Oppgaver: Andregradsulikheter

Oppgaver: Andregradsulikheter#

Oppgave 1

a

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løs ulikheten

\[ f(x) \leq 0. \]

Fasit

\[ x \in [-3, 1]. \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((-3, 0)\) og \((1, 0)\). Grafen ligger under \(x\)-aksen mellom disse to punktene som betyr at \(f(x) \leq 0\) når

\[ x \in [-3, 1]. \]

b

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løs ulikheten

\[ f(x) < 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle. \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((-1, 0)\) og \((3, 0)\). På nedsiden av \((-1, 0)\) og på oversiden av \((3, 0)\) ligger grafen til \(f\) under \(x\)-aksen som betyr at \(f(x) < 0\) når

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle. \]

c

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løs ulikheten

\[ f(x) > 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle -5, 1 \rangle. \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((-5, 0)\) og \((1, 0)\). Mellom disse to punktene ligger grafen til \(f\) over \(x\)-aksen som betyr at \(f(x) > 0\) når

\[ x \in \langle -5, 1 \rangle. \]

d

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løs ulikheten

\[ f(x) \geq 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle\gets, -2] \cup [2, \to \rangle. \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((-2, 0)\) og \((2, 0)\). På nedsiden av \((-2, 0)\) og på oversiden av \((2, 0)\) ligger grafen til \(f\) over \(x\)-aksen som betyr at \(f(x) \geq 0\) når

\[ x \in \langle\gets, -2] \cup [2, \to \rangle. \]

Oppgave 2

Ta quizen!

Oppgave 3

a

En andregradsfunksjon \(f\) har fortegnslinja:

Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(f\).

Fasit

Graf C.

b

En andregradsfunksjon \(g\) har fortegnslinja:

Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(g\).

Fasit

Graf A.

c

En andregradsfunksjon \(h\) har fortegnslinja:

Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(h\).

Fasit

Graf D.

Oppgave 4

a

Nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon \(f\).

Løs ulikheten

\[ f(x) \geq 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -2] \cup [2, \to \rangle \]

b

Nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon \(g\).

Løs ulikheten

\[ g(x) > 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle -1, 2 \rangle \]

c

Nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon \(h\).

Løs ulikheten

\[ h(x) < 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -2 \rangle \cup \langle -2, \to \rangle \]

d

Nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon \(p\).

Løs ulikheten

\[ p(x) \leq 0. \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -1] \cup [0, \to \rangle \]

Oppgave 5

a

Løs ulikheten

\[ (x + 2)(x - 4) \leq 0 \]

Fasit

\[ x \in [-2, 4] \]

Løsning

Vi tegner fortegnslinja til \(f(x) = (x + 2)(x - 4)\). Vi tegner først en fortegnslinje for hver faktor, deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til \(f(x)\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) ser vi at \(f(x) \leq 0\) når

\[ x \in [-2, 4] \]

b

Løs ulikheten

\[ (x - 1)(x + 4) \geq 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -4] \cup [1, \to \rangle \]

Løsning

Vi starter med å tegne fortegnslinja til \(f(x) = (x - 1)(x + 4)\). Vi tegner først en fortegnslinje for hver faktor, deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til \(f(x)\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) ser vi at \(f(x) \geq 0\) når

\[ x \in \langle \gets, -4] \cup [1, \to \rangle \]

c

Løs ulikheten ved hjelp av å tegne fortegnslinje.

\[ -2x(x - 3) < 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 0 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle \]

Løsning

Vi starter med å tegne fortegnslinja til \(f(x) = -2x(x - 3)\). Vi tegner først en fortegnslinje for hver faktor, deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til \(f(x)\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) ser vi at \(f(x) < 0\) når

\[ x \in \langle \gets, 0 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle \]

d

Løs ulikheten ved å bruke en fortegnslinje:

\[ -3(x + 1)(x - 1) > 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle -1, 1 \rangle \]

Løsning

Vi starter med å tegne fortegnslinja til \(f(x) = -3(x + 1)(x - 1)\). Vi tegner først en fortegnslinje for hver faktor, deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til \(f(x)\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) ser vi at \(f(x) > 0\) når

\[ x \in \langle -1, 1 \rangle \]

Oppgave 6

a

Løs ulikheten

\[ -x^2 + 4x - 3 \leq 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 1] \cup [3, \to \rangle. \]

Løsning

Vi starter med å nullpunktsfaktorisere andregradsuttrykket. Vi finner nullpunktene med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3)}}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} = \dfrac{-4 \pm 2}{-2} \]

Dermed er nullpunktene gitt ved

\[ x = \dfrac{-2}{-2} = 1 \or x = \dfrac{-6}{-2} = 3. \]

Da kan vi skrive om ulikheten til

\[ -(x - 1)(x - 3) \leq 0. \]

