 5)(x - 1) \]

Bestem \(h(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ h(x) = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - \frac{9}{2}. \]

Løsning

Fra \(h(x)\) kan vi se at nullpunktene er \(x_1 = -5\) og \(x_2 = 1\). Symmetrilinja er da gitt ved

\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2. \]

For å bestemme \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn \(x_0\) i \(h(x)\):

\[ y_0 = h(-2) = \frac{1}{2}(-2 + 5)(-2 - 1) = \frac{1}{2}(3)(-3) = -\frac{9}{2}. \]

Vi kan også lese av at \(a = \frac{1}{2}\) fra \(h(x)\). Dermed er \(h(x)\) på ekstremalpunktsform gitt ved

\[ h(x) = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - \frac{9}{2}. \]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -\frac{1}{3}(x - 2)(x + 4) \]

Bestem \(p(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ p(x) = -\frac{1}{3}(x + 1)^2 - 3. \]

Løsning

Fra \(p(x)\) kan vi se at nullpunktene er \(x_1 = 2\) og \(x_2 = -4\). Symmetrilinja er da gitt ved

\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1. \]

For å bestemme \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn \(x_0\) i \(p(x)\):

\[ y_0 = p(-1) = -\frac{1}{3}(-1 - 2)(-1 + 4) = -\frac{1}{3}(-3)(3) = -3. \]

Vi kan også lese av at \(a = -\frac{1}{3}\) fra \(p(x)\). Dermed er \(p(x)\) på ekstremalpunktsform gitt ved

\[ p(x) = -\frac{1}{3}(x + 1)^2 - 3. \]

---

Oppgave 4

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 1)(x + 3) \]

Bestem \(f(x)\) på standardform.

Fasit

\[ f(x) = x^2 + 2x - 3. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesene og samler leddene:

\[\begin{align*} f(x) &= (x - 1)(x + 3) \\ \\ &= x^2 + 3x - x - 3 \\ \\ &= x^2 + 2x - 3. \end{align*}\]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x + 2)(x - 4) \]

Bestem \(g(x)\) på standardform.

Fasit

\[ g(x) = -2x^2 + 4x + 16. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesene og samler leddene:

\[\begin{align*} g(x) &= -2(x + 2)(x - 4) \\ \\ &= -2(x^2 - 4x + 2x - 8) \\ \\ &= -2(x^2 - 2x - 8) \\ \\ &= -2x^2 + 4x + 16. \end{align*}\]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = -3(x + 4)^2 \]

Bestem \(h(x)\) på standardform.

Fasit

\[ h(x) = -3x^2 - 24x - 48. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesene og samler leddene:

\[\begin{align*} h(x) &= -3(x + 4)^2 \\ \\ &= -3(x^2 + 8x + 16) \\ \\ &= -3x^2 - 24x - 48. \end{align*}\]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = 2(x + 2)(x + 3) \]

Bestem \(p(x)\) på standardform.

Fasit

\[ p(x) = 2x^2 + 10x + 12. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesene og samler leddene:

\[\begin{align*} p(x) &= 2(x + 2)(x + 3) \\ \\ &= 2(x^2 + 3x + 2x + 6) \\ \\ &= 2(x^2 + 5x + 6) \\ \\ &= 2x^2 + 10x + 12. \end{align*}\]

---

Tips: Oppgave 5

Husk at for et uttrykk på standardform \(ax^2 + bx + c\), så er symmetrilinja gitt ved

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} \]

Oppgave 5

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 + 6x + 8 \]

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = (x + 2)(x + 4). \]

Løsning

Vi ser at koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 6 \and c = 8. \]

Så bestemmer vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. \]

Dermed kan vi skrive \(f(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ f(x) = (x + 3)^2 - 1. \]

Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(f(x)\) til nullpunktsform:

\[ f(x) = (x + 3)^2 - 1 = (x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4). \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -x^2 + 4x + 5 \]

Bestem \(g(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ g(x) = -(x + 1)(x - 5). \]

Løsning

Vi ser at koeffisientene til \(g(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 4 \and c = 5. \]

Så bestemmer vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = g(2) = -2^2 + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. \]

Dermed kan vi skrive \(g(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ g(x) = -(x - 2)^2 + 9. \]

Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(g(x)\) til nullpunktsform:

\[ g(x) = -(x - 2)^2 + 3^2 = -(x - 2 + 3)(x - 2 - 3) = -(x + 1)(x - 5). \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 - x - 6 \]

Bestem \(h(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ h(x) = (x - 3)(x + 2). \]

