Polynomlikninger

22. Polynomlikninger#

Læringsmål

  • Kunne bestemme nullpunktene til et tredjegradspolynom.

  • Kunne løse tredjegradslikninger.

Først må vi utvide begrepsapparatet vårt litt:

Definisjon: Røtter

Et nullpunkt til en polynomfunksjon kalles for en rot til polynomet. Samlingen av alle nullpunktene til et polynom kalles for røttene til polynomet.

Nullpunktene til et tredjegradspolynom#

For å bestemme nullpunktene, eller røttene, til et tredjegradspolynom, får vi bruk for følgende fremgangmåte:

  1. Liste opp alle mulige heltallsrøtter, og bestemme én rot \(r\).

  2. Utføre polynomdivisjon med \((x - r)\) for å få et andregradspolynom.

  3. Bestemme røttene til andregradspolynomet med \(abc\)-formelen eller faktorisering.

Tredjegradslikninger#

Setning: Heltallsrøtter for polynomer

Et tredjegradspolynom

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]

der koeffisientene er hele tall, vil alle heltallsrøttene til \(f(x)\) være en faktor i konstantleddet \(d\).

Setningen over lar oss systematisk finne alle mulige heltallsrøtter for et tredjegradspolynom. Polynomet må ikke ha heltallsrøtter, men hvis det har det, kan vi garantere at det må være i listen over alle tall som kan være en faktor i konstantleddet \(d\).

Eksempel 1

Et tredjegradspolynom \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8. \]

Bestem nullpunktene til \(f\).

Løsning

Vi starter med å observere at \(d = -8\), så hvis \(f\) har heltallsrøtter, så vil de være en faktor i \((-8)\). Dette gir mulighetene:

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \]

fordi \((-8)\) er delelig med alle disse tallene.

Vi prøver ut noen av verdiene i lista. Vi kan enten

  1. Regne ut funksjonsverdier og utføre polynomdivisjon når vi finner en rot.

  2. Bruke et Horner-skjema til å regne ut funksjonsverdier og utføre polynomdivisjon samtidig.

Vi starter med å lete etter en rot ved å regne ut \(f(x)\):

\[\begin{align*} f(1) &= 1^3 + 2\cdot 1^2 - 4\cdot 1 - 8 = -9, \\ \\ f(-1) &= (-1)^3 + 2\cdot (-1)^2 - 4\cdot (-1) - 8 = -3, \\ \\ f(2) &= 2^3 + 2\cdot 2^2 - 4\cdot 2 - 8 = 0. \end{align*}\]

Så vi finner at \(f(2) = 0\), som betyr at \((x - 2)\) er en faktor i \(f(x)\). Dermed har vi

../../../_images/eksempel_1_polydiv.svg

Bruker vi et Horner-skjema, får vi utført polynomdivisjon samtidig som vi regner ut funksjonsverdiene:

../../../_images/eksempel_1_syntetisk_1.svg

Fig. 22.1 Horner-skjema for \(x = 1\). Her finner vi at \(f(1) = -9\).#

Vi prøver videre.

../../../_images/eksempel_1_syntetisk_-1.svg

Fig. 22.2 Horner-skjema for \(x = -1\). Her finner vi at \(f(-1) = -3\).#

Vi prøver neste verdi:

../../../_images/eksempel_1_syntetisk_2.svg

Fig. 22.3 Horner-skjema for \(x = 2\). Her finner vi at \(f(2) = 0\).#

Dermed vet vi at \(x = 2\) er en rot for \(f\). Vi kan også lese av koeffisientene til kvotienten i polynomdivisjon som

\[ f(x) : (x - 2) = x^2 + 4x + 4. \]

Vi kan derfor skrive \(f(x)\) som

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = (x - 2)(x^2 + 4x + 4). \]

Videre kan vi faktorisere andregradspolynomet med 1.kvadratsetning:

\[ (x^2 + 4x + 4) = (x + 2)^2, \]

som betyr at

\[ f(x) = (x - 2)(x + 2)^2. \]

Altså er røttene til \(f\)

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 2. \]

Vi kan også observere her at begge røttene var i listen over mulige kandidater for heltallsrøtter!

Underveisoppgave 1

Et tredjegradspolynom \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10. \]

Skriv ned alle mulige heltallsrøtter for \(f\).

Bestem en av røttene til \(f\) ved å prøve ut verdier fra lista.

Fasit

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \]

Bestem alle røttene til \(f\).

Fasit

\[ x = -5 \quad \lor \quad x = -2 \quad \lor \quad x = 1 \]

Vi kan utvide setningen vår til å fungere mer generelt for alle rasjonale røtter:

Setning: Rasjonale røtter for polynomer

For et tredjegradspolynom på formen

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]

så vil alle rasjonale røtter være på formen \(x = \dfrac{p}{q}\) der \(p\) er en faktor i konstantleddet \(d\) og \(q\) er en faktor i den ledende koeffisienten \(a\).

La oss se på et eksempel der vi bruker setningen ovenfor til å lage en liste over alle mulige rasjonale røtter før vi leter etter røttene.

Eksempel 2

En tredjegradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = 6x^3 - 7x^2 - 8x + 5. \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Løsning

Først lister vi opp alle mulige faktorer \(p\) i konstantleddet \(d = 5\). Dette vil være

\[ p \in \{\pm 1, \pm 5\} \]

Deretter lister vi opp alle mulige faktorer \(q\) i den ledende koeffisienten \(a = 6\). Dette vil være

\[ q \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\} \]

Alle mulige rasjonale løsninger \(x\) vil da være på formen \(x = \dfrac{p}{q}\), som gir oss mulighetene

\[ x \in \left\{\pm 1, \pm 5, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{5}{6}\right\} \]

Vi bruker et Horner-skjema for å finne én rot:

Det betyr at

\[ 6x^3 - 7x^2 - 8x + 5 = (x + 1)(6x^2 - 13x + 5). \]

Vi bruker så \(abc\)-formelen til å finne de resterende løsningene:

\[ x = \dfrac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5}}{2 \cdot 6} = \dfrac{13 \pm \sqrt{49}}{12} = \dfrac{13 \pm 7}{12} \]

som gir

\[ x = \dfrac{5}{3} \quad \lor \quad x = \dfrac{1}{2} \]

Dermed skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen når

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = \dfrac{1}{2} \quad \lor \quad x = \dfrac{5}{3} \]

Vi kan spesielt merke oss at alle røttene var i lista over mulige kandidater for rasjonale røtter!

Innhold