5. Formler

Læringsmål

• Kunne bestemme formler for tallfølger og figurtall

• Kjenne til formlene for noen spesielle tallfølger

Partall og oddetall

Du vet sannsynligvis allerede hva et partall og et oddetall er. I noen situasjoner er det nyttig at vi kan beskrive partallene og oddetallene med formler. Partallene kan listes opp slik:

\[ \set{2, 4, 6, 8, \ldots} \]

Vi kan se at dersom vi tar de naturlige tallene \(\set{1, 2, 3, 4, \ldots}\) og ganger dem med \(2\), så får vi alle partallene. Dette motiverer følgende resultat:

Partallene

Partallene \(\set{2, 4, 6, 8, \ldots}\) er gitt ved formelen

\[ P_n = 2n \qder n \in \mathbb{N} \]

Hvis vi tar partallene \(\set{2, 4, 6, 8, \ldots}\) og trekker fra \(1\), så får vi alle oddetallene \(\set{1, 3, 5, \ldots}\). Det gjør at vi kan skrive ned en generell formel for alle oddetallene:

Oddetallene

Oddetallene \(\set{1, 3, 5, 7, \ldots}\) er gitt ved formelen

\[ O_n = 2n - 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

Dersom vi ønsker å regne ut et en verdi med formelen, så erstatter vi \(n\) med et bestemt tall.

Eksempel 1

Bestem verdien til det \(5\)-te partallet.

Løsning

Vi setter inn \(n = 5\) i formelen for partallene \(P_n = 2n\):

\[ P_\textcolor{red}{5} = 2 \cdot \textcolor{red}{5} = 10 \]

Finne formler for tallfølger

En tallfølge \(a_n\) er en følge av tall som følger et bestemt mønster. For eksempel er tallfølgen \(a_n = 2n\) partallene, og tallfølgen \(a_n = 2n - 1\) er oddetallene. For å oppdage mønstre i tallfølger, må vi ofte prøve oss frem og oppdage mønstre som vi generaliserer til en formel. Det er ikke alltid enkelt å finne en formel, men det blir ofte enklere når vi har gjort det en del ganger.

Vi starter med å se på en bestemt tallfølge.

Eksempel 1

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster.

Vi lar \(S_n\) være antall sirkler i figur \(n\). Da har vi at

\[ S_1 = 1 \qog S_2 = 4 \qog S_3 = 9 \]

Hvis vi tegner figur \(4\), vil vi få \(16\) sirkler. Men disse tallene følger et bestemt mønster fordi

\[ 1, 4, 9, 16,\ldots = 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots \]

Det betyr at vi kan skrive en formel for antall sirkler i den \(n\)-te figuren som

\[ S_n = n^2 \qder n \in \mathbb{N} \]

Denne tallfølgen er en kjent tallfølge du kanskje har hørt om før og kalles for kvadrattallene.