Den deriverte

Innhold

23. Den deriverte#

Læringsmål

Kunne derivere polynomfunksjoner algebraisk.
Kunne bestemme likningen til tangenter til polynomfunksjoner.
Kan beskrive sammenhengen mellom grafen til \(f\) og grafen til \(f'\).

Den deriverte til en polynomfunksjon#

Når vi fant den deriverte \(f'\) til en andregradsfunksjon \(f\), så fant vi at den deriverte var en lineær funksjon. Sagt på en annen måte: vi får et førstegradspolynom \(f'(x)\) når vi finner den deriverte av et andregradspolynom \(f(x)\). Dette var ikke bare et sammentreff – generelt sett vil \(f'(x)\) være et polynom som har én grad lavere for et hvert polynom \(f(x)\).

Den deriverte til en polynomfunksjon

Gitt et polynom \(f(x)\) av grad \(n\), vil den deriverte av polynomet \(f'(x)\) være et polynom av grad \(n - 1\).

I praksis kan vi finne den deriverte algebraisk ved å følge noen bestemte regneregler som gjelder for alle polynomer.

Derivasjonsregler for polynomer

Regel 1: For et ledd \(x^n\) i et polynom \(f(x)\), vil den deriverte av leddet være

\[ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \]

Regel 2: For ethvert ledd \(a x^n\) i et polynom \(f(x)\), vil den deriverte av leddet være

\[ (a x^n)' = a (x^n)' \]

Regel 3: Hvert ledd i et polynom deriveres hver for seg:

\[ (ax^n + bx^m)' = (ax^n)' + (bx^m)' \]

Regel 4: Den deriverte av en konstant er null:

\[ C' = 0 \]

Regel 5: Den deriverte av et lineært ledd \(ax\) er

\[ (ax)' = a \]

Eksempel 1

Bestem den deriverte til

\[ f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 6x - 2 \]

Løsning

\[\begin{align*} f'(x) &= (2x^3 - 4x^2 + 6x - 2)' \\ \\ &= 2\cdot (x^3)' - 4\cdot (x^2)' + 6\cdot x' - 2' \\ \\ &= 2 \cdot 3\cdot x^2 - 4\cdot 2 \cdot x^1 + 6 \cdot 1 \cdot x^0 - 0 \\ \\ &= 6x^2 - 8x + 6 \end{align*}\]

Underveisoppgave 1

Bestem den deriverte til

\[ f(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 1 \]

Fasit

\[ f'(x) = 4x^3 - 6x + 5 \]

Likningen til en tangent#

Hvis vi ser på en tangent til grafen til \(f\) i et punkt \((a, f(a))\), så vet vi to ting:

Tangenten går gjennom punktet \((a, f(a))\).
Stigningstallet til tangenten er lik \(f'(a)\).

Vi vet også at vi alltid kan skrive likningen til en linje som har stigningstall \(m\) som går gjennom et punkt \((x_0, y_0)\) på ettpunktsform:

\[ y = m(x - x_0) + y_0, \]

Siden vi vet at stigningstallet er \(f'(a)\) så vet vi at \(m = f'(a)\). Siden linjen går gjennom punktet \((a, f(a))\), så vet vi at \(x_0 = a\) og \(y_0 = f(a)\). Dermed kan vi skrive likningen til tangenten som

\[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \]

Likningen til en tangent

Likningen til en tangent til grafen til \(f\) i et punkt \((a, f(a))\) er gitt ved

\[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]

Eksempel 2

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12. \]

Bestem likningen til tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).

Løsning

Likningen til tangenten er gitt ved

\[ y = f'(1)(x - 1) + f(1) \]

Vi har at

\[ f(1) = 1^3 - 3\cdot 1^2 - 4\cdot 1 + 12 = 6 \]

Videre har vi at

\[ f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 4x + 12)' = 3x^2 - 6x - 4 \]

som gir

\[ f'(1) = 3\cdot 1^2 - 6\cdot 1 - 4 = -7 \]

Setter vi dette inn i likningen for tangenten, så får vi

\[ y = -7(x - 1) + 6 = -7x + 7 + 6 = -7x + 13 \]

Underveisoppgave 2

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1. \]

Bestem likningen til tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((2, f(2))\).

Fasit

\[ y = 19x - 23 \]

Løsning

Likningen til tangenten er

\[ y = f'(2)(x - 2) + f(2) \]

Vi har at

\[ f(2) = 2^3 + 2\cdot 2^2 - 2 + 1 = 15 \]

Videre har vi at

\[ f'(x) = (x^3 + 2x^2 - x + 1)' = 3x^2 + 4x - 1 \]

som gir

\[ f'(2) = 3\cdot 2^2 + 4\cdot 2 - 1 = 12 + 8 - 1 = 19 \]

Setter vi dette inn i likningen for tangenten, så får vi

\[ y = 19(x - 2) + 15 = 19x - 38 + 15 = 19x - 23 \]

Sammenheng mellom \(f(x)\) og \(f'(x)\)#

Vi har allerede nevnt at grafen til den deriverte \(f'\) vil være en polynomfunksjon av én grad lavere enn \(f\). Men vi kan peke ut flere sammenhenger som er viktig å forstå for å anvende teorien i praksis.

Ekstremalpunkter til \(f\) og nullpunkter til \(f'\)#

La oss forestille oss at vi har en tredjegradsfunksjon \(f\). Da vil \(f'\) være en andregradsfunksjon. La oss tegne tangenter til grafen til \(f\) i ekstremalpunktene til \(f\). Da får vi tangenter som er horisontale og dermed har stigningstall \(0\). Dette vil derfor være punkter hvor \(f'(x) = 0\). Altså punkter hvor grafen til \(f'\) skjærer \(x\)-aksen. Se figuren nedenfor.

