Oppgaver: Datadrevet modellering

Oppgaver: Datadrevet modellering#

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt

Solgte bagetter	100	130	160	175	190	220	235
Overskudd (kroner)	1450	2300	3050	3365	3720	4140	4175

a

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved

\[ O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 \]

er en god modell for hvor stort overskuddet blir en i løpet av en uke når kantinen produserer og selger $x$ bagetter i løpet av uka.

b

Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke for at overskuddet skal bli størst mulig, ifølge modellen?

Hvor stort blir dette overskuddet?

Fasit

Ca. 284 bagetter. Da blir overskuddet ca. 4459.49 kr.

c

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(100, O(100))$ og $(200, O(200))$.

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

\[ \dfrac{O(200) - O(100)}{200 - 100} \approx 24.04 \]

Praktisk tolkning: Overskuddet øker i gjennomsnitt med ca. 24 kr for hver ekstra bagett som produseres og selges i løpet av en uke, når vi ser på intervallet mellom 100 og 200 bagetter.

d

Bestem den momentane vekstfarten når $x = 235$.

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

\[ O'(235) \approx 8.74 \]

Praktisk tolkning: Hvis kantina øker produksjonen og salget fra 235 til 236 bagetter i løpet av en uke, så vil overskuddet øke med ca. 8.74 kr, ifølge modellen.

Oppgave 2

Perioden til en planet er tiden det tar for planeten å gjennomføre en runde rundt solen.

Nedenfor vises en tabell over periodene til noen av planetene i solsystemet vårt og deres avstand til solen. Avstandene er gitt i astronomiske enheter (AU) der $1 \text{ AU} = 149.6$ millioner km er avstanden fra jorden til solen.

Planet	Avstand (AU)	Periode (År)
Merkur	0.39	0.24
Venus	0.72	0.62
Mars	1.52	1.88
Jupiter	5.20	11.86
Saturn	9.58	29.46

a

Lag en modell på formen

\[ P(x) = a \cdot x^b \]

som viser sammenhengen mellom perioden $P(x)$ i år og avstanden $x$ i AU.

Fasit

\[ P(x) = 0.99 \cdot x^{1.5} \]

b

Hva er perioden til jorda, ifølge modellen din?

Fasit

Jorda er $x = 1$ AU unna solen, så perioden til jorda ifølge modellen er

\[ P(1) = 0.99 \]

c

Neptun er den planeten som ligger lengst unna solen med en avstand på ca. $30.1 \, \mathrm{AU}$.

Hvor lang tid bruker Neptun på én runde rundt solen, ifølge modellen din?

Fasit

\[ P(30.1) \approx 163.49 \]

Alså bruker Neptun ca. 163.49 år på én runde rundt solen, ifølge modellen.

d

Pluto er en dvergplanet som bruker hele 247.94 år på én runde rundt solen.

Hvor langt unna solen er Pluto, ifølge modellen din?

Fasit

\[ x \approx 39.73 \]

Altså er Pluto ca. 39.73 AU unna solen, ifølge modellen.

e

Johannes Kepler var en astronom som levde rundt år 1600. Han oppdaget en lov som vi i dag kaller for Keplers 3.lov:

For perioden $P$ og avstanden $x$ til en planet, så er $P^2$ proporsjonal med $x^3$. Det betyr at det finnes en konstant $k$ slik at $P^2 = k \cdot x^3$.

Undersøk om modellen din stemmer med Keplers 3.lov.

Fasit

Modellen er $P(x) = 0.99 x^{1.5}$ som betyr at

\[ P(x)^2 = 0.99^2 \cdot \left(x^{1.5}\right)^2 = 0.99^2\cdot x^3 \]

Altså stemmer modellen godt overens med Keplers 3.lov.

Oppgave 3

Tabellen nedenfor viser antallet registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023 - oktober 2024.

Måned	Januar 2023	Mai 2023	Oktober 2023	Februar 2024	August 2024	Oktober 2024
Antall registrerte tilfeller	29	93	164	284	1035	1657

La $x$ være antall måneder etter desember 2022, det vil si at $x = 1$ tilsvarer januar 2023, $x = 3$ tilsvarer mars 2023, og så videre.

a

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $K$ gitt ved

\[ K(x) = 27.8 \cdot 1.2^x \]

er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023 - oktober 2024.

b

Bestem stigningstallet til den rette linjen som gjennom punktene $(4, K(4))$ og $(21, K(21))$.
Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Fasit

\[ \dfrac{K(21) - K(4)}{21 - 4} \approx 71.84 \]

Praktisk tolkning: Antallet registrerte tilfeller av kikhoste øker i gjennomsnitt med ca. 71.84 tilfeller per måned i perioden mellom februar 2024 og oktober 2024, ifølge modellen.

c

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?

Fasit

Mai 2025 tilsvarer $x = 29$, så ifølge modellen vil det bli registrert

\[ K(29) \approx 5499.22 \]

tilfeller av kikhoste i Norge i mai 2025. Altså ca. 5499 tilfeller.

Oppgave 4

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.