Løsning

Vi ser at koeffisientene til \(h(x)\) er

\[ a = 1 \and b = -1 \and c = -6. \]

Så bestemmer vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = h\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4}. \]

Dermed kan vi skrive \(h(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 -\frac{25}{4}. \]

Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(h(x)\) til nullpunktsform:

\[ h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\right) = (x - 3)(x + 2). \]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = 2x^2 + 8x - 10 \]

Bestem \(p(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ p(x) = 2(x - 1)(x + 5). \]

Løsning

Vi ser at koeffisientene til \(p(x)\) er

\[ a = 2 \and b = 8 \and c = -10. \]

Da kan vi bestemme symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = p(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) - 10 = 8 - 16 - 10 = -18. \]

Dermed kan vi skrive \(p(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ p(x) = 2(x + 2)^2 - 18. \]

Først faktoriserer vi ut den ledende koeffisienten \(2\):

\[ p(x) = 2(x + 2)^2 - 18 = 2\left((x + 2)^2 - 9\right) \]

Deretter bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(p(x)\) til nullpunktsform:

\[ p(x) = 2\left((x + 2)^2 - 3^2\right) = 2\left((x + 2 - 3)(x + 2 + 3)\right) = 2(x - 1)(x + 5). \]

---

Oppgave 6

a

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = (x + 1)(x - 2). \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(f\) har nullpunkter \((-1, 0)\) og \((2, 0)\). Det betyr at

\[ f(x) = a(x + 1)(x - 2) \]

Vi ser også at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, -2)\) som betyr at

\[ f(0) = -2 \liff a(0 + 1)(0 - 2) = -2. \]

Dette forenkler vi til

\[ -2a = -2 \liff a = 1. \]

Dermed har vi at

\[ f(x) = 1\cdot(x + 1)(x - 2) = (x + 1)(x - 2). \]

b

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(g(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ g(x) = 3(x + 1)^2 \]

Løsning

Grafen til \(g\) har bare ett nullpunkt i \((-1, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(g(x)\) på nullpunktsform som

\[ g(x) = a(x + 1)(x + 1) = a(x + 1)^2 \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 3)\) som betyr at

\[ g(0) = 3 \liff a(0 + 1)^2 = 3. \]

Dette forenkler vi til

\[ a = 3 \]

Dermed har vi at

\[ g(x) = 3(x + 1)^2 \]

c

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(h(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ h(x) = -\frac{1}{2}(x + 2)(x - 3). \]

Løsning

Grafen til \(h\) har nullpunkter i \((-2, 0)\) og \((3, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(h(x)\) på nullpunktsform som

\[ h(x) = a(x + 2)(x - 3). \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 3)\) som betyr at

\[ h(0) = 3 \liff a(0 + 2)(0 - 3) = 3. \]

Dette forenkler vi til

\[ -6a = 3 \liff a = -\frac{1}{2}. \]

Dermed har vi at

\[ h(x) = -\frac{1}{2}(x + 2)(x - 3). \]

d

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(p(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ p(x) = -2(x - 3)^2 \]

Løsning

Grafen til \(p\) har bare ett nullpunkt i \((3, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(p(x)\) på nullpunktsform som

\[ p(x) = a(x - 3)(x - 3) = a(x - 3)^2 \]

Vi ser at grafen går gjennom punktet \((2, -2)\) som betyr at

\[ p(2) = -2 \liff a(2 - 3)^2 = -2 \liff a = -2. \]

Dermed er uttrykket for \(p(x)\) gitt ved

\[ p(x) = -2(x - 3)^2 \]

---

Oppgave 7

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 4x + 5 \]

Bestem nullpunktene til \(f\).

Fasit

\[ x = -1 \or x = 5. \]

Løsning

Vi ser at koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 4 \and c = 5. \]

Først finner vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = f(2) = -2^2 + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. \]

Ekstremalpunktsformen til \(f(x)\) er da

\[ f(x) = -(x - 2)^2 + 9. \]

Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(f(x)\) til nullpunktsform:

\[ f(x) = -\left((x - 2)^2 - 3^2\right) = -\left((x - 2 + 3)(x - 2 - 3)\right) = -(x + 1)(x - 5). \]

Dermed er nullpunktene til \(f\) gitt ved

\[ x = -1 \or x = 5. \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = x^2 - 5x - 6 \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(g\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\[ x = 6 \qog x = -1. \]

Løsning

Vi ser at koeffisientene til \(g(x)\) er

\[ a = 1 \and b = -5 \and c = -6. \]

Først finner vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = g\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\cdot\frac{5}{2} - 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{49}{4}. \]

Nå kan vi skrive \(g(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ g(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{49}{4}. \]

Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(g(x)\) til nullpunktsform:

\[ g(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = (x - \frac{5}{2} - \frac{7}{2})(x - \frac{5}{2} + \frac{7}{2}) = (x - 6)(x + 1). \]

Dermed skjærer grafen \(x\)-aksen i punktene

\[ x = 6 \qog x = -1. \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 + 5x - 14 \]

Bestem nullpunktene til \(h\).

