7. Standardform#
Læringsmål
Kunne representere en lineær funksjon på standardform og beskrive sammenhengen med den grafiske representasjonen.
Kunne bytte fra en representasjon til en annen.
En lineær funksjon er en rett linje som du kanskje har lært å beskrive med en likning
der vi setter inn en verdi for \(x\) for å finne den tilhørende verdien for \(y\). Gjør vi dette med mange ulike verdier for \(x\), får vi en samling punkter \((x, y)\) – dette kaller vi for grafen til den lineære funksjonen. Vi gir gjerne funksjonen et navn, for eksempel \(f\), og skriver funksjonsuttrykket som
som betyr at \(y = f(x)\). Vi kaller \(f(x)\) for funksjonsverdien når vi tenker på et bestemt tall \(x\), og funksjonsuttrykket når vi ikke tenker på noe spesielt tall for \(x\).
Påminnelse: Koordinatsystemet
Koordinatsystemet består av to tallinjer som vi kaller for akser. De to aksene er:
\(x\)-aksen (den horisontale aksen - også kalt førsteaksen).
\(y\)-aksen (den vertikale aksen - også kalt andreaksen).
Punktet der aksene møtes kaller vi for origo. Origo har koordinatene \((0, 0)\).
For å finne et punkt \((x, y)\) i koordinatsystemet, går vi \(x\) plasser parallelt med \(x\)-aksen og \(y\) plasser parallelt med \(y\)-aksen. Da står vi på punktet \((x, y)\). Vi kaller \(x\)-verdien til punktet for \(x\)-koordinaten og \(y\)-verdien for \(y\)-koordinaten.
I figuren nedenfor vises en konkret eksempel med punktet \((3, 2)\).
Eksempel 1
I figuren nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\) gitt ved
I figuren har vi markert et punkt \((2, f(2))\) på grafen til \(f\). Vi ser at \(x\)-koordinaten til dette punktet er \(2\) og \(y\)-koordinaten er \(5\). Det betyr at
Vi kan også sjekke at dette stemmer ved å regne ut verdien med funksjonsuttrykket til \(f\):
Underveisoppgave 1
En lineær funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem \(f(1)\) ved
Å regne ut med funksjonsuttrykket
Ved å lese av fra grafen til \(f\) vist i figuren nedenfor.
Fasit
Standardform: Algebraisk og grafisk representasjon#
En representasjon er en måte å beskrive noe på. En lineær funksjon kan representeres på flere måter, for eksempel med en formel som vi gjerne kaller for en algebraisk representasjon. En lineær funksjon kan også representeres grafisk med en graf. Det finnes flere representasjoner, men disse er de to viktigste.
En algebraisk representasjon kan gi oss umiddelbar informasjon om grafen til en funksjon. Å velge en representation som er hensiktmessig for å løse en oppgave er en viktig ferdighet i matematikk. Den første vi skal se på kaller vi for standardform.
Standardform: Algebraisk representasjon
En lineær funksjon \(f\) kan skrives på standardform som
Verdien til \(a\) er hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi øker \(x\) med \(1\). Vi kaller \(a\) for stigningstallet til grafen til \(f\).
Verdien til \(b\) er \(y\)-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og \(y\)-aksen. Vi kaller ofte \(b\) for konstantleddet til \(f(x)\).
Eksempel 2
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.
Bestem \(f(x)\).
Løsning
En lineær funksjon på standardform er gitt ved
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\) som betyr at \(b = 1\).
Hvis vi velger ut et punkt på grafen til \(f\), for eksempel \((0, 1)\), så ser vi at når vi øker \(x\) med \(1\), så synker funksjonsverdien \(f(x)\) med \(-2\) (husk \(y = f(x)\)) som betyr at stigningstallet er \(a = -2\).
Da er \(f(x)\) gitt ved
Underveisoppgave 2
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.
Bestem \(f(x)\).
Fasit
Løsning
En lineær funksjon på standardform er gitt ved
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -4)\) som betyr at \(b = -4\).
Hvis vi velger et punkt på grafen til \(f\), for eksempel \((0, -4)\) og øker \(x\) med \(1\), så er vi at \(f(x)\) øker med \(3\) siden grafen går gjennom punktet \((1, -1)\). Det betyr at stigningstallet er \(a = 3\).
Da er
La oss se på et eksempel der vi går fra funksjonsuttrykk til graf.
Eksempel 3
En lineær funksjon \(f\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(f\).
Løsning
Fra funksjonsuttrykket
ser vi at stigningstallet til \(f\) er \(a = -1\) og konstantleddet er \(b = 2\). Det betyr at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 2)\). Da kan vi lage følgende skisse av grafen til \(f\):
Underveisoppgave 3
En lineær funksjon \(f\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(f\) der du markerer skjæringspunktet med \(y\)-aksen og stigningstallet.
Fasit
Løsning
Vi har at
som betyr at stigningstallet er \(a = -2\) og konstantleddet er \(b = 3\). Grafen til \(f\) skjærer derfor \(y\)-aksen i \((0, 3)\).
Ut ifra denne informasjonen kan vi tegne følgende skisse av grafen til \(f\).
Topunktsformelen#
Vi vet allerede nå at vi kan bestemme stigningstallet \(a\) til en lineær funksjon ved å sjekke hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi øker \(x\) med \(1\). Men vi vet ikke alltid funksjonsverdier til \(f\) i \(x\)-verdier som ligger en avstand \(1\) fra hverandre. Da trenger vi en annen metode for å bestemme stigningstallet.
Topunktsformelen
Hvis grafen til en lineær funksjon \(f\) går gjennom punktene \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\), så er stigningstallet \(a\) gitt ved
der vi har definert
Vi leser symbolet \(\Delta\) som “endring i” slik at \(\Delta y\) betyr “endring i \(y\)-verdien” og \(\Delta x\) betyr “endring i \(x\)-verdien”. Stigningstallet er altså endringen i \(y\)-verdien delt på endringen i \(x\)-verdien.
Eksempel 4
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.
Bestem \(f(x)\).
Løsning
En lineær funksjon på standardform er gitt ved
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -5)\) som betyr at \(b = -5\).
Vi ser at grafen til \(f\) også går gjennom punktet \((2, 1)\). Vi kan bruke topunktsformelen til å bestemme stigningstallet:
Dermed er
Underveisoppgave 4
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.
Bestem \(f(x)\).
Fasit
Løsning
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 4)\) som betyr at \(b = 4\).
Vi ser grafen også går gjennom punktet \((3, -2)\). Vi bestemmer stigningstallet med topunktsformelen:
Dermed er