17. Den deriverte

Læringsmål

• Kunne bruke polynomdivisjon til å bestemme likningen for en tangent.

• Kunne derivere polynomfunksjoner algebraisk.

• Kunne bestemme ekstremalpunktene til en polynomfunksjon ved hjelp av den deriverte.

Polynomdivisjon og tangenter

Vi har allerede sett at resten i polynomdivisjon med \(f(x) : (x - r)\) lar oss bestemme \(f(r)\). Her skal vi gå et steg videre å se at resten i en bestem polynomdivisjon kan brukes til å bestemme likningen til en tangent til grafen til polynomfunksjonen.

Utforsk 1

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 4x + 5. \]

a

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i \((1, f(1))\) ved å bruke at \(f'(x) = 2ax + b\) for en andregradsfunksjon.

Fasit

\[ y = -2x + 4 \]

b

Regn ut

\[ f(x) : (x - 1)^2 \]

Sammenlikn resten med likningen for tangenten du fant i a.

Husk å utvide \((x - 1)^2\) før du gjør polynomdivisjonen.

Fasit

---

Setning: Resten i polynomdivisjon \(f(x) : (x - r)^2\)

Gitt et polynom \(f(x)\), vil resten i polynomdivisjonen \(f(x) : (x - r)^2\) være det algebraiske uttrykket til tangenten som går gjennom punktet \((r, f(r))\) på grafen til \(f\).

Før vi går videre, bør du prøve å anvende setningen.

Underveisoppgave 1

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12. \]

a

Regn ut

\[ f(x) : (x - 2)^2 \]

Fasit

b

Bruk resultatet ditt fra a til å bestemme likningen for tangenten til grafen til \(f\) i \((2, f(2))\).

Fasit

Fra oppgave a har vi at resten er gitt ved

\[ y = -4x + 8, \]

som er tangenten til grafen til \(f\) i \((2, f(2))\).

---

Den deriverte til en polynomfunksjon

Når vi fant den deriverte \(f'\) til en andregradsfunksjon \(f\), så fant vi at den deriverte var en lineær funksjon. Sagt på en annen måte: vi får et førstegradspolynom \(f'(x)\) når vi finner den deriverte av et andregradspolynom \(f(x)\). Dette var ikke bare et sammentreff – generelt sett vil \(f'(x)\) være et polynom som har én grad lavere for et hvert polynom \(f(x)\).

Den deriverte til en polynomfunksjon 1

Gitt et polynom \(f(x)\) av grad \(n\), vil den deriverte av polynomet \(f'(x)\) være et polynom av grad \(n - 1\).

I praksis kan vi finne den deriverte algebraisk ved å følge noen bestemte regneregler som gjelder for alle polynomer.

Derivasjonsregler for polynomer

Regel 1

For ethvert ledd \(a x^n\) i et polynom \(f(x)\), vil den deriverte av leddet være

\[ (a x^n)' = n\cdot a x^{n-1} \]

Regel 2

Hvert ledd i et polynom deriveres hver for seg:

\[ (ax^n + bx^m)' = (ax^n)' + (bx^m)' \]

Regel 3

Den deriverte av en konstant er null:

\[ C' = 0 \]

Regel 4

Den deriverte av et lineært ledd \(ax\) er

\[ (ax)' = a \]

---

Eksempel 1

Bestem den deriverte til

\[ f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 6x - 2 \]

Løsning

\[\begin{align*} f'(x) &= (2x^3 - 4x^2 + 6x - 2)' \\ \\ &= 2\cdot (x^3)' - 4\cdot (x^2)' + 6\cdot x' - 2' \\ \\ &= 2 \cdot 3\cdot x^2 - 4\cdot 2 \cdot x^1 + 6 \cdot 1 \cdot x^0 - 0 \\ \\ &= 6x^2 - 8x + 6 \end{align*}\]

---

Underveisoppgave 1

Bestem den deriverte til

\[ f(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 1 \]

Fasit

\[ f'(x) = 4x^3 - 6x + 5 \]

Sammenheng mellom \(f(x)\) og \(f'(x)\)

En viktig sammenheng mellom \(f(x)\) og \(f'(x)\) er at \(f'(x)\) gir oss stigningstallet til tangenter til grafen til \(f\). Spesielt vil vi kunne lese av fra \(f'(x)\) hvor

• Grafen til \(f\) er stigende eller synkende

• Grafen til \(f\) har topp- eller bunnpunkter

Sammenheng mellom \(f(x)\) og \(f'(x)\)

La \(f\) være en polynomfunksjon. Da vil følgende sammenhenger mellom grafene til \(f\) og \(f'\) gjelde:

• Punkter hvor grafen til \(f'\) skjærer \(x\)-aksen svarer til punkter på grafen til \(f\) hvor tangenter har stigningstall \(0\).

• Punkter hvor \(f'(x) = 0\), svarer til punkter på grafen til \(f\) hvor tangenter har stigningstall \(0\).