Så tegner vi en fortegnslinje for \(f(x) = -(x - 1)(x - 3)\):

Fra fortegnslinja ser vi at \(f(x) \leq 0\) når

\[ x \in \langle \gets, 1] \cup [3, \to \rangle. \]

b

Løs ulikheten

\[ x^2 + 4x - 5 \geq 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -5] \cup [1, \to \rangle. \]

Løsning

Vi starter med å nullpunktsfaktorisere andregradsuttrykket. Vi finner nullpunktene med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6}{2} \]

Dermed er nullpunktene gitt ved

\[ x = \dfrac{2}{2} = 1 \or x = \dfrac{-10}{2} = -5. \]

Da kan vi skrive om ulikheten til

\[ (x - 1)(x + 5) \geq 0. \]

Så tegner vi en fortegnslinje for \(f(x) = (x - 1)(x + 5)\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) ser vi at \(f(x) \geq 0\) når

\[ x \in \langle \gets, -5] \cup [1, \to \rangle. \]

c

Løs ulikheten

\[ x^2 + 6x + 5 > -4 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -3 \rangle \cup \langle -3, \to \rangle. \]

Løsning

Vi starter med å samle alle ledd på én side av ulikheten slik at vi får \(0\) på høyre side:

\[ x^2 + 6x + 5 + 4 > 0 \liff x^2 + 6x + 9 > 0 \]

Vi gjenkjenner uttrykket som 1.kvadratsetning:

\[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2. \]

Dermed kan vi skrive om ulikheten til

\[ (x + 3)^2 > 0. \]

Vi tegner en fortegnslinje for \(f(x) = (x + 3)^2\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) ser vi at \(f(x) > 0\) når

\[ x \in \langle \gets, -3 \rangle \cup \langle -3, \to \rangle. \]

d

Løs ulikheten

\[ -x^2 + 3x + 1 < 3x + 2 \]

Fasit

\[ x \in \real \]

Løsning

Vi starter med å samle alle ledd på én side av ulikheten slik at vi får \(0\) på høyre side:

\[ -x^2 + 3x + 1 - 3x - 2 < 0 \liff -x^2 - 1 < 0 \liff x^2 + 1 > 0 \]

Siden \(x^2 + 1\) er et kvadratisk uttrykk som alltid er større enn \(0\), er ulikheten alltid sann. Dermed er løsningen

\[ x \in \real \]

Oppgave 7

Hvordan løser jeg andregradsulikheter med CAS?

I gif-en nedenfor vises et eksempel på hvordan man løser en andregradsulikhet med CAS:

a

Bruk CAS til å løse ulikheten

\[ x^2 - 3x + 2 < 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle 1, 2 \rangle. \]

Løsning

Fra utskriften ser vi at løsningen er

\[ x \in \langle 1, 2 \rangle. \]

b

Bruk CAS til å løse ulikheten

\[ -x^2 + 2x - 1 < 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 1 \rangle \cup \langle 1, \to \rangle. \]

Løsning

Fra utskriften ser vi at løsningen er

\[ x \in \langle \gets, 1 \rangle \cup \langle 1, \to \rangle. \]

c

Bruk CAS til å løse ulikheten

\[ -x^2 + 5x + 6 \geq 0 \]

Fasit

\[ x \in [-1, 6] \]

Løsning

Fra utskriften ser vi at løsningen er

\[ x \in [-1, 6] \]

d

Bruk CAS til å løse ulikheten

\[ x^2 - 2x + 5 \leq -x^2 + 3x + 3 \]

Fasit

\[ x \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2\right] \]

Løsning

Fra utskriften ser vi at løsningen er

\[ x \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2\right] \]

Oppgave 8

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og en lineær funksjon \(g\).

a

Løs ulikheten

\[ f(x) < 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -2 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle. \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((-2, 0)\) og \((3, 0)\). Grafen ligger under \(x\)-aksen på nedsiden av \((-2, 0)\) og på oversiden av \((3, 0)\). Dermed er løsningen

\[ x \in \langle \gets, -2 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle. \]

b

Løs ulikheten

\[ f(x) > 3 \]

Fasit

\[ x \in \langle -3, 1 \rangle. \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer linja \(y = 3\) i \((-3, 3)\) og \((1, 3)\). Mellom disse to punktene, så ligger grafen til \(f\) over linja \(y = 3\). Dermed er løsningen

\[ x \in \langle -3, 1 \rangle. \]

c

Løs ulikheten

\[ f(x) \geq g(x) \]

Fasit

\[ x \in [-4, 0] \]

Løsning

Grafene til \(f\) og \(g\) skjærer hverandre i punktene \((-4, -5)\) og \((0, 3)\). Mellom disse to punktene, så ligger grafen til \(f\) på oversiden av grafen til \(g\). Dermed er løsningen av ulikheten

\[ x \in [-4, 0] \]

Oppgave 9

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

a

Bestem \(f(x)\).

