Oppgaver: Arealsetningen

Oppgaver: Arealsetningen#

Oppgave 1

a

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ T = \dfrac{3}{2}. \]

Løsning

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin(30\degree) = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}. \]

b

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ T = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}. \]

Løsning

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin(45\degree) = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}. \]

c

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ T = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}. \]

Løsning

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin (60\degree) = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}. \]

Oppgave 2

I figuren til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

a

Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne \(A\).

Løsning

b

Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne \(B\).

Løsning

c

Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne \(C\).

Løsning

Oppgave 3

a

I en trekant \(\triangle ABC\) er \(AB = 8\), \(AC = 6\) og \(\angle A = 30\degree\).

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ 12 \]

Løsning

\[ T = \dfrac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(30\degree) = 12. \]

b

I en trekant \(\triangle ABC\) er \(AB = 5\), \(BC = 7\) og \(\angle B = 45\degree\).

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ \dfrac{35\sqrt{2}}{4} \]

Løsning

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin(45\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &= \dfrac{35\sqrt{2}}{4}. \end{align*} \end{split}\]

c

I en trekant \(\triangle ABC\) er \(BC = 10\) og \(AC = 8\) og \(\angle C = 120\degree\).

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ 20 \sqrt{3} \]

Løsning

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin(\angle C) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= 20 \sqrt{3}. \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 4

I figuren til høyre vises en firkant \(ABCD\).

Bestem arealet av firkanten.

Fasit

\[ T = 18 + \dfrac{9 \sqrt{3}}{2} \]

Løsning

Vi regner ut arealet av \(\triangle ABD\) først:

\[\begin{split} \begin{align*} T_{\triangle ABD} &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 150\degree \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} \\ \\ &= 9. \end{align*} \end{split}\]

Sidelengden \(BC\) vil være det samme som høyden i \(\triangle ABD\). Derfor har vi at

\[ BC = 6 \cdot \sin(150\degree) = 3. \]

Sidelengden \(CD\) vil være

\[ CD = 6 + 6 \cdot \cos(180\degree - 150\degree) = 6 + 6 \cdot \cos(30\degree) = 6 + 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6 + 3\sqrt{3}. \]

Arealet av \(\triangle BCD\) vil være

\[\begin{split} \begin{align*} T_{\triangle BCD} &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot (6 + 3\sqrt{3}) \\ \\ &= \dfrac{18 + 9 \sqrt{3}}{2} \end{align*} \end{split}\]

Det samlede arealet av firkanten er da

\[\begin{split} \begin{align*} T_{ABCD} &= T_{\triangle ABD} + T_{\triangle BCD} \\ \\ &= 9 + \dfrac{18 + 9 \sqrt{3}}{2} \\ \\ &= 9 + 9 + \dfrac{9 \sqrt{3}}{2} \\ \\ &= 18 + \dfrac{9 \sqrt{3}}{2}. \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 5

I figuren til høyre vises en skisse av en boligtomt.

Bestem arealet av tomten.

Fasit

\[ \dfrac{175 + 75\sqrt{3}}{2}~\mathrm{m^2} \]

Løsning

Vi trekker en diagonal \(BD\) slik at vi deler opp firkanten i to trekanter \(\triangle ABD\) og \(\triangle BCD\).

Trekanten \(\triangle ABD\) er en rettvinklet og likebeint trekant. Fra det kan vi hente ut at

De andre vinklene i trekanten er \(45 \degree\). Altså er \(\angle ABD = \angle BDA = 45\degree\).
Arealet blir bare \(\dfrac{1}{2} AB \cdot AD\).

Altså har vi at

\[ T_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50. \]

La oss nå fokusere på trekanten \(\triangle BCD\). Vi vet at

\[ \angle B = \angle ABD + \angle DBC \]

Vi trenger \(\angle DBC\) som vi kan finne ved å sette inn de andre kjente vinklene:

\[ 120 \degree = 45\degree + \angle DBC \liff \angle DBC = 75\degree. \]

Videre kan vi finne \(BD\) ved hjelp av Pytagoras’ setning:

\[ BD^2 = 10^2 + 10^2 = 200 \liff BD = 10 \sqrt{2}. \]

Nå kan vi bruke arealsetningen for å finne arealet av \(\triangle BCD\):

