CAS-kurs: Del 1

CAS-kurs: Del 1#

Dette CAS-kurset er oppdatert med en ny Pythonpakke kalt casify som forenkler bruk av CAS i Python vesentlig.

Læringsmål: CAS-kurs del 1

Etter dette delkapittelet, er målet at du skal:

  • Kunne løse lineære likninger med CAS.

  • Kunne løse lineære likningssystemer med CAS.

  • Kunne løse lineære ulikheter med CAS.

CAS er en forkortelse for Computer Algebra System. CAS består av en samling funksjoner som er utviklet for å løse matematiske problemer symbolsk (algebraisk) på datamaskin på liknende vis som vi gjør når vi regner for hånd. Kan et problem løses for hånd, kan det også løses med CAS.

Det finnes mange utgaver av CAS i det store Univers, så her skal du få velge sti selv. Du kan velge mellom å:

  • Lære CAS i Geogebra

  • Lære CAS i Python

Klikk på en av fanene under for å velge sti (du kan alltids bytte underveis!).

Hvis jeg er markert, vil du jobbe med CAS i Geogebra.

Hvis jeg er markert, vil du jobbe med CAS i Python.

Likninger med CAS#

Utforsk 1: likninger med CAS

Å løse likninger i CAS kan gjøres enten ved å bruke Løs-funksjoner (Solve på engelsk) eller ved å trykke på ../../../_images/mode_solve.svg-knappen.

Under vises et interaktivt CAS-vindu der en lineær likning er løst med de to måtene.

Hvilken likning er det som løses i vinduet?

Fasit

\[ 2x + 3 = -x - 3 \]

Bruk CAS-vinduet til å løse likningen

\[ 3x + 5 = -2x + 7 \]

Oppskrift:

  1. Skriv inn likningen i CAS-vinduet.

  2. Bruk Løs-funksjonen for å løse likningen.

Oppskrift:

  1. Skriv inn likningen i CAS-vinduet.

  2. Trykk på ../../../_images/mode_solve.svg-knappen for å løse likningen.

For å bruke CAS i Python til å løse likninger, må vi skrive denne kodelinjen på starten av programmet:

1from casify import *

Denne kodelinjen importerer casify-pakken og henter alle tilgjengelig funksjoner vi trenger.

Under vises tre eksempler på hvordan vi kan løse likninger med CAS i Python.

Underveisoppgave 1

Løs følgende likninger med CAS-vinduet under.

  • \(2x + 3 = 7\)

  • \(3x - 5 = 2x + 1\)

  • \(\dfrac{3}{2}x - 3 = 2x + 5\)

Bruk både Løs-funksjonen og ../../../_images/mode_solve.svg-knappen til å løse likningene.

Løsning

Legg merke til at vi kan skrive likningen direkte inn i Løs-funksjonen også (se celle 5).

Sjekk forståelsen din her!

Ta quizen!

Laster inn quiz...⏳

Bruk programmet under til å løse likningene.

\[ 3x + 1 = 0 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import *
2
3løsning = løs("3 * x + 1 = 0")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = -1/3

Løsning:

\[ x = -\dfrac{1}{3} \]
\[ -2x + 3 = 1 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import *
2
3løsning = løs("-2*x + 3 = 1")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 1

Løsning:

\[ x = 1 \]
\[ x + 2 = -4x + 5 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import *
2
3løsning = løs("x + 2 = -4*x + 5")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 3/5

Løsning:

\[ x = \dfrac{3}{5} \]

Likningssystemer med CAS#

Utforsk 2: likningssystemer med CAS

Vi kan også løse likningssystemer med både Løs-funksjonen og ../../../_images/mode_solve.svg-knappen i CAS.

Under vises et interaktivt CAS-vindu der et likningssystem er løst på to forskjellige måter.

Oppskrift:

  1. Skriv inn hver likning i hver sin celle.

  2. Bruk Løs-funksjonen for å løse likningssystemet.
    Legg merke til at likningene og variablene plasseres i hver sin liste {}.

