Oppgaver: Lineære likningssystemer

Oppgaver: Lineære likningssystemer#

Oppgave 1

Bruk figurene til å løse likningssystemene.

\[\begin{align*} 2x + y &= -3 \\ -x + 3y &= 5 \end{align*}\]
../../../_images/a17.svg

Fasit

\[ x = -2 \and y = 1 \]
\[\begin{align*} x - 2y &= -2 \\ x + 4y &= 8 \end{align*}\]
../../../_images/b16.svg

Fasit

\[ x = 4 \and y = 1 \]
\[\begin{split} \begin{align*} x + y &= 1 \\ x - 3y &= 9 \end{align*} \end{split}\]
../../../_images/c17.svg

Fasit

\[ x = 3 \and y = -2 \]
\[\begin{split} \begin{align*} 2x + y &= 0 \\ x - y &= -6 \end{align*} \end{split}\]
../../../_images/d15.svg

Fasit

\[ x = -2 \and y = 4 \]

Oppgave 2

Hvordan løser jeg et likningssystem grafisk med Geogebra?

Nedenfor vises en gif som viser hvordan man løser et likningssystem med grafvinduet i Geogebra:

../../../_images/grafisk_l%C3%B8sning3.gif

Løs likningsystemet nedenfor grafisk.

\[\begin{align*} -2x + y &= 3 \\ -x + y &= 1 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = -2 \and y = -1 \]

Løsning

Vi skriver inn likningene og bruker skjæring mellom to objekt GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor.

../../../_images/a20.png

Skjæringspunktet mellom de to grafene er \((-2, -1)\) som betyr at løsningen av likningssystemet er

\[ x = -2 \and y = -1 \]

Løs likningsystemet nedenfor grafisk.

\[\begin{align*} -x + y &= -1 \\ x + y &= 3 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 2 \and y = 1 \]

Løsning

Vi skriver inn likningene og trykker på skjæring mellom to objekt GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor.

../../../_images/b28.png

Vi ser at skjæringspunktet mellom grafene er \((2, 1)\) som betyr at løsningen av likningssystemet er

\[ x = 2 \and y = 1 \]

Løs likningsystemet nedenfor grafisk.

\[\begin{align*} 2x - y &= 0 \\ 3x - y &= 4 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 4 \and y = 8 \]

Løsning

Vi skriver inn likningene og trykker på skjæring mellom to objekt GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor.

../../../_images/c20.png

Skjæringspunktet mellom grafene er \((4, 8)\) som betyr at løsningen av likningssystemet er

\[ x = 4 \and y = 8 \]

Løs likningsystemet nedenfor grafisk.

\[\begin{align*} -2x + y &= -5 \\ x - y &= -3 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 8 \and y = 11 \]

Løsning

Vi skriver inn likningene og trykker på skjæring mellom to objekt GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor.

../../../_images/d12.png

Skjæringspunktet mellom grafene er \((8, 11)\) som betyr at løsningen av likningssystemet er

\[ x = 8 \and y = 11 \]

Oppgave 3

Bruk innsettingsmetoden til å løse likningssystemene.

\[\begin{align*} x + y &= 5 \\ x - 2y &= -1 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 3 \and y = 2 \]

Løsning

Vi nummererer likningene:

\[\begin{align*} x + y &= 5 && (\t{I}) \\ x - 2y &= -1 && (\t{II}) \end{align*}\]

Vi løser likning \(\t{I}\) med hensyn på \(y\):

\[ x + y = 5 \liff y = 5 - x \]

Deretter setter vi dette uttrykket inn i likning \(\t{II}\):

\[ x - 2(5 - x) = -1 \]
\[ x - 10 + 2x = -1 \]
\[ 3x = 9 \]
\[ x = 3 \]

Deretter bestemmer vi \(y\) ved å sette \(x = 3\) inn i likning \(\t{I}\):

\[ y = 5 - x = 5 - 3 = 2 \]

Dermed er

\[ x = 3 \and y = 2 \]
\[\begin{align*} 3x + 2y &= -4 \\ x - 2y &= -4 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = -2 \and y = 1 \]

