37. Sinussetningen

Læringsmål

• Kunne begrunne sinussetningen ut ifra arealsetningen.

• Kunne bruke sinussetningen ti lå finne ukjente sinusverdier eller ukjente sider i en trekant.

Sinussetningen gir oss en direkte sammenheng mellom sinus til en vinkel og lengden av den motstående siden i en trekant. Dette lar oss bestemme både ukjente sider og ukjente sinusverdier i en hvilken som helst trekant. Og det som er så greit, er at det bare er en konsekvens av arealsetningen.

Når vi jobbet med arealsetningen, fant vi at vi kunne skrive opp arealet ut ifra alle tre hjørnene i trekanten.

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} bc \sin A \\ \\ T &= \dfrac{1}{2} ac \sin B \\ \\ T &= \dfrac{1}{2} ab \sin C \end{align*} \end{split}\]

De tre uttrykkene er jo lik det samme arealet, så da må de alle tre være lik hverandre:

\[ \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2} ac \sin B = \dfrac{1}{2} ab \sin C \]

Hvis vi ganger med \(2\) i hvert uttrykk, så får vi at

\[ bc \sin A = ac \sin B = ab \sin C \]

Hvis vi nå deler med \(abc\) i hvert uttrykk, så får vi at

\[ \dfrac{bc \sin A}{abc} = \dfrac{ac \sin B}{abc} = \dfrac{ab \sin C}{abc} \]

Deler vi bort alle faktorer som er felles, får vi et en ganske fin sammenheng:

\[ \dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c} \]

Vi ser at sinus til en vinkel delt på lengden av den motstående siden er den samme for alle tre hjørner. Dette kalles for sinussetningen.

Sinussetningen

For alle trekanter \(ABC\), så gjelder

\[ \boxed{\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c}} \]

---

Eksempel 1

Gitt trekanten \(\triangle ABC\).

Bestem \(BC\).

Løsning

Vi kjenner til vinkelene i hjørne \(A\) og hjørne \(C\). Den motstående siden til vinkel \(A\) er \(BC\), og den motstående siden til vinkel \(C\) er \(AB\). Med sinussetningen kan vi da sette opp likningen

\[ \dfrac{\sin A}{BC} = \dfrac{\sin C}{AB} \]

Vi lar \(x = BC\). Da får vi at

\[ \dfrac{\sin 120\degree}{x} = \dfrac{\sin 45\degree}{4} \]

Vi har at \(\sin 120\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) og \(\sin 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), så da får vi at

\[ \dfrac{\sqrt{3} / 2}{x} = \dfrac{\sqrt{2} / 2}{4} \]

\[ \dfrac{\sqrt{3}}{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \]

Har kan vi snu begge brøkene på hode slik at

\[ \dfrac{x}{\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} \]

Så ganger vi med \(\sqrt{3}\) på begge sider, og da får vi at

\[ x = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \]

Altså er \(BC = 2\sqrt{6}\).