Men det finnes også polynomfunksjoner som har punkter hvor tangenten blir horisontal, men punktet er verken et toppunkt eller et bunnpunkt. I figuren nedenfor viser vi en femtegradsfunksjon \(f\) og dens deriverte \(f'\) som er en fjerdegradsfunksjon. Vi ser at grafen til \(f\) har to ekstremalpunkter, men det er et punkt hvor grafen til \(f\) ikke snur, men hvor tangenten likevel er horisontal. Dette punktet kaller vi i stedet for et terrassepunkt.

Sammenheng mellom \(f(x)\) og \(f'(x)\)

La \(f\) være en polynomfunksjon. Da vil følgende sammenhenger mellom grafene til \(f\) og \(f'\) gjelde:

Punkter hvor grafen til \(f'\) skjærer \(x\)-aksen svarer til punkter på grafen til \(f\) hvor tangenter har stigningstall \(0\).
Punkter hvor \(f'(x) = 0\), svarer til punkter på grafen til \(f\) hvor tangenter har stigningstall \(0\).
Grafen til \(f\) stiger når \(f'(x) > 0\).
Grafen til \(f\) synker når \(f'(x) < 0\).

Ut ifra sammenhengen over, vil det i mange tilfeller være slik at punkter hvor grafen til \(f'\) skjærer \(x\)-aksen, så har grafen til \(f\) et ekstremalpunkt.

Eksempel 2

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 23.1.

../../../_images/graf3.svg — Fig. 23.1 viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\)#

For å forstå hvordan grafen til \(f'\) henger sammen med grafen til \(f\) kan vi

Tegne en fortegnslinje for \(f'(x)\).
Tegne grafen til \(f'\) ved å bruke fortegnslinjen og passe på at nullpunktene til \(f'\) svarer til ekstremalpunktene til \(f\).

Fortegnslinje til \(f'(x)\)

../../../_images/fortegnslinje4.svg — Fig. 23.2 viser fortegnslinja til \(f'(x)\). Sammenhengen med grafen til \(f\) er at \(f'(x) > 0\) når grafen til \(f\) stiger og \(f'(x) < 0\) når grafen til \(f\) synker. I ekstremalpunktene til \(f\) er \(f'(x) = 0\) fordi en tangent gjennom punktet vil være horisontal og dermed ha stigningstall \(0\).#

Grafen til \(f'\)

../../../_images/f_derivert.svg — Fig. 23.3 viser grafen til \(f'\). Nullpunktene til \(f'\) svarer til samme \(x\)-koordinater som ekstremalpunktene til \(f\).#

Utledning av derivasjonsreglene (*)#

Vi har så langt bare påstått hva derivasjonsreglene for polynomer er. Her skal vi gå løs på å utlede én av reglene.

\[ \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \]

Bevis for derivasjonsregel 1

La \(f(x) = x^3\) være en tredjegradsfunksjon. Vi ønsker å finne den deriverte \(f'(a)\) i et punkt \((a, f(a))\) på grafen til \(f\).

Vi starter med å finne den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([a, x]\). Dette er gitt ved

\[ \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = \dfrac{x^3 - a^3}{x - a} \]

Vi utfører polynomdivisjonen med et Horner-skjema:

Vi får null i rest, og bare en kvotient:

\[ \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = x^2 + ax + a^2 \]

Hvis vi nå tenker oss at vi lar punktet \((x, f(x))\) nærme seg punktet \((a, f(a))\). Da vil jo sekanten som går gjennom de punktene nærme seg en tangent i punktet \((a, f(a))\). Den gjennomsnittlige vekstfarten vil da nærme seg stigningstallet til tangenten fordi de to linjene blir gradvis mer og mer like.

Setter vi \(x = a\) i uttrykket, som svarer til å se at vi lar \((x, f(x))\) komme så nærme \((a, f(a))\) som overhode mulig, så får vi

\[ a^2 + a\cdot a + a^2 = 3a^2 \]

Altså blir stigningstallet til tangenten \(3a^2\).

Polynomdivisjon og tangenter (*)#

Vi har allerede sett at resten i polynomdivisjon med \(f(x) : (x - r)\) lar oss bestemme \(f(r)\). Her skal vi gå et steg videre å se at resten i en bestemt polynomdivisjon kan brukes til å bestemme likningen til en tangent til grafen til polynomfunksjonen.

Utforsk 1

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 4x + 5. \]

a

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i \((1, f(1))\) ved å bruke at \(f'(x) = 2ax + b\) for en andregradsfunksjon.

Fasit

\[ y = -2x + 4 \]

b

Regn ut

\[ f(x) : (x - 1)^2 \]

Sammenlikn resten med likningen for tangenten du fant i a.

Husk å utvide \((x - 1)^2\) før du gjør polynomdivisjonen.

Fasit

Setning: Resten i polynomdivisjon \(f(x) : (x - r)^2\)

Gitt et polynom \(f(x)\), vil resten i polynomdivisjonen \(f(x) : (x - r)^2\) være det algebraiske uttrykket til tangenten som går gjennom punktet \((r, f(r))\) på grafen til \(f\).

Før vi går videre, bør du prøve å anvende setningen.

Underveisoppgave 1

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12. \]

a

Regn ut

\[ f(x) : (x - 2)^2 \]

Fasit

b

Bruk resultatet ditt fra a til å bestemme likningen for tangenten til grafen til \(f\) i \((2, f(2))\).

Fasit

Fra oppgave a har vi at resten er gitt ved

\[ y = -4x + 8, \]

som er tangenten til grafen til \(f\) i \((2, f(2))\).