Løsning

Vi nummererer likningene først:

\[\begin{align*} 3x + 2y &= -4 && (\t{I}) \\ x - 2y &= -4 && (\t{II}) \end{align*}\]

Først løser vi likning \(\t{II}\) med hensyn på \(x\):

\[ x - 2y = -4 \liff x = -4 + 2y \]

Deretter setter vi dette uttrykket inn i likning \(\t{I}\):

\[ 3(-4 + 2y) + 2y = -4 \]
\[ -12 + 6y + 2y = -4 \]
\[ -12 + 8y = -4 \]
\[ 8y = 8 \]
\[ y = 1 \]

Deretter setter vi \(y = 1\) inn i likning \(\t{II}\) for å bestemme \(x\):

\[ x = -4 + 2\cdot 1 = -4 + 2 = -2 \]

Dermed er løsningen

\[ x = -2 \and y = 1 \]
\[\begin{align*} -x + 2y &= 0 \\ x - 4y &= -1 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 1 \and y = \dfrac{1}{2} \]

Løsning

Vi nummererer likningene først:

\[\begin{align*} -x + 2y &= 0 && (\t{I}) \\ x - 4y &= -1 && (\t{II}) \end{align*}\]

Vi løser likningen \(\t{II}\) med hensyn på \(x\):

\[ x - 4y = -1 \liff x = -1 + 4y \]

Deretter setter vi dette uttrykket for \(x\) inn i likning \(\t{I}\):

\[ -(-1 + 4y) + 2y = 0 \]
\[ 1 - 4y + 2y = 0 \]
\[ 1 - 2y = 0 \]
\[ -2y = -1 \]
\[ y = \dfrac{1}{2} \]

Deretter setter vi \(y = \dfrac{1}{2}\) inn i likning \(\t{II}\) for å bestemme \(x\):

\[ x = -1 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} = -1 + 2 = 1 \]

Dermed er

\[ x = 1 \and y = \dfrac{1}{2} \]
\[\begin{align*} 2x + 4y &= 1 \\ x - y &= 5 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{7}{2} \and y = -\dfrac{3}{2} \]

Løsning

Vi nummererer likningene først:

\[\begin{align*} 2x + 4y &= 1 && (\t{I}) \\ x - y &= 5 && (\t{II}) \end{align*}\]

Vi løser likning \(\t{II}\) med hensyn på \(x\):

\[ x - y = 5 \liff x = 5 + y \]

Deretter setter vi dette uttrykket for \(x\) inn i likning \(\t{I}\):

\[ 2(5 + y) + 4y = 1 \]
\[ 10 + 2y + 4y = 1 \]
\[ 10 + 6y = 1 \]
\[ 6y = -9 \]
\[ y = -\dfrac{3}{2} \]

Deretter setter vi \(y = -\dfrac{3}{2}\) inn i likning \(\t{II}\) for å bestemme \(x\):

\[ x = 5 + \left(-\dfrac{3}{2}\right) = 5 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{10}{2} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2} \]

Dermed er

\[ x = \dfrac{7}{2} \and y = -\dfrac{3}{2} \]

Oppgave 4

Bruk addisjonsmetoden til å løse likningssystemene.

\[\begin{align*} 2x + y &= 6 \\ 4x - y &= 5 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{11}{6} \and y = \dfrac{7}{3} \]

Løsning

Vi nummerer likningene først:

\[\begin{align*} 2x + y &= 6 && (\t{I}) \\ 4x - y &= 5 && (\t{II}) \end{align*}\]

Vi legger sammen likning \(\t{I}\) og likning \(\t{II}\):

\[\begin{align*} 2x + y &= 6 && (\t{I}) \\ 4x - y &= 5 && (\t{II}) \\ \hline 6x + 0y &= 11 && (\t{I} + \t{II}) \end{align*}\]

Dermed får vi en likning som vi kan løse for \(x\):

\[ 6x = 11 \liff x = \dfrac{11}{6} \]

