Oppgaver: Eksponentialfunksjoner

Oppgaver: Eksponentialfunksjoner#

Oppgave 1

Sammenheng mellom prosentvis endring og vekstfaktor

For en prosentvis endring \(p\) er vekstfaktoren \(V\) gitt ved

\[ V = 1 + p \]

For eksempel er en økning på \(25\%\) er \(p = 25\%\), og da er vekstfaktoren

\[ V = 100\% + 25\% = 125\% = 1.25 \]

Ved en nedgang på \(25\%\) er \(p = -25\%\), og da er vekstfaktoren

\[ V = 100\% - 25\% = 75\% = 0.75 \]

Ta quizen!

Hva er vekstfaktoren ved \(20\%\) økning?

\[ 1.20 \]
\[ 0.20 \]
\[ 20 \]
\[ 2.0 \]

Hva er vekstfaktoren ved \(10\%\) nedgang?

\[ 0.90 \]
\[ 0.10 \]
\[ -0.10 \]
\[ -0.90 \]

Hva er vekstfaktoren ved \(35\%\) økning?

\[ 1.35 \]
\[ 0.35 \]
\[ 1.035 \]
\[ 35 \]

Hva er vekstfaktoren ved \(7\%\) nedgang?

\[ 0.93 \]
\[ -0.07 \]
\[ 1.07 \]
\[ -0.93 \]

En vekstfaktor er \(1.08\).

Hva er det prosentvise endringen?

\[ 8\%\ \text{økning} \]
\[ 0.08\%\ \text{økning} \]
\[ 8\%\ \text{nedgang} \]
\[ 108\%\ \text{økning} \]

En vekstfaktor er \(0.85\).

Hva er den prosentvise endringen?

\[ 15\%\ \text{nedgang} \]
\[ 85\%\ \text{økning} \]
\[ 85\%\ \text{nedgang} \]
\[ 15\%\ \text{økning} \]

Oppgave 2

Bestem vekstfaktoren til de prosentvise endringene nedenfor.

\(16\%\) økning.

Fasit

\[ V = 1.16 \]

Løsning

\[ V = 100\% + 16\% = 116\% = 1.16 \]

\(16\%\) nedgang.

Fasit

\[ V = 0.84 \]

Løsning

\[ V = 100\% - 16\% = 84\% = 0.84 \]

\(3.5\%\) økning.

Fasit

\[ V = 1.035 \]

Løsning

\[ V = 100\% + 3.5\% = 103.5\% = 1.035 \]

\(3.5\%\) nedgang.

Fasit

\[ V = 0.965 \]

Løsning

\[ V = 100\% - 3.5\% = 96.5\% = 0.965 \]

Oppgave 3

Sammenhengen mellom prosentvis endring og vekstfaktor

For en prosentvis endring \(p\) er vekstfaktoren \(V\) gitt

\[ V = 1 + p \]

Gitt en vekstfaktor har vi da at den prosentvise endringen \(p\) er gitt ved

\[ p = V - 1 \]

Hvis \(p > 0\) er det en prosentvis økning, og hvis \(p < 0\) er det en prosentvis nedgang.

Bestem den prosentvise endringen til vekstfaktorene nedenfor.

\[ V = 1.06 \]

Fasit

\(6\%\) økning.

Løsning

\[ V = 1 + p \liff p = V - 1 = 1.06 - 1 = 0.06 = 6\%\ \]

Altså \(6\%\) økning.

\[ V = 0.96 \]

Fasit

\(4\%\) nedgang.

Løsning

\[ V = 1 + p \liff p = V - 1 = 0.96 - 1 = -0.04 = -4\% \]

Altså \(4\%\) nedgang.

\[ V = 1.025 \]

Fasit

\(2.5\%\) økning.

Løsning

\[ V = 1 + p \liff p = V - 1 = 1.025 - 1 = 0.025 = 2.5\% \]

Altså \(2.5\%\) økning.

\[ V = 0.68 \]

Fasit

\(32\%\) nedgang.

