16. Polynomlikninger

Læringsmål

• Kunne bestemme nullpunktene til et tredjegradspolynom.

• Kunne løse tredjegradslikninger.

Først må vi utvide begrepsapparatet vårt litt:

Definisjon: Røtter

Et nullpunkt til en polynom kalles for en rot til polynomet. Samlingen av alle nullpunktene til et polynom kalles for røttene til polynomet.

Nullpunktene til et tredjegradspolynom

For å bestemme nullpunktene, eller røttene, til et tredjegradspolynom, får vi bruk for følgende fremgangmåte:

1. Liste opp alle mulige heltallsrøtter, og bestemme én rot \(r\).

2. Utføre polynomdivisjon med \((x - r)\) for å få et andregradspolynom.

3. Bestemme røttene til andregradspolynomet med \(abc\)-formelen eller faktorisering.

Tredjegradslikninger

Setning: heltallsrøtter for polynomer

Et tredjegradspolynom

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]

der koeffisientene er hele tall, vil alle heltallsrøttene til \(f(x)\) være en faktor i konstantleddet \(d\).

Setningen over lar oss systematisk finne alle mulige heltallsrøtter for et tredjegradspolynom. Polynomet må ikke ha heltallsrøtter, men hvis det har det, kan vi garantere at det må være i listen over alle tall som kan være en faktor i konstantleddet \(d\).

Eksempel 1

Et tredjegradspolynom \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8. \]

Bestem nullpunktene til \(f\).

Løsning

Vi starter med å observere at \(d = -8\), så hvis \(f\) har heltallsrøtter, så vil de være en faktor i \((-8)\). Dette gir mulighetene:

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \]

fordi \((-8)\) er delelig med alle disse tallene.

Vi prøver ut noen av verdiene i lista. Vi kan enten

1. Regne ut funksjonsverdier og utføre polynomdivisjon når vi finner en rot.

2. Bruke et Horner-skjema til å regne ut funksjonsverdier og utføre polynomdivisjon samtidig.

Vanlig polynomdivisjon

Vi starter med å lete etter en rot ved å regne ut \(f(x)\):

\[\begin{align*} f(1) &= 1^3 + 2\cdot 1^2 - 4\cdot 1 - 8 = -9, \\ \\ f(-1) &= (-1)^3 + 2\cdot (-1)^2 - 4\cdot (-1) - 8 = -3, \\ \\ f(2) &= 2^3 + 2\cdot 2^2 - 4\cdot 2 - 8 = 0. \end{align*}\]

Så vi finner at \(f(2) = 0\), som betyr at \((x - 2)\) er en faktor i \(f(x)\). Dermed har vi

Horner-skjema

Bruker vi et Horner-skjema, får vi utført polynomdivisjon samtidig som vi regner ut funksjonsverdiene:

Fig. 16.1 Horner-skjema for \(x = 1\). Her finner vi at \(f(1) = -9\).

Vi prøver videre.

Fig. 16.2 Horner-skjema for \(x = -1\). Her finner vi at \(f(-1) = -3\).

Vi prøver neste verdi:

Fig. 16.3 Horner-skjema for \(x = 2\). Her finner vi at \(f(2) = 0\).

Dermed vet vi at \(x = 2\) er en rot for \(f\). Vi kan også lese av koeffisientene til kvotienten i polynomdivisjon som

\[ f(x) : (x - 2) = x^2 + 4x + 4. \]

Vi kan derfor skrive \(f(x)\) som

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = (x - 2)(x^2 + 4x + 4). \]

Videre kan vi faktorisere andregradspolynomet med 1.kvadratsetning:

\[ (x^2 + 4x + 4) = (x + 2)^2, \]

som betyr at

\[ f(x) = (x - 2)(x + 2)^2. \]

Altså er røttene til \(f\)

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 2. \]

Vi kan også observere her at begge røttene var i listen over mulige kandidater for heltallsrøtter!

---

Underveisoppgave 1

Et tredjegradspolynom \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10. \]

a

Skriv ned alle mulige heltallsrøtter for \(f\).

Bestem en av røttene til \(f\) ved å prøve ut verdier fra lista.

Fasit

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \]

b

Bestem alle røttene til \(f\).

Fasit

\[ x = -5 \quad \lor \quad x = -2 \quad \lor \quad x = 1 \]