Oppskrift:

  1. Skriv inn hver likning i hver sin celle.

  2. Marker likningene (dra musepekeren over cellenumrene - ikke bare trykk på cellene).

  3. Trykk på ../../../_images/mode_solve.svg-knappen for å løse likningssystemet.

Deloppgave 1

Hvilket likningssystem er løst i CAS-vinduet?
Kan du lese av løsningen som er funnet?

Deloppgave 2

Bruk CAS-vinduene til å løse likningssystemet

\[\begin{align*} 2x + y & = 5 \label{1a} \quad\quad\quad \tag{1a} \\ x - y & = 1 \label{1b} \quad\quad\quad \tag{1b} \end{align*}\]

Vi kan bruke løs-funksjonen til casify til å løse likningssystemer i Python også.

Under vises tre eksempler på hvordan vi kan løse likningssystemer med CAS i Python.

  1. Se på kodene og sjekk at du ser hvordan likningssystemene er skrevet inn i koden.

  2. Kjør koden og sjekk om utskriften stemmer.

\[ x + y = 2 \quad \land \quad x - y = 0 \]
\[ x + 3y = -7 \quad \land \quad 3x - 2y = 12 \]
\[ x + 2y = 5 \quad \land \quad 3x + y = -2 \]

Underveisoppgave 2

Løs følgende likningssystemer med CAS vinduet under:

\[\begin{align*} 3x + y & = 7 \\ x - y & = 1 \end{align*}\]
\[\begin{align*} x - 2y & = 7 \\ 2x + y & = 1 \end{align*}\]
\[\begin{align*} x + 2y & = 5 \\ 4x & = 6 - y \end{align*}\]
\[\begin{align*} 7x + 2y & = -1 \\ -x + 5y & = 25 \end{align*}\]

Løsning

Test forståelsen din her!

Ta quizen!

Laster inn quiz...⏳

Fyll inn programmene og løs likningssystemene.

\[ 3x + y = 7 \quad \land \quad x - y = 1 \]

Laster inn kodeeditor...⏳

Fasit

Programkode:

 1from sympy import *
 2from sympy.abc import x, y
 3
 4likning1 = Eq(3 * x + y, 7)
 5likning2 = Eq(x - y, 1)
 6likningssystem = [likning1, likning2]
 7
 8løsning = solve(likningssystem)
 9
10print(løsning)

Utskrift:

{x: 2, y: 1}

Løsning:

\[ x = 2 \quad \land \quad y = 1 \]
\[ x - 2y = 7 \quad \land \quad 2x + y = 1 \]

Fasit

Programkode:

 1from sympy import *
 2from sympy.abc import x, y
 3
 4likning1 = Eq(x - 2 * y, 7)
 5likning2 = Eq(2 * x + y, 1)
 6likningssystem = [likning1, likning2]
 7
 8løsning = solve(likningssystem)
 9
10print(løsning)

Utskrift:

{x: 9/5, y: -13/5}

Løsning:

\[ x = \dfrac{9}{5} \quad \land \quad y = -\dfrac{13}{5} \]
\[ x + 2y = 5 \quad \land \quad 4x = 6 - y \]

Fasit

Programkode:

 1from sympy import *
 2from sympy.abc import x, y
 3
 4likning1 = Eq(x + 2 * y, 5)
 5likning2 = Eq(4 * x, 6 - y)
 6likningssystem = [likning1, likning2]
 7
 8løsning = solve(likningssystem)
 9
10print(løsning)

Utskrift:

{x: 1, y: 2}

Løsning:

\[ x = 1 \quad \land \quad y = 2 \]

Ulikheter med CAS#

Utforsk 3

Under vises et interaktivt CAS-vindu der en lineær ulikhet er løst, både med Løs-funksjonen og ../../../_images/mode_solve.svg-knappen.

Deloppgave 1

Hvilken ulikhet er det som er løst?
Kan du lese av løsningen som er funnet?

