Funksjonsdrøfting

Læringsmål

• Kunne beskrive sammenhengen mellom den \(f\) og \(f'\), og bruke \(f'\) til å bestemme ulike egenskaper ved \(f\).

Funksjonsdrøfting handler om å finne ut alt om grafen til en funksjon \(f\) ved hjelp av \(f(x)\) og dens deriverte.

Stasjonære punkter

Stasjonære punkter

Et stasjonært punkt på grafen til \(f\) er et punkt der \(f'(x) = 0\). Det finnes tre typer stasjonære punkter:

1. Bunnpunkt

2. Toppunkt

3. Terassepunkt

Se figuren nedenfor.

---

Eksempel 1

Bestem de stasjonære punktene og klassifiser dem for funksjonen \(f\) gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \]

Løsning

Vi starter med å finne den deriverte:

\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]

deretter løser vi \(f'(x) = 0\):

\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \liff x^2 - 4x + 3 = 0 \liff (x-3)(x-1) = 0 \]

som betyr at de stasjonære punktene til \(f\) er

\[ x = 1 \or x = 3 \]

For å avgjøre om punktene er bunnpunkter, toppunkter eller terrassepunkter, tegner vi et fortegnsskjema for \(f'(x)\):

Fra fortegnsskjema ser vi at \(f'(x)\) går fra positiv til negativ i \(x = 1\), som betyr at \(f\) har et toppunkt i \((1, f(1))\). I \(x = 3\) går \(f'(x)\) fra negativ til positiv, som betyr at \(f\) har et bunnpunkt i \((3, f(3))\).

---

Vi tar et eksempel til der alle tre typene dukker opp slik at vi vet hvordan vi kan lese de av fra et fortegnsskjema.

Eksempel 2

En femtegradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{1}{5}x^5 - \dfrac{3}{4}x^4 - x^3 + \dfrac{11}{2}x^2 - 6x + 2 \]

Bestem de stasjonære punktene og klassifiser dem.

Løsning

Vi starter med å finne den deriverte:

\[ f'(x) = x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x - 6 \]

Deretter skal vi løse likningen \(f'(x) = 0\). Her kan vi lete etter en rot med polynomdivisjon ved å se etter mulige kandidater som deler konstantleddet. Tallene som deler konstantleddet er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\} \]

Så bruker vi et Horner-skjema til å sjekke om noen av disse er en rot (og utføre polynomdivisjon samtidig!):

Vi får \(0\) i rest som betyr at \(x = 1\) er en rot i \(f'(x)\). Fra Horner-skjema kan vi også lese av at \(f'(x)\) kan faktoriseres som

\[ f'(x) = (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \]

Nå må vi utføre samme prosedyre én gang til med tredjegradspolynomet

\[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \]

Vi bruker Horner-skjema én gang til:

Her får vi også \(0\) i rest med \(x = 1\) som betyr at vi kan skrive tredjegradspolynomet som

\[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) \]

Til slutt bruker vi \(abc\)-formelen for å sjekke å faktorisere andregradspolynomet:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

som gir

\[ x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 6}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \]

som gir løsningene

\[ x = 3 \or x = -2 \]

Dermed kan vi skrive andregradspolynomet som

\[ x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3) \]

Kombinerer vi alle resultatene her, får vi

\[\begin{align*} f'(x) &= (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \\ \\ & = (x - 1)(x - 1)(x^2 - x - 6) \\ \\ &= (x - 1)(x - 1)(x + 2)(x - 3) \\ \\ &= (x + 2)(x - 1)^2 (x - 3) \end{align*}\]

Vi vet nå at de stasjonære punktene til \(f\) er

\[ x = -2 \or x = 1 \or x = 3. \]

Nå kan vi tegne et fortegnsskjema for \(f'(x)\) for å klassifisere dem som toppunkter, bunnpunkter eller terassepunkter:

I \(x = -2\) så skifter \(f'(x)\) fortegn fra positiv til negativ som betyr at dette er et toppunkt. I \(x = 1\) så skifter ikke \(f'(x)\) fortegn, men synker både før og etter punktet som betyr at det er et terassepunkt. I \(x = 3\) så skifter \(f'(x)\) fortegn fra negativ til positiv som betyr at dette er et bunnpunkt.

---

Vendepunkter