Oppgaver: Blandede oppgaver

Oppgave 1

I Fig. 22.7 vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\). En horisontal og en vertikal asymptote for \(f\) er tegnet inn.

Fig. 22.7 viser grafen til en rasjonal funksjon \(f\). En horisontal og en vertikal asymptote for \(f\) er tegnet inn.

a

Bestem et mulig uttrykk for \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{-2x + 6}{x + 1} \]

b

Løs ulikheten \(f(x) < 0\).

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-1, 3] \]

c

Løs ulikheten \(f(x) \geq 2\).

Fasit

\[ x \in \langle -1, 1] \]

---

Oppgave 2

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{-x + 2}{x - 1} \]

a

Løs likningen \(f(x) = 0\).

Fasit

\[ x = 2. \]

b

Avgjør om \(f\) har en vertikal asymptote, og bestem likningen til asymptoten hvis den finnes.

Fasit

\[ x = 1. \]

c

Avgjør om \(f\) har en horisontal asymptote og bestem likningen til asymptoten hvis den finnes.

Fasit

\[ y = -1. \]

d

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Fasit

---

Oppgave 3

I Fig. 22.8 vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\). En horisontal og en vertikal asymptote for \(f\) er tegnet inn.

Fig. 22.8 viser grafen til en rasjonal funksjon \(f\). En horisontal og en vertikal asymptote for \(f\) er tegnet inn.

a

Bestem et mulig uttrykk for \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{3x + 3}{x - 2} \]

b

Bestem definisjonsmengden til \(f\).

Fasit

\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \]

c

Løs \(f(x) > 0\).

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-1, 2]. \]

d

Løs \(f(x) \leq 2\).

Fasit

\[ x \in [-7, 2\rangle . \]

---

Oppgave 4

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2x - 1}{3x + 4} \]

a

Avgjør om \(f\) har nullpunkter og bestem nullpunktene hvis de finnes.

Fasit

\[ x = \dfrac{1}{2} \]

b

Avgjør om \(f\) har vertikale asymptoter og bestem likningene til asymptotene hvis de finnes.

Fasit

\[ x = -\dfrac{4}{3} \]

c

Avgjør om \(f\) har horisontale asymptoter og bestem likningene til asymptotene hvis de finnes.

Fasit

\[ y = \dfrac{2}{3} \]

d

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Fasit

---

Oppgave 5

To rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x + 2}{(x - 3)^2} \quad \text{og} \quad g(x) = \dfrac{(x + 2)^2}{x - 3} \]

Nedenfor vises fire grafer der én av dem er grafen til \(f\) og én av dem er grafen til \(g\).

a

Avgjør hvilken figur som viser grafen til \(f\).

Fasit

Graf A.

b

Avgjør hvilken figur som viser grafen til \(g\).

Fasit

Graf C.

---

Oppgave 6

Nedenfor vises 4 figurer der 3 av grafene hører til de rasjonale funksjonene

\[ f(x) = \dfrac{x^2 + 4x - 5}{x^2 - 9} \quad\quad g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 9} \quad\quad h(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 1} \]

Avgjør hvilke figurer som viser grafene til \(f\), \(g\) og \(h\).

Fasit

• Graf C hører til \(f\)

• Graf B hører til \(g\)

• Graf A hører til \(h\)

---

Oppgave 7

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x + 2)(x - 4)} \]

a

Bestem nullpunktene til \(f\), dersom de finnes.

Fasit

\[ x = 2. \]

b

Bestem likningene til de vertikale asymptotene til \(f\), dersom de finnes.

Fasit

\[ x = 4. \]

c

Bestem likningen til \(f\) sin skrå eller horisontale asymptote, dersom den finnes.

Fasit

\[ y = 1. \]

d

Løs ulikheten \(f(x) > 0\)

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 2 \rangle \cup \langle 4, \to \rangle \setminus \{-2\} \]

e

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Fasit

---

Oppgave 8

En rasjonal funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x - 2} \]

a

Bestem nullpunktene til \(g\), dersom de finnes.

Fasit

\[ x = -3. \]

b

Bestem likningene til \(g\) sine vertikale asymptoter, dersom de finnes.

Fasit

\[ x = 2. \]

c

Bestem likningen til en eventuell skrå eller horisontal asymptote til \(g\).

Fasit

\[ y = x + 8. \]

d

Løs ulikheten \(g(x) < 0\).

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 2 \rangle \setminus \{-3\} \]

e

Lag en skisse av grafen til \(g\).

Fasit

---

Oppgave 9

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^3 - 4x}{(x + 2)(x - 1)} \]

a

Bestem nullpunktene til \(f\), dersom de finnes.

Fasit

\[ x = 0 \or x = 2. \]

b

Bestem likningene til \(f\) sine vertikale asymptoter, dersom de finnes.

Fasit

\[ x = 1. \]

c

Bestem likningen til en eventuell skrå eller horisontal asymptote til \(f\).

Fasit

\[ y = x - 1. \]

d

Løs ulikheten \(f(x) \geq 0\).

Fasit

\[ x \in [0, 1 \rangle \cup [2, \to \rangle \]

e

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Fasit