Altså kan vi skrive arealet til \(\triangle BCD\) som

\[ T_{\triangle BCD} = -\dfrac{1}{2}\left(-75\sqrt{3} - 75\right) = \dfrac{75\sqrt{3} + 75}{2}. \]

Det samlede arealet av tomten er da

\[\begin{split} \begin{align*} T_{ABCD} &= T_{\triangle ABD} + T_{\triangle BCD} \\ \\ &= 50 + \dfrac{75\sqrt{3} + 75}{2} \\ \\ &= \dfrac{100 + 75\sqrt{3} + 75}{2} \\ \\ &= \dfrac{175 + 75\sqrt{3}}{2} \end{align*} \end{split}\]

der arealet er i \(\mathrm{m^2}\) siden alle lengdene i figuren er i meter.

Oppgave 6

Nedenfor vises en sirkel med radius \(2\). Punktet \(S\) er sentrum i sirkelen. Trekanten \(\triangle CAB\) er bygget opp av to mindre trekanter \(\triangle SAB\) og \(\triangle SBC\).

a

Bestem arealet av \(\triangle SAB\).

Fasit

\[ T_{\triangle SAB} = \sqrt{3} \]

Løsning

Siden radius i sirkelen er \(2\), så vet vi at

\[ SA = SB = 2 \]

Da blir arealet av \(\triangle SAB\):

\[\begin{split} \begin{align*} T_{\triangle SAB} &= \dfrac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= \sqrt{3}. \end{align*} \end{split}\]

b

Bestem arealet av \(\triangle CAB\).

Fasit

\[ T_{\triangle CAB} = 2\sqrt{3} \]

Løsning

Trekant \(\triangle CAB\) er samme høyde som \(\triangle SAB\), men dobbelt så stor grunnlinje siden \(CA = 2 \cdot SA\). Derfor vil arealet av trekanten være

\[ T_{\triangle CAB} = 2 \cdot T_{\triangle SAB} = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}. \]

Oppgave 7

I figuren nedenfor vises en firkant \(ABCD\). I firkanten er \(\angle C = 150\degree\).

a

Bestem en eksakt verdi for \(CD\).

Fasit

\[ CD = \sqrt{3} \cdot a \]

Løsning

Vi bruker Pytagoras’ setning på trekant \(\triangle ACD\):

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

\[ (2a)^2 = a^2 + CD^2 \]

\[ 4a^2 = a^2 + CD^2 \]

\[ CD^2 = 3a^2 \]

\[ CD = \sqrt{3} \cdot a. \]

b

Bestem en eksakt verdi for arealet av firkanten.

Fasit

\[ \dfrac{\sqrt{3} + 3}{2} \cdot a^2 \]

Løsning

Vi kan regne ut arealet av \(\triangle ACD\) direkte siden vi kan tenke på \(AD\) som grunnlinje og \(CD\) som høyde:

\[ T_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3} \cdot a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2. \]

Så snur vi oss til trekant \(\triangle ABC\). Vinkelen i hjørne \(C\) er \(\angle C = 150\degree\). Siden trekant \(\triangle ACD\) er en rettvinklet trekant der den korteste kateten er halvparten av hypotenusen, så følger det at

\[ \angle ACD = 30 \degree \]

Så da kan vi bestemme \(\angle BCA\) i trekant \(\triangle ABC\) ved å bruke at

\[ \angle C = \angle ACD + \angle BCA \]

\[ 150 \degree = 30 \degree + \angle BCA \liff \angle BCA = 120\degree. \]

Nå har har vi nok informasjon til å bestemme arealet av \(\triangle ABC\):

\[\begin{split} \begin{align*} T_{\triangle ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCA) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= \dfrac{3}{2} \cdot a^2. \end{align*} \end{split}\]

Det samlede arealet av firkanten er da

\[\begin{split} \begin{align*} T_{ABCD} &= T_{\triangle ACD} + T_{\triangle ABC} \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 + \dfrac{3}{2} \cdot a^2 \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{3} + 3}{2} \cdot a^2. \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 8

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(2\). En sekskant der alle sidene er like lange er innskrevet i sirkelen.

a

Bestem vinkelen \(v\).

Fasit

\[ v = 60 \degree. \]

Løsning

Vinkelen \(v\) er én av de 6 like store sentralvinklene i sirkelen. De seks vinklene må samme summeres til \(360\degree\) siden dette er antall grader i en sirkel. Dermed har vi:

\[ 6v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{6} = 60\degree. \]

b

Bestem en eksakt verdi for arealet til sekskanten.