Løsning

\[ V = 1 + p \liff p = V - 1 = 0.68 - 1 = -0.32 = -32\% \]

Altså \(32\%\) nedgang.

Oppgave 4

Sammenhengen mellom gammel og ny verdi

La \(G\) være den opprinnelige verdien og \(V\) være vekstfaktoren.
Da er den nye verdien \(N\) gitt ved

\[ N = G \cdot V \]

Ta quizen!

En genser koster \(500\) kr og blir satt ned med \(20\%\).

Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut den nye prisen?

\[ 500 \cdot 0.80 \]
\[ 500 \cdot 0.2 \]
\[ 500 - 0.2 \]
\[ 500 - 0.8 \]

Lønnen til Anna økte med \(20\%\) fra 2024 til 2025. Nå er lønnen hennes \(720~000\).

Hvilket uttrykk kan brukes for å regne ut lønnen Anna hadde i 2024?

\[ \dfrac{720~000}{1.20} \]
\[ 720~000 \cdot 0.80 \]
\[ 720~000 \cdot 0.2 \]
\[ \dfrac{720~000}{0.8} \]

En vare økte fra \(600\) kr til \(800\) kr.

Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut vekstfaktoren til endringen?

\[ \dfrac{800}{600} \]
\[ \dfrac{600}{800} \]
\[ 1 - \dfrac{800}{600} \]
\[ 1 - \dfrac{600}{800} \]

En bil kostet \(200~000\) kr i 2024. I 2025 hadde verdien av bilen sunket med \(15\%\).

Hvilket uttrykk kan brukes for å finne verdien av bilen i 2025?

\[ 200~000 \cdot 0.85 \]
\[ 200~000 \cdot 0.15 \]
\[ \dfrac{200~000}{0.85} \]
\[ \dfrac{200~000}{1.15} \]

Beløpet på en sparekonto har vokst med \(2.5\%\) i løpet av 2025. Nå er beløpet \(12~500\) kr.

Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut hvor mye det var på kontoen i starten av 2025?

\[ \frac{12~500}{1.025} \]
\[ 12~500 \cdot 0.975 \]
\[ \dfrac{12~500}{0.975} \]
\[ 12~500 \cdot 0.025 \]

En jakke kostet \(3000\) kr og ble satt ned til \(2200\) kr.

Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut hvor mange prosent jakken ble satt ned?

\[ 100\% - \dfrac{2200}{3000} \cdot 100\% \]
\[ 100\% - \dfrac{3000}{2200} \cdot 100\% \]
\[ \dfrac{2200}{3000} \cdot 100\% \]
\[ \dfrac{3000}{2200} \cdot 100\% \]

Oppgave 5

En vare koster \(300\) kr og øker med \(6\%\).

Bestem et uttrykk for hvor mye varen koster etter økningen.

Fasit

\[ 300 \cdot 1.06 \]

Løsning

Den gamle verdien er \(G = 300\). Vekstfaktoren er

\[ V = 100\% + 6\% = 106\% = 1.06 \]

Da er den nye prisen gitt ved

\[ N = G \cdot V = 300 \cdot 1.06 \]

En jakke koster \(4000\) kr og blir satt ned med \(30\%\).

Bestem et uttrykk for prisen til jakken etter at den ble satt ned.

Fasit

\[ 4000 \cdot 0.7 \]

Løsning

Den gamle prisen er \(G = 4000\). Vekstfaktoren for endringen er

\[ V = 100\% - 30\% = 70\% = 0.7 \]

Den nye prisen er da

\[ N = G \cdot V = 4000 \cdot 0.7 \]

Synne sin lønn i 2025 er \(500~000\) kr. Da hadde lønnen hennes økt med \(5\%\) fra 2024 til 2025.

Bestem et uttrykk for lønnen til Synne i 2024.