• Grafen til \(f\) stiger når \(f'(x) > 0\).

• Grafen til \(f\) synker når \(f'(x) < 0\).

Ut ifra sammenhengen over, vil det i mange tilfeller være slik at punkter hvor grafen til \(f'\) skjærer \(x\)-aksen, så har grafen til \(f\) et ekstremalpunkt.

Eksempel 2

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 17.1.

Fig. 17.1 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\)

For å forstå hvordan grafen til \(f'\) henger sammen med grafen til \(f\) kan vi

1. Tegne en fortegnslinje for \(f'(x)\).

2. Tegne grafen til \(f'\) ved å bruke fortegnslinjen og passe på at nullpunktene til \(f'\) svarer til ekstremalpunktene til \(f\).

Fortegnslinje til \(f'(x)\)

Fig. 17.2 viser fortegnslinja til \(f'(x)\). Sammenhengen med grafen til \(f\) er at \(f'(x) > 0\) når grafen til \(f\) stiger og \(f'(x) < 0\) når grafen til \(f\) synker. I ekstremalpunktene til \(f\) er \(f'(x) = 0\) fordi en tangent gjennom punktet vil være horisontal og dermed ha stigningstall \(0\).

Grafen til \(f'\)

Fig. 17.3 viser grafen til \(f'\). Nullpunktene til \(f'\) svarer til samme \(x\)-koordinater som ekstremalpunktene til \(f\).

---

Utledning av derivasjonsreglene (*)

Vi har så langt bare påstått hva derivasjonsreglene for polynomer er. Her skal vi gå løs på å utlede noen av reglene.

Utforsk 2

I Fig. 17.4 vises grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) og en sekant som går gjennom to punkter \((r, f(r))\) og \((x, f(x))\) der \(x > r\).

Vi antar her at \(r\) er et fastholdt tall, mens \(x\) kan variere.

Fig. 17.4 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) og en sekant gjennom to punkter \((r, f(r))\) og \((x, f(x))\) der \(x > r\).

a

Forklar at den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([r, x]\) er gitt ved

\[ \dfrac{f(x) - f(r)}{x - r} \]

b

Vi lar først \(f(x) = x^3\).

Utfør polynomdivisjonen

\[ K(x) = \dfrac{f(x) - f(r)}{x - r} \]

for å finne en formel \(K(x)\) for den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([r, x]\).

Fasit

\[ K(x) = x^2 + rx + r^2. \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjonen hvor \(f(x) = x^3\) og \(f(r) = r^3\)

som betyr at kvotienten er

\[ K(x) = x^2 + rx + r^2. \]

Denne funksjonen beskriver den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i et intervall \([r, x]\).

c

Den momentane vekstfarten til \(f(x) = x^3\) i punktet \(r\) svarer i praksis til at vi lar \(x = r\) i formelen for \(K(x)\). Bruk dette til å bestemme en formel for \(f'(r)\).

Fasit

\[ f'(r) = 3r^2. \]

Løsning

Vi har at \(K(x)\) gir den gjennomsnittlige vekstfarten i \([r, x]\). For å finne den momentane vekstfarten i \(r\), lar vi bare \(x = r\) siden da beskriver vi stigningen i ett punkt. Da får vi:

\[ K(r) = r^2 + r\cdot r + r^2 = 3r^2. \]

Siden dette er den momentane vekstfarten i \((r, f(r))\), betyr dette at

\[ f'(r) = 3r^2. \]

d

Vi lar i stedet \(f(x) = ax^3\).

Bestem formelen for \(K(x)\) nå.

Fasit

\[ K(x) = a(x^2 + rx + r^2). \]

Løsning

Hvis \(f(x) = ax^3\), får vi

\[ f(x) = ax^3 \quad \text{og} \quad f(r) = ar^3. \]

som betyr at

\[ K(x) = \dfrac{f(x) - f(r)}{x - r} = \dfrac{ax^3 - ar^3}{x - r} = \dfrac{a(x^3 - r^3)}{x - r} = a \cdot \dfrac{x^3 - r^3}{x - r} \]

Siden vi allerede har funnet at

\[ (x^3 - r^3) : (x - r) = x^2 + rx + r^2, \]

får vi at

\[ K(x) = a(x^2 + rx + r^2). \]

e

Bruk svaret ditt fra d til å bestemme en formel for \(f'(r)\) når \(f(x) = ax^3\).

Fasit

\[ f'(r) = 3ar^2. \]

Løsning

Vi har at

\[ K(x) = a(x^2 + rx + r^2). \]

Siden \(K(x)\) gir gjennomsnittlig vekstfart i \([r, x]\), vil \(K(r)\) gi momentan vekstfart i \((r, f(r))\). Dermed får vi:

\[ f'(r) = a \cdot (r^2 + r\cdot r + r^2) = 3ar^2. \]