Deloppgave 2

Bruk CAS-vinduene til å løse ulikheten \(3x + 5 \leq -2x + 7\).
Får du samme svar med begge metodene?
Tips: for å få symbolet \(\leq\) kan du skrive < etterfulgt av = i CAS-vinduet.

Vi kan også løse ulikheter ved å bruke løs-funksjonen i casify.

Under vises tre eksempler.

  1. Les og kjør koden.

  2. Bestem hvilken ulikhet programmet løser.

  3. Bestem løsningen til ulikheten ut ifra utskriften.

Fasit

\[ 2x - 4 > 0 \]

Fasit

\[ -2x + 3 < 0 \]

Fasit

\[ -\dfrac{x}{3} + 5 \geq -x + 7 \]

Underveisoppgave 3

Bruk CAS-vinduet under til å løse ulikhetene.

\[ 2x + 5 < 0 \]

Fasit

\[ x < -\dfrac{5}{2} \]
\[ 2x - 3 \geq -2 \]

Fasit

\[ x \geq \dfrac{1}{2} \]
\[ -3x + 2 \leq -x + 2 \]

Fasit

\[ x \geq 0 \]

Fyll inn programmene under og bestem løsningen av ulikhetene ved hjelp av programmene.

\[ 2x + 5 < 0 \]

Fasit

\[ x < -\dfrac{5}{2} \]
\[ 2x - 3 \geq -2 \]

Fasit

\[ x \geq \dfrac{1}{2} \]
\[ -3x + 2 \leq -x + 2 \]

Fasit

\[ x \geq 0 \]

Oppgaver#

Når du løser oppgavene under, skal du bruke desktopversjonen av GeoGebra. Den åpner du som følger:

  1. Trykk på Windows-knappen på tastaturet.

  2. Søk etter “Geogebra 6”

  3. Trykk på enter på tastaturet. ⏎

Når du løser oppgavene under, skal du bruke desktopversjonen av GeoGebra. Den åpner du som følger:

  1. Trykk på ⌘ og ␣ (mellomrom) på tastaturet samtidig.

  2. Søk etter “Geogebra 6”

  3. Trykk på enter på tastaturet. ⏎

Her kommer det en samling oppgaver der du får trent på å løse likninger, likningssystemer og ulikheter ved å bruke sympy.

Oppgave 1

Løs likningene ved hjelp av CAS.

\[ -3x + 2 = 0 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{2}{3} \]
\[ 4x + 2 = 5 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{3}{4} \]
\[ 5x + 8 = -2x + 3 \]

Fasit

\[ x = -\dfrac{5}{7} \]
\[ \dfrac{1}{2}x - 2 = 3x + 2 \]

Fasit

\[ x = -\dfrac{8}{5} \]

Fyll ut programmet under og løs likningene.

\[ -3x + 2 = 0 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("-3*x + 2 = 0") 
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 2/3

Løsning:

\[ x = \dfrac{2}{3} \]
\[ 4x + 2 = 5 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("4*x + 2 = 5")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 3/4

Løsning:

\[ x = \dfrac{3}{4} \]
\[ 5x + 8 = -2x + 3 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("5*x + 8 = -2*x + 3")
4
5print(løsning)

Utksrift:

x = -5/7

Løsning:

\[ x = -\dfrac{5}{7} \]
\[ \dfrac{1}{2}x - 2 = 3x + 2 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("x/2 - 2 = 3*x + 2")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = -8/5

Løsning:

\[ x = -\dfrac{8}{5} \]

Oppgave 2

Løs likningssystemene ved hjelp av CAS.

\[ 3x + y = 7 \quad \land \quad x - y = 1 \]

Fasit

\[ x = 2 \quad \land \quad y = 1 \]
\[ x - 2y = 7 \quad \land \quad x + y = 1 \]

Fasit

\[ x = 3 \quad \land \quad y = -2 \]
\[\begin{align*} x + 2y &= 5 \\ 4x &= 6 - y \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 1 \quad \land \quad y = 2 \]
\[ -2x + y = -1 \quad \land \quad 4x + 2y + 14 = 0 \]