Fasit

\[ T = 6 \sqrt{3}. \]

Løsning

Arealet av én trekant \(T_1\) i sekskanten kan vi finne ved arealsetningen. Vi vet at sidelengdene som spenner ut vinkelen \(v\) er like radius i sirkelen som er lik \(2\). Dermed får vi:

\[ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60\degree = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. \]

Sekskanten består av 6 slike trekanter, så arealet av sekskanten blir

\[ T = 6 \cdot T_1 = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}. \]

Oppgave 9

En 12-kant der alle sidene er like lange er innskrevet i en sirkel.

Arealet av 12-kanten er \(120\).

a

Bestem vinkelen \(v\).

Fasit

\[ v = 30 \degree. \]

Løsning

Vinkelen \(v\) er én av de 12 like store sentralvinklene i sirkelen. De tolv vinklene må samme summeres til \(360\degree\) siden dette er antall grader i en sirkel. Dermed har vi:

\[ 12v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{12} = 30\degree. \]

b

Bestem en eksakt verdi for diameteren til sirkelen.

Fasit

\[ 4 \cdot \sqrt{10} \]

Løsning

Vi vet at arealet av \(12\)-kanten er \(120\). Da vil én av de tolv trekantene har arealet

\[ T_1 = \dfrac{120}{12} = 10. \]

Videre vil arealsetningen gi oss at

\[ T_1 = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \sin(30\degree) = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{r^2}{4} \]

der \(r\) er radius i sirkelen. Vi setter de to uttrykkene lik hverandre som gir likningen

\[ \dfrac{r^2}{4} = 10 \liff r^2 = 40 \liff r = 2 \cdot \sqrt{10}. \]

Diameteren \(d\) i sirkelen er det dobbelte av radius, så vi har at

\[ d = 2r = 4 \cdot \sqrt{10}. \]

Oppgave 10

3.00 108.00

                N = 3.00
            

En regulær \(N\)-kant innskrevet i en sirkel med radius \(1\) er vist i figuren til høyre, der du kan endre på verdien til \(N\).

a

Bestem en funksjon \(T(N)\) for arealet til en slik \(N\)-kant.

Fasit

\[ T(N) = \dfrac{N}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). \]

Løsning

Sentralvinkelen \(v\) utgjør én av \(N\) like stor vinkler i sirkelen som tilsammen må summeres til \(360\degree\). Dermed har vi at

\[ N\cdot v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{N}. \]

Arealet \(T_1\) av én enkelt trekant vil da være

\[ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). \]

Vi har \(N\) slike trekanter i \(N\)-kanten får vi

\[ T(N) = N \cdot T_1 = N \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right) = \dfrac{N}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). \]

b

Arkimedes levde ca. 250 år før vår tidsregning. Han beregnet arealet av innskrevet \(108\)-kant.

Bestem arealet Arkimedes fant.

Fasit

\[ T(108) \approx 3.13982 \]

Løsning

som gir oss en grei tilnærming til \(\pi\).

Oppgave 11

a

Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 3 \sqrt{2}\), \(AC = 8\) og \(\angle A = 45\degree\).

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ T_{\triangle ABC} = 12. \]

Løsning

Arealet av trekanten er

\[\begin{split} \begin{align*} T_{\triangle ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin(45\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &= 12. \end{align*} \end{split}\]

b

Gitt en trekant PQR der \(PQ = 3 \sqrt{2}\), \(PR = 8\) og \(\angle P = 140\degree\).

Avgjør hvilke av trekantene \(ABC\) og \(PQR\) som har størst areal.

Fasit

Trekant \(ABC\) har størst areal.

Løsning

Arealet av trekant \(PQR\) vil være gitt ved

\[ T_{\triangle PQR} = \dfrac{1}{2} PQ \cdot PR \cdot \sin \angle P \]

Siden \(PQ = AB\) og \(PR = AC\), så kan vi skrive arealet av trekant \(PQR\) som

\[ T_{\triangle PQR} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle P \]

Det som bestemme hvilken trekant som har størst areal, vil være sinusverdien. Vi har at

\[ \sin 140\degree = \sin (180\degree - 140\degree) = \sin 40\degree < \sin 45\degree. \]

Altså må trekant \(ABC\) ha størst areal.