Fasit

\[ x = 2 \or x = -7. \]

Løsning

Vi ser at koeffisientene til \(h(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 5 \and c = -14. \]

Først finner vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2}. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = h\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) - 14 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 14 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{56}{4} = -\frac{81}{4}. \]

Ekstremalpunktsformen til \(h(x)\) er da

\[ h(x) = \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{81}{4}. \]

Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(h(x)\) til nullpunktsform:

\[ h(x) = \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{5}{2} - \frac{9}{2}\right)\left(x + \frac{5}{2} + \frac{9}{2}\right) = (x - 2)(x + 7). \]

Dermed er nullpunktene til \(h\) gitt ved

\[ x = 2 \or x = -7. \]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = x^2 + 6x + 8 \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(p\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\[ x = -2 \qog x = -4. \]

Løsning

Vi ser at koeffisientene til \(p(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 6 \and c = 8. \]

Først finner vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = p(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. \]

Ekstremalpunktsformen til \(p(x)\) er da

\[ p(x) = (x + 3)^2 - 1. \]

Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(p(x)\) til nullpunktsform:

\[ p(x) = (x + 3)^2 - 1 = (x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4). \]

Dermed skjærer grafen \(x\)-aksen i punktene

\[ x = -2 \qog x = -4. \]

---

Tips: Oppgave 8

Her må du selv velge hvilken representasjon du vil bruke for å bestemme funksjonsuttrykkene. Velg det du tenker er enklest for deg!

Oppgave 8

a

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = (x + 1)(x - 3). \]

Løsning

Grafen til \(f\) har nullpunkter i \((-1, 0)\) og \((3, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(f(x)\) på nullpunktsform som

\[ f(x) = a(x + 1)(x - 3). \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, -3)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ f(0) = -3 \liff a(0 + 1)(0 - 3) = -3. \]

Dette forenkler vi til

\[ -3a = -3 \liff a = 1. \]

Dermed er

\[ f(x) = 1\cdot(x + 1)(x - 3) = (x + 1)(x - 3). \]

b

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = 2(x - 1)^2 + 2. \]

Løsning

Grafen til \(g\) har et bunnpunkt i \((1, 2)\) som betyr at vi kan skrive \(g(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ g(x) = a(x - 1)^2 + 2. \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 4)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ g(0) = 4 \liff a(0 - 1)^2 + 2 = 4. \]

Dette forenkler vi til

\[ a + 2 = 4 \liff a = 2. \]

Dermed er

\[ g(x) = 2(x - 1)^2 + 2. \]

c

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = -2x^2 + 18. \]

Løsning

Grafen til \(h\) har et toppunkt i \((0, 18)\) som betyr at vi kan skrive \(h(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ h(x) = a(x - 0)^2 + 18 = ax^2 + 18. \]

Vi ser at grafen skjærer \(x\)-aksen i \((3, 0)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ h(3) = 0 \liff a(3)^2 + 18 = 0. \]

Dette forenkler vi til

\[ 9a + 18 = 0 \liff 9a = -18 \liff a = -2. \]

Dermed er

\[ h(x) = -2x^2 + 18. \]

d

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = -(x + 2)(x - 4). \]

Løsning

Grafen til \(p\) har nullpunkter i \((-2, 0)\) og \((4, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(p(x)\) på nullpunktsform som

\[ p(x) = a(x + 2)(x - 4). \]

Grafen til \(p\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 8)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ p(0) = 8 \liff a(0 + 2)(0 - 4) = 8. \]

Dette forenkler vi til

\[ -8a = 8 \liff a = -1. \]

Dermed er

\[ p(x) = -1(x + 2)(x - 4) = -(x + 2)(x - 4). \]

---

Tips: Oppgave 9

Når en funksjon er skrevet på formen \(a(x - x_0)^2 + y_0\), må du faktorisere ut \(a\) fra begge ledd før du kan bruke konjugatsetningen.

Husk at hvis leddene har samme fortegn, så har ikke funksjonen nullpunkter siden vi ikke kan bruke konjugatsetningen.

