30. Sinussetningen

Læringsmål

• Kunne forklare sinussetningen og bruke den til å finne ukjente sider og vinkler i en trekant.

• Kunne begrunne sinussetningen ut ifra arealsetningen.

Sinussetningen gir oss en sammenheng mellom vinklene og sidelengdene i en trekant. Vi skal se at setningen er en uungåelig konsekvens av arealsetningen. Men først skal vi bli kjent med nøyaktig hva setningen forteller oss.

Sinussetningen

For en trekant \(\triangle ABC\) med sidelengder \(a\), \(b\) og \(c\) og motstående vinkler \(A\), \(B\) og \(C\), gjelder følgende sammenheng:

\[ \dfrac{\sin \angle A}{a} = \dfrac{\sin \angle B}{b} = \dfrac{\sin \angle C}{c} \]

---

Eksempel 1

Nedenfor vises en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem de sidelengdene \(x\) og \(y\).

Løsning

Sidelengden \(y\) er motstående side til \(\angle A = 40\degree\). Den motstående sidelengden til \(\angle B = 35.52\degree\) er \(3\). Ut ifra sinussetningen kan vi da sette opp likningen

\[ \dfrac{\sin (40\degree)}{y} = \dfrac{\sin (35.52\degree)}{3} \]

Sidelengden \(x\) er motstående side til \(\angle C = 104.48\degree\). Da kan vi også sette opp likningen

\[ \dfrac{\sin(104.48\degree)}{x} = \dfrac{\sin(35.52\degree)}{3} \]

Vi løser de to likningene med CAS:

Dermed er de ukjente lengdene \(x = 5\) og \(y \approx 3.32\).

---

Nå skal vi se på hvorfor sinussetningen stemmer ved å ta utgangspunkt i arealsetningen.

Utforsk 1

I figuren nedenfor vises en trekant \(\triangle ABC\).

a

Skriv ned en formel for arealet til \(\triangle ABC\) med utgangspunkt i vinkel \(\angle A\).

Fasit

\[ T = \dfrac{1}{2}bc \sin \angle A \]

b

Skriv ned en formel for arealet til \(\triangle ABC\) med utgangspunkt i vinkel \(\angle B\).

Fasit

\[ T = \dfrac{1}{2}ac \sin \angle B \]

c

Skriv ned en formel for arealet til \(\triangle ABC\) med utgangspunkt i vinkel \(\angle C\).

Fasit

\[ T = \dfrac{1}{2}ab \sin \angle C \]

d

Forklar at

\[ bc \sin \angle A = ac \sin \angle B = ab \sin \angle C \]

Fasit

Vi har skrevet opp arealet \(T\) på tre forskjellige måter ved å ta utgangspunkt i de tre vinklene. Dette arealet er likt uansett hvilken vinkel vi tar utgangspunkt i som betyr at

\[ \dfrac{1}{2} bc \sin \angle A = \dfrac{1}{2} ac \sin \angle B = \dfrac{1}{2} ab \sin \angle C \]

som derfor betyr at

\[ bc \sin \angle A = ac \sin \angle B = ab \sin \angle C \]

e

Bruk resultatet i d til å komme fram til sinussetningen.

\[ \dfrac{\sin \angle A}{a} = \dfrac{\sin \angle B}{b} = \dfrac{\sin \angle C}{c} \]

Fasit

Deler vi med \(abc\) i alle uttrykkene i likningene fra d får vi:

\[ \dfrac{bc \sin \angle A}{abc} = \dfrac{ac \sin \angle B}{abc} = \dfrac{ab \sin \angle C}{abc} \]

som gir

\[ \dfrac{\sin \angle A}{a} = \dfrac{\sin \angle B}{b} = \dfrac{\sin \angle C}{c} \]