Deretter setter vi denne verdien for \(x\) inn i likning \(\t{I}\) for å bestemme \(y\):

\[ 2 \cdot \dfrac{11}{6} + y = 6 \]
\[ \dfrac{22}{6} + y = 6 \]
\[ 22 + 6y = 36 \]
\[ 6y = 14 \]
\[ y = \dfrac{14}{3} = \dfrac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3} = \dfrac{7}{3} \]

Dermed er løsningen

\[ x = \dfrac{11}{6} \and y = \dfrac{7}{3} \]
\[\begin{align*} -x + 2y &= 0 \\ x - 4y &= -1 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 1 \and y = \dfrac{1}{2} \]

Løsning

Vi nummererer likningene og legger de sammen:

\[\begin{align*} -x + 2y &= 0 && (\t{I}) \\ x - 4y &= -1 && (\t{II}) \\ \hline 0x - 2y &= -1 && (\t{I} + \t{II}) \end{align*}\]

Da får vi likningen

\[ -2y = -1 \liff y = \dfrac{1}{2} \]

Deretter setter vi inn \(y = \dfrac{1}{2}\) i likning \(\t{I}\) for å bestemme \(x\):

\[ -x + 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 0 \]
\[ -x + 1 = 0 \]
\[ x = 1 \]

Dermed er

\[ x = 1 \and y = \dfrac{1}{2} \]
\[\begin{align*} 2x + 3y &= 6 \\ 4x - y &= 5 \end{align*}\]

Hint

Her må du gange én av likningene med et tall før du plusser eller trekker den fra den andre likningen for at en variabel skal forsvinne.

Fasit

\[ x = \dfrac{3}{2} \and y = 1 \]

Løsning

Vi nummererer likningene først:

\[\begin{align*} 2x + 3y &= 6 && (\t{I}) \\ 4x - y &= 5 && (\t{II}) \end{align*}\]

Deretter ganger vi likning \(\t{I}\) med \(-2\):

\[\begin{align*} -4x - 6y &= -12 && (-2 \cdot \t{I}) \\ 4x - y &= 5 && (\t{II}) \end{align*}\]

Så legger vi sammen de to likningene:

\[\begin{align*} -4x - 6y &= -12 && (-2 \cdot \t{I}) \\ 4x - y &= 5 && (\t{II}) \\ \hline 0x - 7y &= -7 && (-2 \cdot \t{I} + \t{II}) \end{align*}\]

Dermed får vi likningen

\[ -7y = -7 \liff y = 1 \]

Deretter setter vi inn \(y = 1\) i likning \(\t{I}\) for å bestemme \(x\):

\[ 2x + 3 \cdot 1 = 6 \]
\[ 2x + 3 = 6 \]
\[ 2x = 3 \]
\[ x = \dfrac{3}{2} \]

Dermed er

\[ x = \dfrac{3}{2} \and y = 1 \]
\[\begin{align*} 2x + 3y &= 3 \\ x - y &= 5 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{18}{5} \and y = -\dfrac{7}{5} \]

Løsning

Først nummererer vi likningene:

\[\begin{align*} 2x + 3y &= 3 && (\t{I}) \\ x - y &= 5 && (\t{II}) \end{align*}\]

Deretter gjør vi om på likningssystemet ved å gange likning \(\t{II}\) med \(2\):

\[\begin{align*} 2x + 3y &= 3 && (\t{I}) \\ 2x - 2y &= 10 && (2 \cdot \t{II}) \end{align*}\]

Hvis vi nå tar den første likningen og trekker fra den andre, så får vi:

\[\begin{align*} 2x + 3y &= 3 && (\t{I}) \\ 2x - 2y &= 10 && (2 \cdot \t{II}) \\ \hline 0x + 5y &= -7 && (\t{I} - 2 \cdot \t{II}) \end{align*}\]

Da får vi

\[ 5y = -7 \liff y = -\dfrac{7}{5} \]

Deretter setter vi inn \(y = -\dfrac{7}{5}\) i likning \(\t{II}\) for å bestemme \(x\):

\[ x - \left(-\dfrac{7}{5}\right) = 5 \]
\[ x + \dfrac{7}{5} = 5 \]
\[ 5x + 7 = 25 \]
\[ 5x = 18 \]
\[ x = \dfrac{18}{5} \]

Dermed er

\[ x = \dfrac{18}{5} \and y = -\dfrac{7}{5} \]

Oppgave 5

Én av figurene i hver oppgave hører til likningssystemet. Bestem riktig figur og bruk den til å løse likningssystemene.