Fasit

\[ \dfrac{500~000}{1.05} \]

Løsning

Den nye verdien er \(N = 500~000\). Vekstfaktoren for endringen er

\[ V = 100\% + 5\% = 105\% = 1.05 \]

Da er lønnen i 2024 gitt ved

\[ N = G \cdot V \liff G = \dfrac{N}{V} = \dfrac{500~000}{1.05} \]

En sykkel koster \(5000\) kr etter at den ble satt ned med \(20\%\).

Bestem et uttrykk for prisen på sykkelen før at den ble satt ned.

Fasit

\[ \dfrac{5000}{0.8} \]

Løsning

Den nye prisen er \(N = 5000\).
Vekstfaktoren for endringen er

\[ V = 100\% - 20\% = 80\% = 0.8. \]

Den opprinnelige prisen er da gitt ved

\[ N = G \cdot V \liff G = \dfrac{N}{V} = \dfrac{5000}{0.8} \]

Oppgave 6

Prosentvis vekst i flere perioder

La \(G\) være den opprinnelige verdien og \(V\) være vekstfaktoren for hver periode. Etter \(x\) perioder er den nye verdien \(N\) gitt ved

\[ N = G \cdot V^\d{x} \]

Ta quizen!

Du setter inn \(1000\) kr på en sparekonto med \(3\%\) rente per år.

Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut beløpet på sparekontoen om 5 år?

\[ 1000 \cdot 1.03^5 \]
\[ 1000 \cdot 1.03 \cdot 5 \]
\[ 1000 \cdot 1.15 \]
\[ 1000 + 5 \cdot 0.03 \cdot 1000 \]

Du setter inn \(2000\) kr på en sparekonto med \(5\%\) årlig rente.

Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut beløpet på sparekontoen om 4 år?

\[ 2000 \cdot 1.05^4 \]
\[ 2000 \cdot 1.05 \cdot 4 \]
\[ 2000 \cdot 1.20 \]
\[ 2000 + 4 \cdot 0.05 \cdot 2000 \]

Et beløp på en sparekonto vokser med \(4\%\) rente per år. Etter \(6\) år er beløpet \(2000\) kr.

Hvilket uttrykk kan brukes til å finne ut hvor stort beløpet var for 6 år siden?

\[ \frac{2000}{1.04^6} \]
\[ 2000 \cdot 0.96^6 \]
\[ \frac{2000}{0.96^6} \]
\[ \dfrac{2000}{1.24} \]

En befolkning vokser med \(2\%\) per år. Etter \(10\) år er befolkningen \(11~000\) mennesker.

Hvilket uttrykk kan brukes til å finne ut hvor stor befolkningen var for \(10\) år siden?

\[ \frac{11~000}{1.02^{10}} \]
\[ 11~000 \cdot 0.98^{10} \]
\[ \frac{11~000}{0.98^{10}} \]
\[ \dfrac{11~000}{1.20} \]

En bil ble kjøpt for \(300~000\) kr og har sunket med \(8\%\) per år de siste 5 årene.

Hvilket uttrykk kan brukes til regne ut verdien av bilen etter 5 år?

\[ 300~000 \cdot 0.92^5 \]
\[ 300~000 \cdot 0.6 \]
\[ 300~000 \cdot 0.4 \]
\[ 300~000 \cdot 0.08^5 \]

Verdien på en aksje har sunket med \(4\%\) per år de siste 3 årene. Nå er verdien på aksjen \(150\) kr.

Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut verdien på aksjen for 3 år siden?

\[ \frac{150}{0.96^3} \]
\[ 150 \cdot 1.04^3 \]
\[ 150 \cdot 1.12 \]
\[ \dfrac{150}{0.88} \]

Oppgave 7

Ta quizen!

En bil koster opprinnelig \(400~000\) kr. Verdien til bilen synker med \(8\%\) per år.

