Oppgaver: Formler

Tips: Oppgave 1c

Når det står “Bestem \(S_n\)” så mener vi at du skal finne en formel for \(S_n\) som gjelder for alle naturlige tall \(n\).

Oppgave 1

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

La \(S_n\) være antall sirkler i figur \(n\).

a

Bestem verdien til \(S_1\), \(S_2\) og \(S_3\) fra figurene.

Fasit

\[ S_1 = 4 \qog S_2 = 8 \qog S_3 = 12 \]

b

Bestem \(S_4\).

Fasit

\[ S_4 = 16 \]

c

Bestem \(S_n\).

Fasit

\[ S_n = 4n \qder n \in \mathbb{N} \]

d

Hvilken figur har \(120\) sirkler?

Fasit

Figur \(30\) har \(120\) sirkler siden \(S_{30} = 4 \cdot 30 = 120\).

---

Oppgave 2

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

La \(S_n\) være antall fargelagte kvadrater i figur \(n\).

a

Bestem verdien til \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) og \(S_4\) fra figurene.

Fasit

\[ S_1 = 6 \qog S_2 = 10 \qog S_3 = 14 \qog S_4 = 18 \]

b

Bestem \(S_n\).

Fasit

\[ S_n = 4n + 2 \qder n \in \mathbb{N} \]

c

Hvilken figur har \(82\) sirkler?

Fasit

Figur \(20\) har \(82\) sirkler siden \(S_{20} = 4 \cdot 20 + 2 = 82\).

---

Oppgave 3

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

La \(R_n\) være antall prikker i figur \(n\).

a

Bestem verdien til \(R_5\).

Fasit

\[ R_5 = 30 \]

b

Bestem et uttrykk for \(R_n\).

Fasit

\[ R_n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

c

La \(T_n\) være antall prikker i figur \(n\) som er blå.

Bestem en formel for \(T_n\).

Fasit

\[ T_n = \dfrac{R_n}{2} = \dfrac{n(n + 1)}{2} \qder n \in \mathbb{N} \]

---

Oppgave 4

Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre.

La \(K_n\) være antall kvadrater i figur \(n\).

a

Bestem \(K_1\), \(K_2\) og \(K_3\).

Fasit

\[ K_1 = 2 \and K_2 = 6 \and K_3 = 12 \]

b

Bestem \(K_4\).

Fasit

\[ K_4 = 20 \]

Løsning

\[ K_4 = 5 \cdot 4 = 20 \]

c

Bestem \(K_n\).

Fasit

\[ K_n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

Løsning

Vi kan se et mønster i figurene som at

\[ K_1 = 2 \cdot 1 \and K_2 = 3 \cdot 2 \and K_3 = 4 \cdot 3 \]

Vi kan se at det er \(n\) rader og \((n + 1)\) kolonner i figur \(n\) ut ifra mønsteret, som betyr at formelen for \(K_n\) er

\[ K_n = (n + 1) \cdot n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

---

Oppgave 5

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

La \(F_n\) være antall fargelagte firkanter i figur \(n\).

a

Bestem \(F_1\), \(F_2\) og \(F_3\) fra figurene.

Fasit

\[ F_1 = 2 \and F_2 = 12 \and F_3 = 30 \]

Løsning

\[ F_1 = 1 \cdot 2 = 2 \and F_2 = 3 \cdot 4 = 12 \and F_3 = 5 \cdot 6 = 30 \]

b

Bestem \(F_4\).

Fasit

\[ F_4 = 56 \]

Løsning

\[ F_4 = 7 \cdot 8 = 56 \]

c

Lag en formel \(F_n\) for antall fargelagte firkanter i figur \(n\).

Fasit

\[ F_n = 2n\cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

Løsning

Vi kan systematisere mønsteret i antall rader og kolonner:

Figur \(n\)	Antall rader	Antall kolonner
\(1\)	\(2\)	\(1\)
\(2\)	\(4\)	\(3\)
\(3\)	\(6\)	\(5\)
\(4\)	\(8\)	\(7\)

Vi kan se at antall rader passer med partall \(2n\) og antall kolonner passer med oddetallne \(2n - 1\).

Dermed får vi formelen for \(F_n\):

\[ F_n = 2n\cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

---

Oppgave 6

Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre.

La \(K_n\) være antall kvadrater i figur \(n\).

a

Bestem verdiene til \(K_1\), \(K_2\) og \(K_3\) fra figurene.