Oppgave 9

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 4)^2 - 9 \]

Avgjør om \(f\) har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene.

Fasit

Nullpunktene er \(x = 1\) og \(x = 7\).

Løsning

Leddene har motsatt fortegn som betyr at vi kan bruke konjugatsetningen:

\[ f(x) = (x - 4)^2 - 3^2 = (x - 4 - 3)(x - 4 + 3) = (x - 7)(x - 1). \]

Nullpunktene er dermed \(x = 1\) og \(x = 7\).

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x + 1)^2 + 4 \]

Avgjør om \(g\) har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene.

Fasit

\[ x = -3 \qog x = 1. \]

Løsning

Leddene har motsatt fortegn som betyr at vi kan bruke konjugatsetningen:

\[ g(x) = -2(x + 1)^2 + 4 = -2((x + 1) - 2)((x + 1) + 2) = -2(x - 1)(x + 3). \]

Nullpunktene til \(g\) er dermed

\[ x = -3 \qog x = 1. \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x + 3)^2 + 1 \]

Avgjør om \(h\) har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene.

Fasit

Ingen nullpunkter.

Løsning

Leddene har samme fortegn som betyr at vi ikke kan bruke konjugatsetningen til å faktorisere \(h(x)\) til nullpunktsform. Dermed har ikke \(h\) noen nullpunkter.

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 \]

Fasit

\[ x = 4 \]

Løsning

Vi har at \(p(x)\) er skrevet på nullpunktsform (og ekstremalpunktsform, med \(y_0 = 0\)). Dermed har \(p\) bare ett nullpunkts i \(x = 4\).

---

Oppgave 10

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x + 1)(x - 2) \]

Bestem hvilken graf nedenfor som viser grafen til \(f\).

Fasit

Graf B.

Løsning

Vi ser fra \(f(x)\) at nullpunktene er gitt ved

\[ x = -1 \qog x = 2. \]

Det betyr at det negative nullpunktet må ligge nærmere \(y\)-aksen enn det positive, noe som bare passer med graf B og C.

Vi ser også at \(a = 1 > 0\) som betyr at grafen til \(f\) er konveks . Da passer bare graf B. Dermed er graf B grafen til \(f\).

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x - 1)(x - 2) \]

Fasit

Graf A.

Løsning

Vi ser fra \(g(x)\) at nullpunktene er gitt ved

\[ x = 1 \qog x = 2. \]

Det betyr at begge nullpunktene har positiv \(x\)-verdi som passer med graf A og B.

Vi ser at \(a < 0\) som betyr at grafen til \(g\) er konkav . Dermed passer bare graf A. Dermed er graf A grafen til \(g\).

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x + 2)^2 \]

Bestem hvilken graf nedenfor som viser grafen til \(h\).

Fasit

Graf C.

Løsning

Vi ser fra \(h(x)\) at nullpunktet er gitt ved

\[ x = -2. \]

Det betyr at grafen må treffe \(x\)-aksen ved en negativ \(x\)-verdi som passer med graf C og D.

Vi ser at \(a = 1 > 0\) som betyr at grafen er konveks . Dermed passer bare graf C. Dermed er graf C grafen til \(h\).

---

Tips: Oppgave 11

Husk at en identitet er en likning som er sann for alle verdier av \(x\). Det betyr at venstre side og høyre side er alltid like uansett hva vi setter inn for \(x\).

Oppgave 11

a

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ (x + 2)(x - 8) = (x - s)^2 + r \]

Fasit

\[ s = 3 \and r = -25 \]

Løsning

Vi kan kjenne \(s\) som symmetrilinja til en andregradsfunksjon. Venstresiden er på nullpunktsform som gjør at vi kan finne symmetrilinja ved å bruke formelen

\[ s = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-2 + 8}{2} = \dfrac{6}{2} = 3. \]

Deretter bestemmer vi \(r\) ved å sette inn verdien for \(s\) i uttrykket på venstresiden:

\[ r = (3 + 2)(3 - 8) = 5 \cdot (-5) = -25. \]

Dermed er likningen en identitet hvis

\[ s = 3 \and r = -25 \]

b

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ (x - 1)(x + 3) = (x - s)^2 + r \]

Fasit

\[ s = -1 \and r = -4 \]

Løsning

Vi kan kjenne \(s\) som symmetrilinja til en andregradsfunksjon. Venstresiden er på nullpunktsform som gjør at vi kan finne symmetrilinja ved å bruke formelen

\[ s = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{1 + (-3)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \]