Hint

Her må du kanskje skrive om likningene fra \(Ax + By = C\) til \(y = ax + b\) så du kan gjenkjenne hvilke grafer som hører til hvilke likninger.

\[\begin{align*} x + y &= 1 \\ 2x + y &= -1 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = -2 \and y = 3 \]

Løsning

Vi kan starte med å sjekke hva \(y\) er når \(x = 0\) i hver likning. Da får vi:

\[\begin{align*} 0 + y &= 1 \\ 2\cdot 0 + y &= -1 \end{align*}\]
\[\begin{align*} y &= 1 \\ y &= -1 \end{align*}\]

Dette stemmer bare med figur \(B\) siden de to linjene skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\) og \((0, -1)\). Grafene skjærer hverandre i \((-2, 3)\) som betyr at løsningen av likningssystemet er

\[ x = -2 \and y = 3 \]
\[\begin{align*} x + 2y &= 4 \\ \\ -x + \dfrac{1}{2}y &= -\dfrac{3}{2} \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 2 \and y = 1 \]

Løsning

Vi kan sjekke hvor grafene skjærer \(x\)-aksen ved å sette inn \(y = 0\):

\[\begin{align*} x + 2\cdot 0 &= 4 \\ \\ -x + \dfrac{1}{2} \cdot 0 &= -\dfrac{3}{2} \end{align*}\]
\[\begin{align*} x &= 4 \\ \\ -x &= -\dfrac{3}{2} \end{align*}\]

Altså skjærer grafene til likningene gjennom \(x\)-aksen når

\[ x = 4 \or x = \dfrac{3}{2} \]

Det passer bare med figur A. Grafene hverandre i \((2, 1)\), så løsningen av likningssystemet er

\[ x = 2 \and y = 1 \]

Oppgave 6

Bruk CAS til å løse likningssystemene.

Hvordan løser jeg et likningssystem med CAS?

Nedenfor ser du en gif som viser hvordan man løser et likningssystem med CAS:

../../../_images/cas-likningssystemer.gif
\[\begin{align*} 2x + 3y &= 6 \\ 4x - y &= 5 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{3}{2} \and y = 1 \]

Løsning

../../../_images/a21.png

som betyr at løsningen er

\[ x = \dfrac{3}{2} \and y = 1 \]
\[\begin{align*} 3x - 2y &= 2 \\ 5x + 4y &= 1 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{5}{11} \and y = -\dfrac{7}{22} \]

Løsning

../../../_images/b29.png

Løsningen er derfor

\[ x = \dfrac{5}{11} \and y = -\dfrac{7}{22} \]
\[\begin{align*} 3x - y &= 7 \\ x + 3y &= -4 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{17}{10} \and y = -\dfrac{19}{10} \]

Løsning

../../../_images/c22.png

Løsningen er derfor

\[ x = \dfrac{17}{10} \and y = -\dfrac{19}{10} \]
\[\begin{align*} -2x + 3y &= 8 \\ x - 2y &= -1 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = -13 \and y = -6 \]

Løsning

../../../_images/d13.png

Løsningen er derfor

\[ x = -13 \and y = -6 \]

Oppgave 7

Nedenfor vises noen programmer som løser et likningssystem. Tolk hvilket likningssystem hvert program løser og bruk CAS til å forutsi hva programmet skriver ut.