Hvilket funksjonsuttrykk beskriver verdien til bilen etter \(x\) år?

\[ f(x) = 400~000 \cdot 0.92^x \]
\[ f(x) = 400~000 \cdot 0.08^x \]
\[ f(x) = 400~000 \cdot 0.92 \cdot x \]
\[ f(x) = 400~000 \cdot 1.08^x \]

Antall følgere på en konto i sosiale medier var opprinnelig \(20~000\). Antall følgere øker med \(5\%\) per år.

Hvilket funksjonsuttrykk beskriver antall følgere etter \(x\) år?

\[ f(x) = 20~000 \cdot 1.05^x \]
\[ f(x) = 20~000 \cdot 0.05^x \]
\[ f(x) = 20~000 \cdot 1.05 \cdot x \]
\[ f(x) = 20~000 \cdot 0.95^x \]

Mengden medisinsk oksygen i en tank er opprinnelig \(1~000\) liter. Mengden oksygen minker med \(10\%\) per time.

Hvilket funksjonsuttrykk beskriver mengden oksygen etter \(x\) timer?

\[ f(x) = 1~000 \cdot 0.90^x \]
\[ f(x) = 1~000 \cdot 0.10^x \]
\[ f(x) = 1~000 \cdot 0.90 \cdot x \]
\[ f(x) = 1~000 \cdot 1.10^x \]

Temperaturen i en kopp varm te er opprinnelig \(80^\circ\text{C}\). Temperaturen synker med \(12\%\) per minutt.

Hvilket funksjonsuttrykk beskriver temperaturen etter \(x\) minutter?

\[ f(x) = 80 \cdot 0.88^x \]
\[ f(x) = 80 \cdot 0.12^x \]
\[ f(x) = 80 \cdot 0.88 \cdot x \]
\[ f(x) = 80 \cdot 1.12^x \]

Verdien av et kunstverk var opprinnelig \(120~000\) kr. Verdien øker med \(6\%\) per år.

Hvilket funksjonsuttrykk beskriver verdien av kunstverket etter \(x\) år?

\[ f(x) = 120~000 \cdot 1.06^x \]
\[ f(x) = 120~000 \cdot 0.06^x \]
\[ f(x) = 120~000 \cdot 1.06 \cdot x \]
\[ f(x) = 120~000 \cdot 0.94^x \]

Antall abonnenter på en strømmetjeneste var opprinnelig \(50~000\). Antall abonnenter synker med \(4\%\) per år.

Hvilket funksjonsuttrykk beskriver antall abonnenter etter \(x\) år?

\[ f(x) = 50~000 \cdot 0.96^x \]
\[ f(x) = 50~000 \cdot 0.04^x \]
\[ f(x) = 50~000 \cdot 0.96 \cdot x \]
\[ f(x) = 50~000 \cdot 1.04^x \]

Oppgave 8

Alma og Synne leste om en lottovinner som vant et beløp i lotto for 10 år siden. Lottovinneren satte inn pengene på sparekonto med \(5\%\) rente per år. Nå er beløpet på sparekontoen \(1~500~000\) kr.

Alma og Synne diskuterer hvordan de kan regne ut hvor mye lottovinneren vant i lotto for 10 år siden.

Alma

Å regne ut vekstfaktoren \(V\) er jo ganske greit.

Synne

Sant! Vanligvis ville jeg bare tatt sluttverdien og delt på \(V^{10}\) siden det har gått 10 år.

Alma

Ja, men jeg har også lest at vi har definert at \(V^{-10} = \dfrac{1}{V^{10}}\)

Synne

Åh! Det må jo bety at vi bare kan gange med \(V^{-10}\) i stedet for å dele på \(V^{10}\)!


