30. Potensfunksjoner

Læringsmål

• Kan forklare begrepet proprosjonalitet og anvende begrepet proporsjonalitet.

• Kan beskrive egenskapene til potensfunksjoner.

• Kjenner til sammenhengen mellom potensfunksjoner og rotfunksjoner.

Mange sammenhenger både i naturen og i samfunnet kan beskrives ved hjelp av potensfunksjoner. Potensfunksjoner er sterkt knyttet til begrepet proporsjonalitet.

Proporsjonalitet

Proporsjonalitet er et begrep som vi bruker til å beskrive at sammenhengen mellom to størrelser \(x\) og \(y\) kan uttrykkes som \(y = a \cdot x\) der \(a\) kalles for en proprosjonalitetskonstant.

Eksempel 1

La oss si at hektoprisen for smågodt på butikken er \(15\) kr/hg. Prisen \(P\) vi må betale når vi kjøper \(x\) hg smågodt er da

\[ P(x) = 15 \cdot x \]

Dersom vi dobler mengden smågodt fra \(x\) til \(2x\), så får vi

\[ P(2x) = 15 \cdot (2x) = 2 \cdot (15 \cdot x) = 2 \cdot P(x) \]

Det betyr at når vi dobler mengden smågodt, så dobles også prisen. Vi sier da at \(P\) er proprosjonal med \(x\) og skriver det \(P \propto x\). Proprosjonalitetskonstanten er \(15~\mathrm{kr/hg}\).

---

Men at to størrelser er proprosjonale betyr ikke nødvendigvis at det er en lineær sammenheng. Vi kan mer generelt ha at \(y\) er proprosjonal med \(x^b\) for en konstant \(b\).

Eksempel 2

Arealet \(A\) av et rektangel med sidelengde \(s\) er lik \(A(s) = s^2\). Dersom vi dobler verdien til \(s\), så får vi

\[ A(2s) = (2s)^2 = 2^2 s^2 = 4 \cdot s^2 = 4 \cdot A(s) \]

Altså blir arealet \(4\) ganger større når vi dobler sidelengden \(s\). I dette tilfellet sier vi at arealet \(A\) er proprosjonalt med \(s^2\) og skriver det \(A \propto s^2\).

---

Proporsjonalitet

Dersom en størrelse \(y\) er proporsjonal med \(x^b\) for en konstant \(b\), så betyr det at det finnes en proporsjonalitetskonstant \(a\) slik at

\[ y = a \cdot x^b \]

Vi sier da at \(y\) og \(x^b\) er proprosjonale størrelser og skriver det \(y \propto x^b\).

Potensfunksjoner

Konseptet om proporsjonalitet som vi har beskrevet over kan generaliseres til en funksjonsklasse vi kaller for potensfunksjoner.

Potensfunksjoner

En potensfunksjon \(f\) er en funksjon skrevet på formen

\[ f(x) = a \cdot x^b \]

der \(a\) og \(b\) er konstanter. Tallet \(a\) kaller vi for en proporsjonalitetskonstant.

---

Eksempel 1

Nedenfor vises noen eksempler på potensfunksjoner.

\[ f(x) = x^{3/2} \]

\[ g(x) = x^{1/2} \]

\[ h(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \]

\[ p(x) = x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} \]

---

Sammenheng mellom potensfunksjoner og røtter

Kvadratroten \(\sqrt{x}\) av et tall \(x\) er definert som det tallet som opphøyd i 2 gir \(x\):

\[ \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \]

Samtidig vil

\[ x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^{1/2 + 1/2} = x^1 = x \]

Altså må

\[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]

Mer generelt, kan vi definere \(n\)-te roten av \(x\) som det tallet vi må opphøye i \(n\) for å få \(x\):

\[ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x \]

Av samme årsak får vi derfor at

\[ \underbrace{x^{1/n} \cdot x^{1/n} \cdot \ldots \cdot x^{1/n}}_{n\, \mathrm{ganger}} = x^{n \cdot 1/n} = x^1 = x \]

Dermed må

\[ x^{1/n} = \sqrt[n]{x} \]

Sammenheng mellom potenser og \(n\)-røtter

\(n\)-te roten av \(x\) kan skrives som en potens av \(x\):

\[ \sqrt[n]{x} = x^{1/n} \]