Anta at funksjonen $V$ gitt ved

\[ V(x) = 2000 - 2000\cdot \left(1 - \dfrac{x}{40}\right)^2 \, , \quad 0 \leq x \leq 40 \]

kan brukes som en modell for hvor mange liter vann $V(x)$ som er tappet ut av tanken $x$ minutter etter tappingen startet.

a

Bestem $V(0)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

\[ V(0) = 0 \]

Praktisk tolkning: Null liter med vann har blitt tappet fra tanken.

b

Bestem verdimengden til $V$.

Fasit

\[ [V(0), V(40)] = [0, 2000] \]

c

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

Fasit

\[ V(x) = \dfrac{1}{2} \cdot 2000 \liff x \approx 68.28 \]

Ca. 68 minutter.

d

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, V(0))$ og $(30, V(30))$. Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Fasit

\[ \dfrac{V(30) - V(0)}{30 - 0} \approx 62.5 \]

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt blir det tappet ut ca. 62.5 liter vann per minutt i perioden mellom 0 og 30 minutter, ifølge modellen.

e

Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Fasit

$V'(x) > 105$ har ingen løsning der $x \in [0, 40]$. Dermed tappes det aldri ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Oppgave 5

En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og laget en modell $F$ gitt ved

\[ F(x) = \dfrac{1}{1000}\cdot \left(0.027 x^3 - 5.8 x^2 + 220x + 7900\right), \quad x \in [0, 80] \]

for folketallet $F(x)$ tusen innbyggere i området $x$ år etter 1960.

a

Vis hvordan du på to ulike måter kan bestemme når folketallet var høyest ifølge modellen.

Fasit

Finne koordinatene til toppunktet på grafen til $F$ med .
Løse $F'(x) = 0$ for å finne toppunktet.

Toppunkt i $(22.5, 10.22)$. Folketallet er altså størst i år 1982, og da er det ca. 10.22 tusen innbyggere ifølge modellen.

b

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(30, F(30))$ og $(70, F(70))$.

Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Fasit

\[ \dfrac{F(70) - F(30)}{70 - 30} \approx -0.15 \]

Praktisk: tolkning: Folketallet avtar i gjennomsnitt med ca. 150 innbyggere per år i perioden mellom 1990 og 2030, ifølge modellen.

c

Når vil folketallet avta raskest ifølge modellen?

Fasit

Folketallet avtar mest når $F''(x) = 0$:

\[ F''(x) = 0 \liff x \approx 71.6 \]

Altså avtar folketallet raskest i år 2031, ifølge modellen.

Oppgave 6

Strømmen som holder vannet i et hagebasseng varmt, blir slått av.

Anta at funksjonen $T$ gitt ved

\[ T(x) = 3.5 + 34.5 \cdot 0.87^x, \quad x \geq 0 \]

kan brukes som en modell for temperaturen $T(x) \degree \mathrm{C}$ i vannet $x$ timer etter at strømmen er slått av.

a

Hva er temperaturen i vannet når strømmen blir slått av?

Fasit

\[ T(0) \approx 38 \]

Temperaturen er altså ca. $38 \degree \mathrm{C}$ når strømmen blir slått av.

b

Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i vannet er under $20\degree \mathrm{C}$?

Fasit

\[ T(x) < 20 \liff x > 5.3 \]

Altså vil temperaturen i bassenget være under $20 \degree \mathrm{C}$ etter ca. 5.3 timer.

c

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, T(0))$ og $(4, T(4))$.

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

\[ \dfrac{T(4) - T(0)}{4 - 0} \approx -3.68 \]

Praktisk tolkning: Temperaturen i vannet synker i gjennomsnitt med ca. $3.68 \degree \mathrm{C}$ per time i perioden mellom 0 og 4 timer, ifølge modellen.

d

Vil temperaturen i vannet noen gang synke med mer enn $5\degree\mathrm{C}$ i løpet av én time?

Fasit

\[ T'(x) = -5 \limplies x \approx -0.29 \]

Siden løsningen til $T'(x) = -5$ er negativ, så vil temperaturen i vannet aldri synke med mer enn $5 \degree \mathrm{C}$ i løpet av én time.

e

Gi en praktisk tolkning av tallet $3.5$ i modellen.

Fasit

Tallet $3.5$ er temperaturen til omgivelsene rundt bassenget. Når tiden blir veldig stor, så vil temperaturen nærme seg $3.5 \degree \mathrm{C}$, og det er fordi vannet i bassenget vil avkjøles til omgivelsestemperaturen etter hvert.

Oppgave 7

Lufttrykk måles ofte i hektopascal (hPa). Jo høyere over havet vi befinner oss, jo lavere er lufttrykket. Lufttrykket ved havets overflate er ca. 1000 hPa.

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn $100 \degree \mathrm{C}$. Se tabellen nedenfor.

Lufttrykk (hPa)	1000	500	200	80	40
Kokepunkt for vann ($\mathrm{^\circ C}$)	100	81.4	60.1	41.5	29

a

Bestem en modell $K$ på formen

\[ K(x) = a \cdot x^b \]

som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket $x$ hPa og kokepunktet $K(x) \, \degree \mathrm{C}$.