Ta utgangspunkt i dialogen til Alma og Synne og avgjør hvilke av uttrykkene nedenfor som kan brukes til å regne ut hvor mye lottovinneren vant i lotto for 10 år siden.

\[ 1~500~000 \cdot 1.05^{-10} \]
\[ 1~500~000 \cdot 0.95^{10} \]
\[ \dfrac{1~500~000}{0.95^{10}} \]
\[ \dfrac{1~500~000}{1.05^{10}} \]
\[ 1~500~000 \cdot 0.95^{-10} \]
\[ 1~500~000 \cdot 1.05^{10} \]

Fasit

Uttrykk 1 og uttrykk 4.

Løsning

Vekstfaktoren er gitt ved

\[ V = 100\% + 5\% = 105\% = 1.05 \]

Dette eliminerer uttrykk 2, 3 og 5.

Vi kan enten gange sluttenverdien med \(V^{-10}\) eller dele sluttverdien med \(V^{10}\). Dette betyr at det uttrykkene enten er

\[ 1~500~000 \cdot 1.05^{-10} \qquad \mathrm{(Uttrykk \, 1)} \]

eller

\[ \dfrac{1~500~000}{1.05^{10}} \qquad \mathrm{(Uttrykk \, 4)} \]

Altså er uttrykk 1 og uttrykk 4 riktige.

Oppgave 9

Ta quizen!

Beløpet på en sparekonto er nå \(300~000\) kr. Beløpet er økt med \(3\%\) per år siden pengene ble satt inn.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut beløpet på kontoen for \(8\) år siden?

\[ \dfrac{300~000}{1.03^8} \]
\[ 300~000 \cdot 1.03^{-8} \]
\[ 300~000 \cdot 0.97^8 \]
\[ \dfrac{300~000}{0.97^8} \]

Verdien av en bolig er nå \(4~000~000\) kr. Verdien har økt med \(2\%\) per år de siste \(10\) årene.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut verdien av boligen for \(10\) år siden?

\[ \dfrac{4~000~000}{1.02^{10}} \]
\[ 4~000~000 \cdot 1.02^{-10} \]
\[ 4~000~000 \cdot 0.98^{10} \]
\[ \dfrac{4~000~000}{0.98^{10}} \]

Mengden radioaktivt stoff er nå \(800\) gram. Stoffet har avtatt med \(6\%\) per år de siste \(15\) årene.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mye stoff det var for \(15\) år siden?

\[ \dfrac{800}{0.94^{15}} \]
\[ 800 \cdot 0.94^{-15} \]
\[ 800 \cdot 1.06^{15} \]
\[ \dfrac{800}{1.06^{15}} \]

Verdien av en maskin er nå \(600~000\) kr. Verdien har sunket med \(10\%\) per år de siste \(7\) årene.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut hva maskinen var verdt for \(7\) år siden?

\[ \dfrac{600~000}{0.90^{7}} \]
\[ 600~000 \cdot 0.90^{-7} \]
\[ 600~000 \cdot 1.10^{7} \]
\[ \dfrac{600~000}{1.10^{7}} \]

Oppgave 10

Alma og Synne skal spare penger til å reise om 5 år. Det skal sette inn \(5000\) kr til sammen hvert år på en konto som har \(3\%\) rente per år.

De vil bruke programmering til å løse oppgaven. De diskuterer:

Alma

Når vi har regnet ut vekstfaktoren, så kan vi skrive kodelinjen s = s * vekstfaktor**5 for å regne ut hvor mye vi har etter 5 år.

Synne

Sant! Men det vil bare fungere når vi setter inn ett innskudd på starten. Jeg tror vi bør skrive
s = s * vekstfaktor
i en løkke som kjører 5 ganger.

Alma

God idé! For da kan vi jo legge til et fast innskudd til s i starten av hvert år også!

Synne

Nettopp, og da vil vi enklere kunne regne ut en mer realistisk sparesituasjon hvor vi setter inn penger hvert år.


Hvilke to programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mye Alma og Synne har sammen etter 5 år hvis de bare setter inn 5000 kr én gang i starten?