Fasit

f(x) = -2(x + 3)(x - 4).

Løsning

Vi ser at grafen skjærer \(x\)-aksen i \((-3, 0)\) og \((4, 0)\) som vi kan bruke til å bestemme \(f(x)\) på nullpunktsform:

\[ f(x) = a(x + 3)(x - 4). \]

Grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 24)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ f(0) = a(0 + 3)(0 - 4) = -12a = 24 \liff a = -2. \]

Dermed er

\[ f(x) = -2(x + 3)(x - 4). \]

b

Løs ulikheten

\[ f(x) \leq 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -3] \cup [4, \to \rangle. \]

Løsning

Vi ser at grafen ligger under \(x\)-aksen på nedsiden av \((-3, 0)\) og på oversiden av \((4, 0)\). Dermed er løsningen

\[ x \in \langle \gets, -3] \cup [4, \to \rangle. \]

c

Løs ulikheten

\[ f(x) > 12. \]

Fasit

\[ (x + 2)(x - 3) < 0 \liff x \in \langle -2, 3 \rangle. \]

Løsning

Her får vi ikke lest av fra grafen, så vi tyr til algebraisk løsning. Vi skal løse ulikheten

\[ f(x) > 12 \liff -2(x + 3)(x - 4) > 12. \]

Vi ganger ut venstre side:

\[ -2(x^2 - x - 12) > 12 \liff -2x^2 + 2x + 24 > 12. \]

Så sørger vi for at vi for \(0\) på høyre side:

\[ -2x^2 + 2x + 24 - 12 > 0 \liff -2x^2 + 2x + 12 > 0. \]

Vi kan også dele uttrykket med \(-2\) (og huske på å snu ulikhetstegnet):

\[ x^2 - x - 6 < 0. \]

Så bestemmer vi nullpunktene til andregradsuttrykket med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2}. \]

Dermed er nullpunktene gitt ved

\[ x = \dfrac{6}{2} = 3 \or x = \dfrac{-4}{2} = -2. \]

Da kan vi skrive om ulikheten til

\[ (x + 2)(x - 3) < 0. \]

Så tegner vi en fortegnslinje for \((x + 2)(x - 3)\):

Fra fortegnslinja ser vi at

\[ (x + 2)(x - 3) < 0 \liff x \in \langle -2, 3 \rangle. \]

Oppgave 10

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

a

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = x(x - 4) = x^2 - 4x. \]

Løsning

Grafen til \(f\) har et bunnpunkt i \((2, -4)\) og et nullpunkt \((0, 0)\) Fordi symmetrilinja er i \(x = 2\), så vil det andre nullpunktet ligge samme avstand fra symmetrilinja langs \(x\)-aksen som betyr at det andre nullpunktet er i \((4, 0)\). Da kan vi skrive \(f(x)\) på nullpunktsform:

\[ f(x) = a(x - 0)(x - 4) = ax(x - 4). \]

For å finne verdien til \(a\), så bruker vi bunnpunktet:

\[ f(2) = -4 \liff a\cdot 2 \cdot (2 - 4) = -4 \liff -4a = -4 \liff a = 1. \]

Dermed er

\[ f(x) = x(x - 4) = x^2 - 4x. \]

b

Løs ulikheten

\[ f(x) \leq 0 \]

Fasit

\[ x \in [0, 4]. \]

Løsning

Fra grafen til \(f\) kan vi se at grafen ligger under \(x\)-aksen mellom nullpunktene. Dermed er \(f(x) \leq 0\) når

\[ x \in [0, 4]. \]

c

Løs ulikheten

\[ f(x) > 5 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 5, \to \rangle. \]

Løsning

Vi skal løse ulikheten

\[ f(x) > 5 \liff x^2 - 4x > 5. \]

Vi skriver om ulikheten slik at vi får \(0\) på høyre side:

\[ x^2 - 4x - 5 > 0. \]

Så finner vi nullpunktene til andregradsuttrykket med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{4 \pm 6}{2}. \]

Dermed er nullpunktene gitt ved

\[ x = \dfrac{10}{2} = 5 \or x = \dfrac{-2}{2} = -1. \]

Det betyr at vi kan skrive om ulikheten til

\[ (x + 1)(x - 5) > 0. \]

Grafen til dette uttrykket er konveks (den smiler \(\smile\)) som betyr at den må ligger under \(x\)-aksen mellom nullpunktene. Dermed vil løsningen av ulikheten være \(x\)-verdiene som ligger på nedsiden og oversiden av nullpunktene. Altså er

\[ (x + 1)(x - 5) > 0 \liff x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 5, \to \rangle. \]

Oppgave 11

a

En ulikhet har løsningen

\[ x \in \langle -2, 1 \rangle. \]

Lag en ulikhet som har denne løsningen.