Fasit

\[ K(x) = 7.56 \cdot x^{0.38} \]

b

Nedenfor vises en samtale mellom to elever.

Ari

Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn $85 \, \degree\mathrm{C}$. Betyr det at det ikke går an å få egg hardkokte på et høyt fjell?

Lisa

Det kommer vel an på hvor høyt fjellet er?

Ari

Jeg vil lage en modell som viser hvor høyt lufttrykket er $x$ kilometer over havets overflate. Jeg har lært at lufttrykket minker med ca. $12 \, \%$ per km.

Lisa

Jeg har lært at lufttrykket halveres for hver $5.5$ km. Jeg vil ta utgangspunkt i dette og lage en modell på samme form som den du lager, Ari.

Lag modellen til Ari og Lisa.

Fasit

Ari sin modell:

\[ A(x) = 1000 \cdot 0.88^x \]

Lisa sin modell:

\[ L(x) = 1000 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5.5}} = 1000 \cdot 0.88^x \]

De to modellene gir altså det samme resultatet.

c

Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?

Fasit

Vi bruker Lisa sin modell (som er det samme som Ari sin modell) og løser $K(L(x)) = 85$:

\[ K(L(x)) = 85 \liff x \approx 4.22 \]

Ca. 4.22 km over havet.

Oppgave 8

Sofie og Malene dro på hyttetur, og da de ankom hytta, var temperaturen i stua $2.0 \degree \mathrm{C}$. De skrudde på varmen stilte termostaten på $20 \degree \mathrm{C}$.

Tabellen nedenfor viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temperatur ($\mathrm{^\circ C}$)	2.0	3.7	5.3	8.0	10.2	13.4	16.4	18.4

a

Lag en modell på formen

\[ T(x) = a \cdot b^x \]

som gir temperaturen $T(x)$ i grader Celsius i stua $x$ minutter etter at varmen er skrudd på.

Fasit

\[ T(x) = 4.18 \cdot 1.02^x \]

b

Anslå gyldighetsområdet til modellen $T$.

Fasit

Modellen kan aldri øke over $20\degree\mathrm{C}$. Dermed har vi at

\[ T(x) = 20 \liff x \approx 100.21 \]

Gyldighetsområdet til modellen er derfor omtrent $x \in [0, 100.21]$.

c

Sofie og Malene har fått en annen idé.

Sofie

Jeg tror kanskje det er bedre å velge en modell på formen $T(x) = a \cdot b^x + c$ siden temperaturen skal nærme seg $20 ^\circ \mathrm{C}$ etter hvert.

Malene

Men det får vi jo ikke laget med regresjon i Geogebra.

Sofie

Sant, men $T(x) - c = a \cdot b^x$ er jo en eksponentialfunksjon, og det kan vi jo lage med regresjon i Geogebra.

Malene

Ah, da kan vi jo bare trekke fra verdien til $c$ fra temperaturene i tabellen.

Sofie

Og så bare plusser vi på $c$ igjen på modellen vår etterpå. Det er jo smart!

Malene

Men hva er verdien til $c$? Hmm..

Ta utgangspunkt i diskusjonen til Sofie og Malene og lag en modell på formen

\[ T(x) = a \cdot b^x + c \]

Fasit

\[ T(x) = -18.1 \cdot 0.98^x + 20 \]

Oppgave 9

En sylinder med et hull i bunnen vil tappe ut vann når hullet er åpent.

Den horisontale avstanden vannstrålen beveger seg $S$ meter når vannstanden er $x$ meter over bunnen av sylinderen. I tabellen nedenfor vises et datamateriale for dette.

$x$ (meter)	$8$	$6$	$5$	$3$	$2$
$S$ (meter)	$5.66$	$4.90$	$4.47$	$3.46$	$2.83$

a

Lag en modell på formen

\[ S(x) = a \cdot x^b \]

som viser hvor mange meter $S(x)$ vannstrålen beveger seg horisontalt når vannstanden er $x$ meter over bunnen av sylinderen.

Fasit

\[ S(x) = 1.99 \cdot x^{0.5} \]

b

Etter at hullet ble åpnet, varierte høyden til vannstanden med tiden slik at den kan beskrives av en modell på formen

\[ h(t) = k\cdot(t - r)^2 \]

Når hullet i bunnen ble åpnet var vannstanden $10$ meter over bunnen. Tanken ble halvfull etter $7$ sekunder.

Bestem $k$ og $r$. Gi en praktisk tolkning av konstanten $r$.

Fasit

\[ k \approx 0.02 \and r \approx 23.9 \]

Verdien til $r$ er tiden det tar før tanken er tom, ifølge modellen. Altså vil tanken være tom etter ca. 23.9 sekunder.

c

Hvor lang tid tar det før lengden av strålen og høyden på vannstanden er like?

Fasit

\[ S(h(t)) = h(t) \limplies t \approx 9.83 \]

Altså tar det ca. 9.83 sekunder før høyden og vannstrålen er like lange.