1s = 5000
2vekstfaktor = 1.03
3
4s = s * vekstfaktor ** 5

1s = 5000
2vekstfaktor = 1.03
3
4for x in range(5):
5    s = s * vekstfaktor

1s = 5000
2vekstfaktor = 0.97
3
4s = s * vekstfaktor ** 5

1s = 5000
2vekstfaktor = 0.97
3
4for x in range(5):
5    s = s * vekstfaktor

Fasit

Program 1 og program 2.

Alma og Synne skal i stedet sette inn \(5000\) kr på starten av hvert år. Det riktige programmet som vil gjøre dette er plassert i tilfeldig rekkefølge nedenfor.

  1. Sett sammen programmet i riktig rekkefølge

  2. Bruk programmet til å bestemme sparebeløpet de vil ha etter 5 år.

Oppgave 11

Ta quizen!

Lønna til Bror var \(400~000\) kr for fem år siden. Lønna hans har økt med \(5\%\) per år de siste fem årene.

Hvilke to programmer nedenfor kan brukes til å beregne lønnen til Bror i dag?

1L = 400_000
2p = 5 / 100
3V = 1 + p
4
5L = L * V ** 5
6
7print(L)

1L = 400_000
2p = 5 / 100
3V = 1 + p
4
5for x in range(5):
6    L = L * V
7
8print(L)

1L = 400_000
2p = 5 / 100
3V = 1 + p
4
5for x in range(5):
6    L = L * V ** 5
7
8print(L)

1L = 400_000
2p = 5 / 100
3V = 1 + p
4
5for x in range(5):
6    L = L + V
7
8print(L)

Anna satte inn et beløp på en sparekonto for 5 år siden. I dag har Anna \(10~000\) kr på sparekontoen sin. Sparekontoen har \(3\%\) rente per år.

Hvilke to programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mye Anna satte inn på sparekontoen for 5 år siden?

1s = 10_000
2p = 3 / 100
3V = 1 + p
4
5for x in range(5):
6    s = s / V
7
8print(s)

1s = 10_000
2p = 3 / 100
3V = 1 + p
4
5s = s / V ** 5
6
7print(s)

1s = 10_000
2p = 3 / 100
3V = 1 - p
4
5for x in range(5):
6    s = s * V
7
8print(s)

1s = 10_000
2p = 3 / 100
3V = 1 - p
4
5s = s * V**5
6
7print(s)

En elsykkel ble kjøpt for 4 år siden. I dag er verdien av elsykkelen \(18~000\) kr. Verdien har sunket med \(10\%\) per år.

Hvilke to programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hva elsykkelen var verdt da den ble kjøpt?

1v = 18_000
2p = 10 / 100
3V = 1 - p
4
5for x in range(4):
6    v = v / V
7
8print(v)

1v = 18_000
2p = 10 / 100
3V = 1 - p
4
5v = v / V ** 4
6
7print(v)

1v = 18_000
2p = 10 / 100
3V = 1 + p
4
5for x in range(4):
6    v = v / V
7
8print(v)

1v = 18_000
2p = 10 / 100
3V = 1 - p
4
5v = v * V**4
6
7print(v)

En bestand med fisk er i dag på \(25~000\) fisk. Bestanden har økt med \(4\%\) per år de siste 6 årene.

Hvilke to programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mange fisk det var i bestanden for 6 år siden?

1f = 25_000
2p = 4 / 100
3V = 1 + p
4
5for x in range(6):
6    f = f / V
7
8print(f)

1f = 25_000
2p = 4 / 100
3V = 1 + p
4
5f = f / V ** 6
6
7print(f)

1f = 25_000
2p = 4 / 100
3V = 1 - p
4
5for x in range(6):
6    f = f * V
7
8print(f)

1f = 25_000
2p = 4 / 100
3V = 1 - p
4
5f = f * V ** 6
6
7print(f)

Verdien av en bolig er i dag \(3~200~000\) kr. Verdien har økt med \(2\%\) per år de siste 12 årene.