Fasit

\[ K_1 = 12 \and K_2 = 32 \and K_3 = 60 \]

b

Bestem \(K_4\).

Fasit

\[ K_4 = 96 \]

c

Bestem en formel for \(K_n\).

Fasit

\[ K_n = 4(n + 1)^2 - 4 \]

---

Oppgave 7

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

Vi lar \(K_n\) være antall fargelagte kvadrater i figur \(n\).

a

Bestem verdien til \(K_1\), \(K_2\) og \(K_3\) fra figurene.

Fasit

\[ K_1 = 4 \and K_2 = 9 \and K_3 = 16 \]

b

Bestem \(K_4\).

Fasit

\[ K_4 = 25 \]

c

Bestem en formel for \(K_n\).

Fasit

\[ K_n = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 \qder n \in \mathbb{N} \]

---

Oppgave 8

Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre.

La \(F_n\) være antall firkanter i figur \(n\).

a

Bestem \(F_1\), \(F_2\) og \(F_3\) fra figurene.

Fasit

\[ F_1 = 5 \and F_2 = 13 \and F_3 = 25 \]

b

Bestem \(F_4\).

Fasit

\[ F_4 = 41 \]

c

Bestem \(F_n\).

Fasit

\[ F_n = 2n^2 + 2n + 1 \qfor n \in \mathbb{N} \]

---

Oppgave 9

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter i samme mønster.

La \(S_n\) være antall sirkler i figur \(n\).

a

Bestem \(S_1\), \(S_2\) og \(S_3\) fra figurene.

Fasit

\[ S_1 = 4 \and S_2 = 13 \and S_3 = 28 \]

b

Bestem \(S_4\).

Fasit

\[ S_4 = 49 \]

c

Bestem \(S_n\).

Fasit

\[ S_n = 3n^2 + 1 \qfor n \in \mathbb{N} \]

---

Oppgave 10

En tallfølge \(a_n\) er gitt ved

\[ 4, 7, 10, 13, \ldots \]

a

Bestem det neste leddet i tallfølgen.

Fasit

Neste ledd i tallfølgen er \(16\).

b

Bestem en formel for \(a_n\).

Fasit

\[ a_n = 3n + 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

c

Hvilket ledd i tallfølgen har verdien \(100\)?

Fasit

Leddet \(n = 33\) har verdien \(100\) siden \(a_{33} = 3 \cdot 33 + 1 = 100\).

---

Oppgave 11

I denne oppgave skal du bestemme formlene til tallfølger.

a

En tallfølge \(a_n\) er gitt ved

\[ -1, 1, 3, 5, \ldots \]

Bestem en formel for \(a_n\).

Fasit

\[ a_n = 2n - 3 \qder n \in \mathbb{N} \]

b

En tallfølge \(b_n\) er gitt ved

\[ 6, 11, 16, 21, \ldots \]

Bestem en formel for \(b_n\).

Fasit

\[ b_n = 5n + 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

c

En tallfølge \(c_n\) er gitt ved

\[ 0, 3, 8, 15, \ldots \]

Bestem en formel for \(c_n\).

Fasit

\[ c_n = n^2 - 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

---

Tips til oppgave 12

\(1 = (-1)^2 = (-1)^4 = (-1)^6 = \ldots\)

og

\(-1 = (-1)^3 = (-1)^5 = (-1)^7 = \ldots\)

Oppgave 12

a

En tallfølge \(a_n\) er gitt ved

\[ 1, -2, 4, -6, 8, -10, \ldots \]

Bestem en formel for \(a_n\).

Fasit

\[ a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2n \qder n \in \mathbb{N} \]

b

En tallfølge \(b_n\) er gitt ved

\[ -1, 4, -9, 16, -25, \ldots \]

Bestem en formel for \(b_n\).

Fasit

\[ b_n = (-1)^n \cdot n^2 \qder n \in \mathbb{N} \]

c

En tallfølge \(c_n\) er gitt ved

\[ 1, -3, 5, -7, 9, -11, \ldots \]

Bestem en formel for \(c_n\).

Fasit

\[ c_n = (-1)^{n+1} \cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

d

En tallfølge \(d_n\) er gitt ved

\[ 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots \]

Bestem en formel for \(d_n\).

Fasit

\[ d_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} \qder n \in \mathbb{N} \]