Deretter bestemmer vi \(r\) ved å sette inn verdien for \(s\) i uttrykket på venstresiden:

\[ r = (-1 - 1)(-1 + 3) = -2 \cdot 2 = -4. \]

Dermed er likningen en identitet hvis

\[ s = -1 \and r = -4 \]

c

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ (x - s)(x - r) = (x - 2)^2 - 1 \]

Fasit

\[ r = 3 \and s = 1 \or r = 1 \and s = 3. \]

Løsning

Vi gjenkjenner venstresiden som nullpunktsformen til en andregradsfunksjon der \(s\) og \(r\) er nullpunktene. På høyresiden er uttrykket gitt på ekstremalpunktsform som vi kan skrive om til nullpunktsform ved å bruke konjugatsetningen:

\[ (x - 2)^2 - 1 = (x - 2 - 1)(x - 2 + 1) = (x - 3)(x - 1) \]

Altså vil likningen bli en identitet hvis

\[ r = 3 \and s = 1 \or r = 1 \and s = 3. \]

d

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet

\[ x^2 - x - 2 = (x - s)(x - r) \]

Fasit

\[ s = 2 \and r = -1 \or s = -1 \and r = 2. \]

Løsning

Venstresiden er skrevet på standardform og høyresiden er skrevet på nullpunktsform. Vi kan skrive om venstresiden til nullpunktsform for å bestemme verdiene til \(s\) og \(r\).

Vi starter med å finne symmetrilinja. Vi har at \(a = 1\) og \(b = -1\), så

\[ x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-1}{2 \cdot 1} = \dfrac{1}{2}. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} - \dfrac{8}{4} = -\dfrac{9}{4}. \]

Det betyr at vi kan skrive om uttrykket til ekstremalpunktsform som:

\[ x^2 - x - 2 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}. \]

Deretter kan vi bruke konjugatsetningen for å skrive om til nullpunktsform:

\[ x^2 - x - 2 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} = \left(x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}\right)\left(x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\right) = (x - 2)(x + 1). \]

Altså vil likningen være en identitet hvis

\[ s = 2 \and r = -1 \or s = -1 \and r = 2. \]

---

Oppgave 12

En andregradsfunksjon \(f\) har ett nullpunkt. Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 9)\).

Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\) for andregradsfunksjonen.

Fasit

\[ f(x) = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]

---

Oppgave 13

a

Undersøk om det finnes tilfeller hvor nullpunktsformen og ekstremalpunktsformen til en andregradsfunksjon er like.

Gi et eksempel hvis du finner et.

Løsning

Vi skriver opp \(f(x)\) på begge former:

\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - x_0)^2 + y_0 \]

Hvis \(f\) har ett nullpunkt slik at \(x_1 = x_2\) så vil også symmetrilinja ha samme \(x\)-verdi som betyr at

\[ x_0 = x_1 = x_2 \]

Da må også \(y_0 = 0\), så vi får at ekstremalpunktsformen og nullpunktsformen er lik:

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 \]

Et eksempel på en slik funksjon er

\[ f(x) = (x - 2)^2 \]

Her er nullpunktet og symmetrilinja gitt ved \(x = 2\).

b

Undersøk om det finnes tilfeller hvor standardformen og nullpunktsformen til en andregradsfunksjon er like.

Gi et eksempel hvis du finner et.

Løsning

For at standardformen og nullpunktsformen skal være like, må både \(b = 0\) og \(c = 0\), slik at

\[ f(x) = ax^2 \]

Da er nullpunktet til \(f\) gitt ved \(x = 0\). Et eksempel vil da være \(f(x) = -2x^2\).

c

Undersøk om det finnes tilfeller hvor standardformen og ekstremalpunktsformen til en andregradsfunksjon er like.

Gi et eksempel hvis du finner et.

Løsning

Standardformen og ekstremalpunktsformen er like dersom vi setter \(b = c = 0\) i standardformen. Da får vi

\[ f(x) = ax^2 \]

som betyr at ekstremalpunktet er \((0, 0)\). Et eksempel på en slik funksjon er \(f(x) = 3x^2\).

d

Undersøk om det finnes tilfeller hvor alle tre representasjonsformer er like.

Gi et eksempel om du finner et.

Løsning

De er alle like dersom \(b = c = 0\) i standardformen. Da har vi

\[ f(x) = ax^2 \]

som gir nullpunkt og ekstremalpunkt i \((0, 0)\). Et eksempel på en slik funksjon er \(f(x) = x^2\).