Fasit

\[ (x + 2)(x - 1) < 0 \]

Løsning

Vi kan velge en andregradsfunksjon \(f\) som har nullpunkter i \(x = -2\) og \(x = 1\), og som er konveks (slik at den smiler \(\smile\)). Da vet vi at grafen ligger under \(x\)-aksen mellom nullpunktene. Derfor er en mulig ulikhet denne:

\[ (x + 2)(x - 1) < 0 \]

b

En ulikhet har løsningen

\[ x \in \langle \gets, -2 \rangle \cup \langle -2, \to \rangle. \]

Lag en ulikhet som har denne løsningen.

Fasit

\[ (x + 2)^2 > 0. \]

Løsning

Vi kan velge en andregradsfunksjon \(f\) som har ett nullpunkt i \(x = -2\), og som er konveks (slik at den smiler \(\smile\)). Da vet vi at grafen alltid ligger over \(x\)-aksen bortsett fra i \(x = -2\). Da er en mulig ulikhet denne:

\[ (x + 2)^2 > 0. \]

c

En ulikhet har løsningen

\[ x \in [-4, 4]. \]

Lag en ulikhet som har denne løsningen.

Fasit

\[ (x + 4)(x - 4) \leq 0. \]

Løsning

Vi kan velge en andregradsfunksjon \(f\) som har nullpunkter i \(x = -4\) og \(x = 4\), og som er konveks (slik at den smiler \(\smile\)). Da vet vi at grafen ligger under \(x\)-aksen mellom nullpunktene slik at følgende ulikhet vil ha den oppgitte løsningen:

\[ (x + 4)(x - 4) \leq 0. \]

d

En ulikhet har løsningen

\[ x \in \left\langle \gets, -\dfrac{1}{2} \right \rangle \cup \langle 4, \to \rangle. \]

Lag en ulikhet som har denne løsningen.

Fasit

\[ -\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 4) < 0. \]

Løsning

Vi kan velge en andregradsfunksjon \(f\) som har nullpunkter i \(x = -\dfrac{1}{2}\) og \(x = 4\), og som er konkav (surt fjes \(\frown\)). Da vet vi at grafen til \(f\) ligger under \(x\)-aksen på nedsiden og oversiden av nullpunktene. Dermed vil følgende ulikhet ha den oppgitte løsningen:

\[ -\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 4) < 0. \]

Oppgave 12

Anna jobber med funksjonen

\[ f(x) = (x - 2)^2 + 3 \]

Hun forsøkte å løse en ulikhet i CAS og fikk følgende utskrift:

Forklar hva utskriften forteller oss om grafen til \(f\).

Løsning

Ulikheten har ingen løsning, som er grunnen til at utskriften gir \(\{\}\). Siden Anna har prøvd å løse ulikheten \(f(x) < 0\), forteller det oss at grafen aldri ligger under \(x\)-aksen.

Oppgave 13

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = rx^2 - 2x + r \qder r \in \real \]

a

Bestem \(r\) slik at \(f\) bare har ett nullpunkt.

Fasit

\[ r = -1 \or r = 1. \]

Løsning

Vi bruker \(abc\)-formelen for å avgjøre hvilke verdier for \(r\) som gir ett nullpunkts:

\[ x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot r \cdot r}}{2 \cdot r} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 4r^2}}{2r} \]

Vi får \(0\) i kvadratroten dersom

\[ 4 - 4r^2 = 0 \liff 4r^2 = 4 \liff r^2 = 1 \liff r = \pm 1. \]

Altså har grafen til \(f\) ett nullpunkt hvis

\[ r = -1 \or r = 1. \]

b

Bestem \(r\) slik at \(f\) ikke har noen nullpunkter.

Fasit

\[ r \in \langle -1, 1 \rangle. \]

Løsning

Vi vet at \(f\) ikke har noen nullpunkter dersom vi får et negativt tall i kvadratroten, som betyr at \(f\) ikke har noen nullpunkter dersom

\[ 4 - 4r^2 < 0 \liff 4r^2 - 4 > 0 \liff r^2 - 1 > 0 \liff (r - 1)(r + 1) > 0. \]

Dette er et andregradsuttrykk som er konveks (den smiler \(\smile\)) og som har nullpunkter i \(r = -1\) og \(r = 1\). Grafen vil være negativt mellom nullpunktene, så derfor vil ikke \(f\) ha noen nullpunkter dersom

\[ r \in \langle -1, 1 \rangle. \]