Hvilke to programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hva boligen var verdt for 12 år siden?

1v = 3_200_000
2p = 2 / 100
3V = 1 + p
4
5for x in range(12):
6    v = v / V
7
8print(v)

1v = 3_200_000
2p = 2 / 100
3V = 1 + p
4
5v = v / V ** 12
6
7print(v)

1v = 3_200_000
2p = 2 / 100
3V = 1 - p
4
5for x in range(12):
6    v = v * V
7
8print(v)

1v = 3_200_000
2p = 2 / 100
3V = 1 - p
4
5v = v * V ** 12
6
7print(v)

Temperaturen i en kopp te er opprinnelig \(80^\circ\text{C}\). Temperaturen synker med \(5\%\) per minutt.

Hvilke to programmer nedenfor kan brukes til å regne ut temperaturen etter 6 minutter?

1T = 80
2p = 5 / 100
3V = 1 - p
4
5for x in range(6):
6    T = T * V
7
8print(T)

1T = 80
2p = 5 / 100
3V = 1 - p
4
5T = T * V ** 6
6
7print(T)

1T = 80
2p = 5 / 100
3V = 1 + p
4
5for x in range(6):
6    T = T * V
7
8print(T)

1T = 80
2p = 5 / 100
3V = 1 - p
4
5for x in range(6):
6    T = T - V
7
8print(T)

Oppgave 12

Nedenfor vises en figur som er satt sammen av mange linjestykker.

Lengden til et linjestykke er alltid \(90\%\) av lengden til det forrige linjestykket. Det første linjestykket er \(100 \, \mathrm{cm}\) langt.

2026-03-06T20:28:33.776359 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

Bestem et uttrykk for den samlede lengden til de fire første linjestykkene.

Fasit

\[ 100 + 100 \cdot 0.9 + 100 \cdot 0.9^2 + 100 \cdot 0.9^3 \]

Lag et program som beregner den samlede lengden av de 10 000 første linjestykkene.

Fasit

1lengde = 100
2s = 0
3for n in range(10_000):
4    s = s + lengde
5    lengde = lengde * 0.9
6    
7print(s)

Oppgave 13

I figuren nedenfor vises en følge av kvadrater der det første kvadratet har sidelengde \(1\).

Sidelengden til det neste kvadratet er alltid \(70\%\) av sidelengden til det forrige kvadratet.

2026-02-19T18:42:32.863483 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

Bestem et uttrykk for summen av arealene til de fire første kvadratene.

Fasit

\[ 1 + 0.7^2 + 0.7^4 + 0.7^6 \]

Lag et program som beregner summen av arealene til de 10 000 første kvadratene.

Fasit

1sidelengde = 1
2s = 0
3for n in range(10_000):
4    areal = sidelengde ** 2
5    s = s + areal
6    sidelengde = sidelengde * 0.7
7    
8print(s)

Oppgave 14

Nedenfor vises et kvadrat med sidelengder \(3\).

Kvadratet er fylt med mindre kvadrater. Noen av kvadratene er fargelagte.

2026-03-06T20:28:34.255531 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

Bestem et uttrykk for summen av arealene til de fire største fargelagte kvadratene.

Fasit

\[ \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4^2} + \dfrac{9}{4^3} + \dfrac{9}{4^4} \]

Lag et program som beregner summen av arealene til de 10 000 største fargelagte kvadratene.

Fasit

1areal = 9 / 4
2s = 0
3
4for n in range(10_000):
5    s = s + areal
6    areal = areal / 4
7    
8print(f"{s = }")

Oppgave 15

En likesidet trekant har areal \(9\). Trekanten er delt i mindre likesidete trekanter der noen er fargelagte. Oppdelingen fortsetter for alltid. Se figuren nedenfor.

2026-03-06T20:28:34.359286 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

Bestem et uttrykk for summen av arealene til de fire største fargelagte trekantene.