Oppgave 8

Fyll ut programmet nedenfor slik at de løser likningssystemene.

\[\begin{align*} x + y &= 0 \\ -2x + 4y &= 6 \end{align*}\]

Løsning

1for x in range(-10, 11):
2    for y in range(-10, 11):
3        if x + y == 0 and -2*x + 4*y == 6:
4            print((x, y))

som gir utskriften

(-1, 1)

Løsningen er dermed

\[ x = -1 \and y = 1 \]
\[\begin{align*} x + \dfrac{1}{2}y &= 2 \\ \\ \dfrac{1}{6}x + \dfrac{1}{4}y &= 0 \end{align*}\]

Løsning

1for x in range(-10, 11):
2    for y in range(-10, 11):
3        if x + 1/2 * y == 2 and 1/6 * x + 1/4 * y == 0:
4            print((x, y))

som gir utskriften

(3, -2)

Dermed er løsningen

\[ x = 3 \and y = -2 \]
\[\begin{align*} 2x + y &= -1 \\ 5x + 4y &= 5 \end{align*}\]

Løsning

1for x in range(-10, 11):
2    for y in range(-10, 11):
3        if 2*x + y == -1 and 5*x + y == 5:
4            print((x, y))

som gir utskriften

(2, -5)

Dermed er løsningen

\[ x = 2 \and y = -5 \]
\[\begin{align*} 2x - 5y &= 11 \\ -4x + y &= 5 \end{align*}\]

Løsning

1for x in range(-10, 11):
2    for y in range(-10, 11):
3        if 2*x - 5*y == 11 and -4*x + y == 5:
4            print((x, y))

som gir utskriften

(-2, -3)

Dermed er løsningen

\[ x = -2 \and y = -3 \]

Oppgave 9

Bruk CAS til å løse likningssystemene nedenfor.

\[\begin{align*} x + y + z &= 3 \\ 2x - y + 3z &= 1 \\ 3x + 2y - z &= 4 \end{align*}\]

Løsning

../../../_images/a22.png
\[\begin{align*} 2x + 3y - z &= 5 \\ x - y + 2z &= 4 \\ 3x + y + z &= 2 \end{align*}\]

Løsning

Løsning

../../../_images/b30.png
\[\begin{align*} x + 2y + 3z &= 6 \\ 4x - y + z &= 1 \\ -2x + 3y - z &= 5 \end{align*}\]

Løsning

Løsning

book/lineære_funksjoner/likningssystemer/figurer/oppgaver/oppgave_9/c.png
\[\begin{align*} 3x + y + 2z &= 7 \\ -x + 4y - z &= 2 \\ 2x - 3y + z &= 1 \end{align*}\]

Løsning

book/lineære_funksjoner/likningssystemer/figurer/oppgaver/oppgave_9/d.png

Oppgave 10

I noen sammenhenger er det naturlig å bruker likningssystemer til å modellere praktiske situasjoner.

En bygård har 40 leiligheter med til sammen 90 rom.

Hvor mange leiligheter har 2 rom og hvor mange har 3 rom?

En butikk selger små og store sekker med hundemat. De små sekkene veier \(4.5\) kg og de store veier \(12\) kg.

En dag solgte butikken \(80\) sekker. Sekkene veide til sammen \(720\) kg.

Hvor mange små og hvor mange store sekker solgte butikken denne dagen?

En kino solgte 250 billetter til en forestilling. Barnebilletten koster 90 kr, og voksenbilletten koster 140 kr. Den totale billettinntekten var 27 000 kr.

Hvor mange barnebilletter og hvor mange voksenbilletter ble solgt?

Et skoletrinn skal på tur og bestiller busser. En stor buss har plass til 60 elever, og en liten buss har plass til 24 elever. De bestiller totalt 5 busser, og det er akkurat plass til hele trinnet på 228 elever.

Hvor mange store og hvor mange små busser ble bestilt?

Oppgave 11

Et likningssystem har løsningen

\[ x = -2 \and y = 3. \]

Lag et likningssystem som har denne løsningen.

Fasit

Et mulig likningssystem er:

\begin{align*} 2x + 3y &= 5 \ -x + 2y &= 8 \end{align*}}