Funksjonsdrøfting

Funksjonsdrøfting#

Læringsmål

  • Kunne beskrive sammenhengen mellom den \(f\) og \(f'\), og bruke \(f'\) til å bestemme ulike egenskaper ved \(f\).

Funksjonsdrøfting handler om å finne ut alt om grafen til en funksjon \(f\) ved hjelp av \(f(x)\) og dens deriverte.

Stasjonære punkter#

Stasjonære punkter

Et stasjonært punkt på grafen til \(f\) er et punkt der \(f'(x) = 0\). Det finnes tre typer stasjonære punkter:

  1. Bunnpunkt

  2. Toppunkt

  3. Terassepunkt

Se figuren nedenfor.

../../../_images/figur117.svg

Eksempel 1

Bestem de stasjonære punktene og klassifiser dem for funksjonen \(f\) gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \]

Løsning

Vi starter med å finne den deriverte:

\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]

deretter løser vi \(f'(x) = 0\):

\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \liff x^2 - 4x + 3 = 0 \liff (x-3)(x-1) = 0 \]

som betyr at de stasjonære punktene til \(f\) er

\[ x = 1 \or x = 3 \]

For å avgjøre om punktene er bunnpunkter, toppunkter eller terrassepunkter, tegner vi et fortegnsskjema for \(f'(x)\):

../../../_images/fortegnsskjema3.svg

Fra fortegnsskjema ser vi at \(f'(x)\) går fra positiv til negativ i \(x = 1\), som betyr at \(f\) har et toppunkt i \((1, f(1))\). I \(x = 3\) går \(f'(x)\) fra negativ til positiv, som betyr at \(f\) har et bunnpunkt i \((3, f(3))\).


Vi tar et eksempel til der alle tre typene dukker opp slik at vi vet hvordan vi kan lese de av fra et fortegnsskjema.

Eksempel 2

En femtegradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{1}{5}x^5 - \dfrac{3}{4}x^4 - x^3 + \dfrac{11}{2}x^2 - 6x + 2 \]

Bestem de stasjonære punktene og klassifiser dem.

Løsning

Vi starter med å finne den deriverte:

\[ f'(x) = x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x - 6 \]

Deretter skal vi løse likningen \(f'(x) = 0\). Her kan vi lete etter en rot med polynomdivisjon ved å se etter mulige kandidater som deler konstantleddet. Tallene som deler konstantleddet er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\} \]

Så bruker vi et Horner-skjema til å sjekke om noen av disse er en rot (og utføre polynomdivisjon samtidig!):

../../../_images/horner_skjema_1.svg

Vi får \(0\) i rest som betyr at \(x = 1\) er en rot i \(f'(x)\). Fra Horner-skjema kan vi også lese av at \(f'(x)\) kan faktoriseres som

\[ f'(x) = (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \]

Nå må vi utføre samme prosedyre én gang til med tredjegradspolynomet

\[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \]

Vi bruker Horner-skjema én gang til:

../../../_images/horner_skjema_2.svg

Her får vi også \(0\) i rest med \(x = 1\) som betyr at vi kan skrive tredjegradspolynomet som

\[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) \]

Til slutt bruker vi \(abc\)-formelen for å sjekke å faktorisere andregradspolynomet:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

som gir

\[ x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 6}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \]

som gir løsningene

\[ x = 3 \or x = -2 \]

Dermed kan vi skrive andregradspolynomet som

\[ x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3) \]

Kombinerer vi alle resultatene her, får vi

\[\begin{align*} f'(x) &= (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \\ \\ & = (x - 1)(x - 1)(x^2 - x - 6) \\ \\ &= (x - 1)(x - 1)(x + 2)(x - 3) \\ \\ &= (x + 2)(x - 1)^2 (x - 3) \end{align*}\]

Vi vet nå at de stasjonære punktene til \(f\) er

\[ x = -2 \or x = 1 \or x = 3. \]

Nå kan vi tegne et fortegnsskjema for \(f'(x)\) for å klassifisere dem som toppunkter, bunnpunkter eller terassepunkter:

../../../_images/fortegnsskjema4.svg

I \(x = -2\) så skifter \(f'(x)\) fortegn fra positiv til negativ som betyr at dette er et toppunkt. I \(x = 1\) så skifter ikke \(f'(x)\) fortegn, men synker både før og etter punktet som betyr at det er et terassepunkt. I \(x = 3\) så skifter \(f'(x)\) fortegn fra negativ til positiv som betyr at dette er et bunnpunkt.


Vendepunkter#