Oppgaver: Potensfunksjoner

Oppgaver: Potensfunksjoner#

Oppgave 1

a

I figuren nedenfor vises grafene til potensfunksjonene

\[ f(x) = x^2 \qog g(x) = x^{0.5} \qog h(x) = x^{-1} \]

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

Fasit

Graf A tilhører \(f\).
Graf B tilhører \(h\).
Graf C tilhører \(g\).

b

I figuren nedenfor vises grafene til potensfunksjonene

\[ f(x) = x^{-1} \quad\quad g(x) = 2\cdot x^{-1} \quad\quad h(x) = 4 \cdot x^{-2} \]

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

../../../_images/b21.svg — Fig. 30.2 viser grafene til tre funksjoner.#

Fasit

Graf A tilhører \(h\).
Graf B tilhører \(f\).
Graf C tilhører \(g\).

c

I figuren nedenfor vises grafene til tre funksjoner gitt ved

\[ f(x) = x^{1/3} \quad\quad g(x) = 2 x^{1/2} \quad\quad h(x) = 2 x^{2/3} \]

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

../../../_images/c21.svg — Fig. 30.3 viser grafene til tre funksjoner.#

Fasit

Graf A tilhører \(f\).
Graf B tilhører \(h\).
Graf C tilhører \(g\).

Oppgave 2

Perioden til en planet er tiden det tar for planeten å gjennomføre en full rundtur rundt solen.

Nedenfor vises en tabell over periodene til noen av planetene i solsystemet vårt og deres avstand til solen. Avstandene er gitt i astronomiske enheter (AU) der \(1 \text{ AU} = 149.6 \text{ millioner km}\) er avstanden fra jorden til solen.

Planet	Avstand (AU)	Periode (år)
Merkur	0.39	0.24
Venus	0.72	0.62
Mars	1.52	1.88
Jupiter	5.20	11.86
Saturn	9.58	29.46

a

Lag en modell på formen

\[ P(x) = a \cdot x^b \]

som viser sammenhengen mellom perioden \(P(x)\) i år og avstanden \(x\) i AU.

b

Hva er perioden til jorda, ifølge modellen din?

c

Neptun er den planeten som ligger lengst unna solen med en avstand på ca. \(30.33 \, \mathrm{AU}\).

Hvor lang tid bruker Neptun på én runde rundt solen, ifølge modellen din?

d

Pluto er en dvergplanet som bruker hele 247.94 år på én runde rundt solen.

Hvor langt unna solen er Pluto, ifølge modellen din?

e

Johannes Kepler var en astronom som levde rundt år 1600. Han oppdaget en lov som vi i dag kaller for Keplers 3.lov:

For perioden \(P\) og avstanden \(x\) til en planet, så er \(P^2\) proporsjonal med \(x^3\). Det betyr at det finnes en konstant \(k\) slik at \(P^2 = k \cdot x^3\).

Undersøk om modellen din samsvarer med Keplers 3.lov.

Oppgave 3

Tiden det tar for en pendel å svinge frem og tilbake én gang kalles for perioden til pendelen.

I tabellen nedenfor vises perioden til en pendel for ulike snorlengder.

Snorlengde (meter)	\(0.1\)	\(0.3\)	\(0.5\)	\(0.8\)	\(1.0\)	\(1.3\)	\(1.6\)	\(2.0\)
Periode (sekunder)	\(0.69\)	\(1.17\)	\(1.44\)	\(1.82\)	\(2.08\)	\(2.27\)	\(2.53\)	\(2.80\)

a

Lag en modell \(T\) på formen

\[ T(x) = a \cdot x^{b} \]

der \(T(x)\) er perioden i sekunder for en pendel med en snorlengde på \(x\) meter.

b

Hva er perioden til en pendel med en snorlengde på \(1.5\) meter, ifølge modellen din?

c

På Universitetet i Oslo, er en såkalt Foucaults pendel bygget for å demonstrere at jorden roterer. Pendelen sin periode er omtrent på \(7.5\) sekunder. Pendelen er ca. \(20\) cm over bakken på sitt laveste.

Hvor høyt er taket over bakken der pendelen henger?

d

Fra fysikken, er perioden \(T\) til en pendel med snorlengde \(L\) omtrentlig gitt ved formelen

\[ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} \]

der \(g = 9.82 \, \mathrm{m/s^2}\) (meter per sekund per sekund) er tyngdeakselerasjonen i Oslo.

Undersøk om modellen din samsvarer med denne formelen.

Oppgave 4

Når en kule blir sluppet fra forskjellige høyder, vil det ta lenger og lenger tid før kulen treffer bakken.

I tabellen nedenfor vises tiden det tar for en kule å treffe bakken når den slippes fra ulike høyder.

Høyde (meter)	\(0.5\)	\(1.0\)	\(1.5\)	\(2.0\)	\(2.5\)	\(3.0\)
Tid (sekunder)	\(0.32\)	\(0.47\)	\(0.58\)	\(0.63\)	\(0.72\)	\(0.82\)

a

Lag en modell \(T\) på formen

\[ T(x) = a \cdot x^{b} \]

der \(T(x)\) er tiden i sekunder det tar for en kule å treffe bakken når den slippes \(x\) meter over bakken.

b

Hvor lang tid tar det før en kule treffer bakken dersom den slippes fra \(10\) meter, ifølge modellen?

c

En kule ble sluppet fra en bro og traff bakken etter \(3\) sekunder.

Hvor høy var broen?

d

En modell fra fysikken forutsier at tiden \(t\) det tar for en kule å treffe bakken når den slippes fra en høyde \(h\) er gitt ved formelen

\[ t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} \]

der \(g = 9.82 \, \mathrm{m/s^2}\) (meter per sekund per sekund) er tyngdeakselerasjonen i Oslo.

Undersøk om modellen din samsvarer med denne formelen.

Oppgave 5

For å sende raketter til verdensrommet, så må rakettene minst oppnå en bestemt fart for å unnslippe jordens tyngdefelt. Vi kaller denne farten for unnslipningsfarten. Farten er avhengig både av hvor tung en planet er og hvor stor radius planeten har.

I tabellen nedenfor vises unnslipningsfarten for ulike planter i solsystemet vårt og hvor tunge planetene er i antall jordmasser. Det betyr at 1 jordmasse er like tung som jorden, 2 jordmasser er dobbelt så tungt som jorden, og 0.1 er \(10\%\) av jordens tyngde.

Masse (jordmasser)	0.06	0.815	1.0	0.1075	317.8
Unnslipningsfart (km/s)	4.26	10.38	11.20	5.04	60.32