Fasit

\[ x = -\dfrac{3}{2} \quad \land \quad y = -4 \]

Fyll inn programmene og løs likningsystemene.

\[ 3x + y = 7 \quad \land \quad x - y = 1 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("3*x + y = 7", "x - y = 1")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 2 ∧ y = 1

Løsning:

\[ x = 2 \quad \land \quad y = 1 \]
\[ x - 2y = 7 \quad \land \quad x + y = 1 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("x - 2*y = 7", "x + y = 1")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 3 ∧ y = -2

Løsning:

\[ x = 3 \quad \land \quad y = -2 \]
\[\begin{align*} x + 2y &= 5 \\ 4x &= 6 - y \end{align*}\]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("x + 2*y = 5", "4*x = 6 - y")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 1 ∧ y = 2

Løsning:

\[ x = 1 \quad \land \quad y = 2 \]
\[\begin{align*} -2x + y &= -1 \\ 4x + 2y + 14 &= 0 \end{align*}\]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("-2*x + y = -1", "4*x + 2*y + 14 = 0")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = -3/2 ∧ y = -4

Løsning:

\[ x = -\dfrac{3}{2} \quad \land \quad y = -4 \]

Oppgave 3

Løs ulikhetene med CAS.

\[ -2x + 3 \geq x - 5 \]

Fasit

\[ x \leq \dfrac{8}{3} \]
\[ 2x - 1 < x + 4 \]

Fasit

\[ x < 5 \]
\[ \dfrac{1}{2}x + 3 > x - 1 \]

Fasit

\[ x < 8 \]
\[ \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{2} \leq -\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} \]

Fasit

\[ x \leq -\dfrac{1}{5} \]

Løs ulikhetene ved hjelp av casify i kodevinduet.

\[ -2x + 3 \geq x - 5 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("-2*x + 3 >= x - 5") 
4
5print(løsning)

Utskrift:

x <= 8/3

Løsning:

\[ x \leq \dfrac{8}{3} \]
\[ 2x - 1 < x + 4 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("2*x - 1 < x + 4")
4
5print(løsning)

Utskrift:

 x < 5

Løsning:

\[ x < 5 \]
\[ \dfrac{1}{2}x + 3 > x - 1 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("x/2 + 3 > x - 1")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x < 8

Løsning:

\[ x < 8 \]
\[ \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{2} \leq -\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("x/3 + 1/2 <= -x/2 + 1/3")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x <= -1/5

Løsning:

\[ x \leq -\dfrac{1}{5} \]

Oppgave 4

Bruk CAS til å løse oppgavene under.

Løs likningen

\[ -3x + 2 = 4x - 9 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{11}{7} \]

Løs likningssystemet

\[\begin{align*} 2x + 3y &= -5 \\ -x + 2y &= 6 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = -4 \quad \land \quad y = 1 \]

Løs ulikheter

\[ -2x + 5 > -\dfrac{1}{4}x + 11 \]

Fasit

\[ x < -\dfrac{24}{7} \]

Løs likningssystemet

\[\begin{align*} x + y + z &= 6 \\ 2x - y + z &= 3 \\ 3x + y - z &= 4 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{7}{5} \quad \land \quad y = \dfrac{11}{5} \quad \land \quad z = \dfrac{12}{5} \]

⚠️ Her er det viktig at du prøver å skrive koden og ikke bare kopierer fra tidligere programmer. Du må få trent litt på å skrive koden selv så du blir rask og husker funksjonene bedre. Det står kommentarer i koden som hjelper deg på vei.