Fasit

\[ 9 + \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4^2} + \dfrac{9}{4^3} \]

Lag et program som beregner summen av arealene til de 10 000 største fargelagte trekantene.

Fasit

Arealet av de 10 000 største fargelagte trekantene er omtrent lik 12.

Løsning

1areal = 9
2s = 0
3for n in range(10_000):
4    s += areal
5    areal /= 4
6    
7print(s)

Når programmet kjøres får vi utskriften

11.999999999999998

Altså er arealet av de 10 000 største fargelagte trekantene omtrent lik 12.

Oppgave 16

2026-03-06T20:28:34.469086 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

I figuren til høyre vises en likesidet trekant med sidelengder \(2\).

Inni den ytre trekanten er det innskrevet en mindre likesidet trekant. Inni denne trekanten er det igjen innskrevet en enda mindre likesidet trekant.

Slik fortsetter det i det uendelige.

Bestem et uttrykk for summen av omkretsene til de fire største trekantene.

Fasit

\[ 6 + \dfrac{6}{2} + \dfrac{6}{2^2} + \dfrac{6}{2^3} \]

Lag et program som regner ut summen av omkretsene til de 10 000 største trekantene.

Fasit

Summen av omkretsene til de 10 000 største trekantene er omtrent lik 12.

Løsning

1s = 0
2omkrets = 2 * 3
3for x in range(10_000):
4    s += omkrets
5    omkrets = omkrets / 2
6    
7print(f"{s = }")

som gir utskriften

s = 11.999999999999998

som betyr at summen av omkretsene til de 10 000 største trekantene er omtrent like 12.

Oppgave 17

Anna jobber med eksponentialfunksjonen

\[ f(x) = 10 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^x, \quad x \in [0, 5] \]

Anna vil bestemme arealet av det fargelagt område mellom grafen til \(f\) og \(x\)-aksen.

Hun har laget seg en figur som viser hvordan hun har tenkt at hun kan finne en tilnærmet verdi til arealet ved å bruke rektangler. Se figurene nedenfor.

2026-02-19T18:42:33.111491 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/
1.00 64.00
N = 5.00

Bestem et uttrykk for arealet som Anna kan bruke til å regne ut arealet med \(5\) rektangler.

Fasit

\[ f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) \]

Bestem et uttrykk for arealet som Anna kan bruke til å regne ut arealet med \(10\) rektangler.

Fasit

\[ f(0)\cdot 0.5 + f(0.5) \cdot 0.5 + f(1) \cdot 0.5 + \ldots + f(4) \cdot 0.5 + f(4.5) \cdot 0.5 \]

Lag et program som finner arealet av det fargelagte området ved å bruke 10 000 rektangler.

Fasit

 1def f(x):
 2    return 10 * (1/2) ** x
 3    
 4N_rektangler = 10_000
 5bredde = 5 / N_rektangler
 6areal = 0
 7for i in range(N_rektangler):
 8    x = i * bredde
 9    areal = areal + f(x) * bredde
10    
11print(areal)

Oppgave 18

En pasient tar regelmessig et medikament som inneholder 1000 mg virkestoff per tablett. Kroppen bryter ned virkestoffet slik at det minker med \(20\%\) per time.

Bestem et uttrykk som gir mengden virkestoff i kroppen til pasienten dersom en tablett tas hver time.

Fasit

\[ 1000 + 1000 \cdot 0.8 + 1000 \cdot 0.8^2 + 1000 \cdot 0.8^3 + \ldots \]

Bestem et uttrykk som gir mengden virkestoff i kroppen til pasienten dersom en tablett tas hver 4. time.

Fasit

\[ 1000 + 1000 \cdot 0.8^4 + 1000 \cdot 0.8^8 + 1000 \cdot 0.8^{12} + \ldots \]

Lag et program som bestemmer mengden virkestoff pasienten har i kroppen dersom en tablett tas hver 4.time over lang tid.