CAS-kurs: Del 1#
Læringsmål
Kunne løse lineære likninger med CAS.
Kunne løse lineære likningssystemer med CAS.
Kunne løse lineære ulikheter med CAS.
CAS er en forkortelse for Computer Algebra System. CAS består av en samling funksjoner som er utviklet for å løse matematiske problemer symbolsk (algebraisk) på datamaskin på liknende vis som vi gjør når vi regner for hånd. Kan et problem løses for hånd, kan det også løses med CAS. Men CAS kan også løse problemer som ikke kan lar seg løses for hånd også!
Likninger#
For å løse likninger med CAS, skriver vi inn likningen først – deretter bruker vi én av to innebygde funksjoner:
Vi bruker
for å løse likningen
eksakt.
Vi bruker
for å løse likningen
numerisk.
Eksakt løsning#
Utforsk 1
I Fig. 1 nedenfor vises det hvordan man kan løse en likning eksakt med i CAS.
Fig. 1 viser hvordan vi løser en likning eksakt med CAS. Vi skriver inn likningen og trykker på for å løse den.#
Underveisoppgave 1
I denne oppgaven skal du bruke CAS-vinduet til å løse likninger. Klikk på det, så popper det opp et CAS-vindu kan flytte rundt og endre størrelse på.
Løs likningen
Løsning
Altså er løsningen av likningen
Løs likningen
Løsning
Altså er løsningen av likningen
Løs likningen
For å skrive \(x^2\) i CAS-vinduet kan du skrive
x^2eller
skriv
xetterfulgt av “alt” + “2” på tastaturet skriv
xetterfulgt av trykke på “option” + “2”
Løsning
Altså er løsningen av likningen
Numerisk løsning#
I tilfeller hvor vi regner på noe praktisk kan det være naturlig å bruke numerisk løsning med . I disse tilfellene vil det gjerne være beregninger der vi er ute at et omtrentlig tallsvar som vi kunne målt i praksis. Andre ganger finnes det ikke en eksakt løsning i det hele tatt, men det går likevel an å finne en numerisk løsning.
Utforsk 2
Nedenfor vises et CAS-vindu som løser en likning eksakt med og numerisk med .
Hvilken likning er det som er løst i CAS-vinduet?
Hva er den eksakte løsningen?
Hva er den numeriske løsningen?
Bruk CAS-vinduet til å løse likningen
Eksakt med
Numerisk med
Løsning
Underveisoppgave 2
Bruk CAS-vinduet til å løse likningene nedenfor. Løs de både eksakt med
Løs likningen
Løsning
Løs likningen
Løsning
Løs likningen
Løsning
Ulikheter#
For å løse ulikheter med CAS, bruker vi akkurat de samme funksjonene som vi bruker for å løse likninger. Forskjellen ligger i at vi må bruke ulikhetstegn i stedet for likhetstegn når vi skriver inn ulikhetene.
Eksakt løsning#
Utforsk 3
I Fig. 2 nedenfor viser vi hvordan vi løser en ulikhet eksakt med CAS. Fremgangsmåten er lik den for likninger hvor vi:
Skriver inn ulikheten
Trykket på
for å løse den.
Fig. 2 viser hvordan vi løser en ulikhet eksakt med CAS. Vi skriver inn ulikheter og så trykker vi på for å løse dem.#
Bruk CAS-vinduet til å løse ulikheten som løses i Fig. 2.
Bruk CAS-vinduet til å løse ulikheten
Underveisoppgave 3
Bruk CAS-vinduet til å løse ulikheten nedenfor.
Fasit
Fasit
For å få tegnet \(\geq\) i CAS, skriver vi
>etterfulgt av=.
Fasit
For å få tegnet \(\leq\) i CAS, skriver vi
<etterfulgt av=.
Fasit
Numerisk løsning#
Når vi løste likninger, kunne vi løse dem numerisk med . Det kan vi ikke gjøre med ulikheter.
Ønsker vi å finne en numerisk løsning av en ulikhet, må vi i stedet
Løse ulikheten eksakt med
Bruk
til å finne en numerisk verdi for løsningen fra punkt 1.
I Utforsk 4 ser vi på hvordan.
Utforsk 4
I Fig. 3 nedenfor viser vi hvordan man kan finne en numerisk løsning av en ulikhet med CAS. Det gjøres med følgende fremgangsmåte:
Løs ulikheten eksakt med
Bruk
for å finne en numerisk verdi for løsningen fra punkt 1.
Fig. 3 viser hvordan man løser en ulikhet numerisk med CAS. Først løser vi den eksakt med og deretter bruker vi for å finne en numerisk verdi for løsningen.#
Løs ulikheten i Fig. 3 eksakt og numerisk på tilsvarende måte i CAS-vinduet.
Løs ulikheten nedenfor eksakt og numerisk på tilsvarende måte i CAS-vinduet.
Underveisoppgave 4
Bruk CAS-vinduet til å bestemme en eksakt og numerisk løsning av ulikhetene nedenfor.
Likningssystemer#
Likningssystemer kan vi løse både eksakt med og numerisk med . I Utforsk 5 ser vi på hvordan vi kan gjøre dette.
Utforsk 5
I figuren nedenfor vises det hvordan vi løser et likningssystem med CAS.
Først markerer vi likningene i likningssystemet.
Så løser vi likningssystemet eksakt med
eller numerisk med .
Fig. 4 viser hvordan vi først markerer likningene (klikk-og-dra) og deretter trykker på eller for å løse likningssystemet.#
Bruk fremgangsmåten i figuren ovenfor til å løse likningssystemene nedenfor. Løs de både eksakt med og numerisk med .
Ja, det er samme likningssystem som i figuren ovenfor!
Fasit
Eksakt
Numerisk
Fasit
Siden løsningene er hele tall, så får vi det samme uansett om vi bruker eksakt eller numerisk løsning. Løsningen er
Underveisoppgave 5
Bruk CAS til å løse likningssystemene nedenfor. Løs de både eksakt med og numerisk med .