Skriv et program som løser likningen med sympy

\[ -3x + 2 = 4x - 9 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("-3*x + 2 = 4*x - 9")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 11/7

Løsning:

\[ x = \dfrac{11}{7} \]

Skriv et program som løser likningssystemet med sympy

\[\begin{align*} 2x + 3y &= -5 \\ -x + 2y &= 6 \end{align*}\]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("2*x + 3*y = -5", "-x + 2*y = 6")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = -4 ∧ y = 1

Løsning:

\[ x = -4 \quad \land \quad y = 1 \]

Skriv et program som løser ulikheten med sympy

\[ -2x + 5 > -\dfrac{1}{4}x + 11 \]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("-2*x + 5 > -x/4 + 11")
4
5print(løsning)

Utskrift:

 x < -24/7

Løsning:

\[ x < -\dfrac{24}{7} \]

Skriv et program som løser likningssystemet med sympy

\[\begin{align*} x + y + z &= 6 \\ 2x - y + z &= 3 \\ 3x + y - z &= 4 \end{align*}\]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("x + y + z = 6", "2*x - y + z = 3", "3*x + y - z = 4")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 7/5 ∧ y = 11/5 ∧ z = 12/5

Løsning:

\[ x = \dfrac{7}{5} \quad \land \quad y = \dfrac{11}{5} \quad \land \quad z = \dfrac{12}{5} \]

Oppgave 5

Løs likningssystemene ved hjelp av CAS.

\[\begin{align*} x + y - z &= 1 \\ x - y - z &= -1 \\ x + y + z &= 3 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 1 \quad \land \quad y = 1 \quad \land \quad z = 1 \]
\[\begin{align*} 2x + y - z &= 1 \\ x - y + z &= 2 \\ 3x + 2y + z &= 3 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 1 \quad \land \quad y = -\dfrac{1}{3} \quad \land \quad z = \dfrac{2}{3} \]
\[\begin{align*} a - b + c &= -11 \\ a + b + c &= 11 \\ 8a + 4b + 2c &= -4 \end{align*}\]

Fasit

\[ a = -8 \quad \land \quad b = 11 \quad \land \quad c = 8 \]
\[\begin{align*} r + 2s - t &= 1 \\ 2r - s + 3t &= 2 \\ 3r + 2s + 2t &= 3 \end{align*}\]

Fasit

\[ r = 1 \quad \land \quad s = 0 \quad \land \quad t = 0 \]

Skriv et program som bruker sympy til å løse likningssystemene.

⚠️ Viktig at du prøver å skrive programmet fra bunnen av og ikke kopierer fra tidligere programmer!

\[\begin{align*} x + y - z &= 1 \\ x - y - z &= -1 \\ x + y + z &= 3 \end{align*}\]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("x + y - z = 1", "x - y - z = -1", "x + y + z = 3")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 1 ∧ y = 1 ∧ z = 1

Løsning:

\[ x = 1 \quad \land \quad y = 1 \quad \land \quad z = 1 \]
\[\begin{align*} 2x + y - z &= 1 \\ x - y + z &= 2 \\ 3x + 2y + z &= 3 \end{align*}\]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("2*x + y - z = 1", "x - y + z = 2", "3*x + 2*y + z = 3")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x = 1 ∧ y = -1/3 ∧ z = 2/3

Løsning:

\[ x = 1 \quad \land \quad y = -\dfrac{1}{3} \quad \land \quad z = \dfrac{2}{3} \]
\[\begin{align*} a - b + c &= -11 \\ a + b + c &= 11 \\ 8a + 4b + 2c &= -4 \end{align*}\]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("a - b + c = -11", "a + b + c = 11", "8*a + 4*b + 2*c = -4")
4
5print(løsning)

Utskrift:

a = -8 ∧ b = 11 ∧ c = 8

Løsning:

\[ a = -8 \quad \land \quad b = 11 \quad \land \quad c = 8 \]
\[\begin{align*} r + 2s - t &= 1 \\ 2r - s + 3t &= 2 \\ 3r + 2s + 2t &= 3 \end{align*}\]

Fasit

Programkode:

1from casify import * 
2
3løsning = løs("r + 2*s - t = 1", "2*r - s + 3*t = 2", "3*r + 2*s + 2*t = 3")
4
5print(løsning)

Utskrift:

r = 1 ∧ s = 0 ∧ t = 0

Løsning:

\[ r = 1 \quad \land \quad s = 0 \quad \land \quad t = 0 \]
Innhold