27. Generelle rasjonale funksjoner#
Læringsmål
Kunne bestemme horisontale eller skrå asymptoter til en rasjonal funksjon.
Kunne bestemme nullpunktene til en rasjonal funksjon.
Kunne bestemme vertikale asymptoter til en rasjonal funksjon.
Kunne lage fortegnslinjer og skissere grafen til en rasjonal funksjon, å bruke dette til å løse rasjonale ulikheter.
Når vi jobbet med lineære-over-lineære rasjonale funksjoner fant vi at funksjonen alltid hadde en horisontal asymptote, en vertikal asymptote og et nullpunkt. Men for rasjonale funksjoner generelt sett, vil antall nullpunkter og vertikale asymptoter variere, og det finnes også rasjonale funksjoner som ikke har noen av delene. Men disse tre egenskapene er likevel de mest sentrale egenskapene for rasjonale funksjoner.
Sentrale egenskaper ved rasjonale funksjoner
For rasjonale funksjoner, er de mest sentrale egenskapene:
Nullpunkter
Horisontale og skrå asymptoter
Vertikale asymptoter
Målet vårt er å utvikle verktøy for å avgjøre hvilke egenskaper en rasjonal funksjon har. Men først tar vi et eksempel som illustrerer hvor variert antallet av disse egenskapene kan være – for de må slett ikke ha vertikale asymptoter, nullpunkter eller horisontale asymptoter i det hele tatt. Mangfoldet av egenskaper er for mange til å vise alle tilfeller, men dette vil gi oss en idé om variasjonen vi kan møte på. Deretter skal vi se på hvordan vi kan avgjøre hvilke egenskaper en rasjonal funksjon har.
Eksempel 1
Nedenfor vises fire eksempler på rasjonale funksjoner med ulike egenskaper.
Det ikke meningen at du skal forstå hvorfor grafene ser ut som de gjør enda, men få et inntrykk av hvor stort mangfold rasjonale funksjoner kan ha.
Fig. 27.1 Her har \(f\) en horisontal asymptote \(y = 1\), to vertikale asymptoter med likningene \(x = \pm 1\), og to nullpunkter \(x = -3\) og \(x = 2\).#
Fig. 27.2 Grafen har to nullpunkter \(x = \pm 2\), en vertikal asymptote i \(x = 1\) og en skrå asymptote \(y = x + 1\). Grafen til \(f\) nærmer seg altså en lineær funksjon når \(|x|\) blir stor.#
Fig. 27.3 Grafen har en vertikal asymptote i \(x = 2\), men ingen nullpunkter. Grafen til \(f\) har en horisontal asymptote \(y = 0\).#
Fig. 27.4 Grafen har et nullpunkt i \(x = 1\) og en horisontal asymptote \(y = 0\). Grafen har ingen vertikale asymptoter.#
Skrå– og horisontale asymptoter#
For å bestemme likningene til eventuelle horisontale eller skrå asymptoter til en rasjonal funksjon, utfører vi polynomdivisjon og leser av kvotienten. Dette vil være likningen til den horisontale eller skrå asymptoten.
Skrå– og horisontale asymptoter
La \(f\) være en rasjonal funksjon \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), der \(P(x)\) og \(Q(x)\) er polynomer. Likningen til den skrå– eller horisontale asymptoten til \(f\) er gitt ved kvotienten \(y = K(x)\) når vi utfører polynomdivisjonen \(P(x) : Q(x)\).
Da får vi følgende mulige utfall:
Hvis tellergraden er én større enn nevnergraden, vil \(K(x)\) være et førstgradspolynom og vi får en skrå asymptote.
Hvis tellergraden er lik nevnergradenm vil \(K(x)\) være en konstant og vi får en horisontal asymptote.
Hvis tellergraden er mindre enn nevnergraden, vil kvotienten være \(0\) og vi har en horisontal asymptote gitt ved likningen \(y = 0\).
La oss først se på et eksempel der funksjonen har en horisontal asymptote:
Eksempel 2
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem likningen til en eventuell skrå– eller horisontal asymptote til \(f\).
Løsning
Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten til brøken:
Vi kan se at kvoitenten er \(K(x) = 2\), som betyr at likningen til den horisontale asymptoten til \(f\) er
Men hva skjer dersom nevnergraden til funksjonen er større enn tellergraden? Da vil vi ikke kunne dele noe mer siden telleren har lavere grad enn nevneren. Da betyr det at kvotienten er \(0\) allerede, og dette blir likningen til den horisontale asymptoten. La oss se på et eksempel på dette:
Eksempel 3
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem likningen til en eventuell skrå– eller horisontal asymptote til \(f\).
Løsning
Vi har at nevnergraden er større enn tellergraden, som betyr at
der \(x + 1\) er resten i polynomdivisjon allerede. Dermed er kvotienten \(K(x) = 0\), som betyr at likningen til den horisontale asymptoten til \(f\) er
Så tar vi det siste tilfellet hvor tellergraden er én større enn nevnergraden slik at grafen til \(f\) har en skrå asymptote.
Eksempel 4
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem likningen til en eventuell skrå– eller horisontal asymptote til \(f\).
Løsning
Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten til brøken:
Vi ser at kvotienten er \(K(x) = x - 1\). Dermed er likningen til den skrå asymptoten
Nullpunkter og vertikale asymptoter#
For en rasjonal funksjon \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), så vil vi kun få:
Nullpunkter dersom telleren \(P(x) = 0\)
Vertikale asymptoter dersom nevneren \(Q(x) = 0\)
Men dersom både \(P(x) = 0\) og \(Q(x) = 0\) i samme punkt, så får vi et hull i grafen til \(f\) fremfor et nullpunkt eller en vertikal asymptote. Dette kan virke uforutsigbart ved første øyekast, men vi skal se på en strategi for å håndtere dette uten at det er noen tvil om hvorvidt vi får et nullpunkt, en vertikal asymptote eller bare et hull i grafen til \(f\).
Strategi: Nullpunkter og vertikale asymptoter
La funksjonen \(f\) være en rasjonal funksjon \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\). For å bestemme eventuelle nullpunkter, vertikale asymptoter og hull i grafen til \(f\), gjør vi følgende:
Nullpunktsfaktoriserer telleren \(P(x)\) og nevneren \(Q(x)\).
Forkort brøken \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) så mye som mulig
Bestem nullpunktene til telleren til den forkortede brøken. Disse gir nullpunktene til \(f\).
Bestem nullpunktene til nevneren til den forkortede brøken. Disse gir de vertikale asymptotene til \(f\).
Faktorer vi strøk bort i trinn 2 gir hull i grafen til \(f\).
Eksempel 5
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem nullpunktene, de vertikale asymptotene og hullene til grafen til \(f\).
Løsning
Vi starter med å nullpunktsfaktorisere både telleren. Vi har at
etter konjugatsetningen. Nevneren er litt mer vrien å faktorisere direkte, så vi bruker \(abc\)-formelen:
som gir
Dermed har vi at
Nå kan vi skrive om funksjonen \(f\) til
der vi må forutsette at \(x \neq -2\) siden vi i utgangspunktet ville delt på null når \(x = -2\). Dette blir et hull i grafen til \(f\)!
Nå som vi har forkortet brøken så mye som mulig, kan vi lete etter eventuelle nullpunkter og vertikale asymptoter. Vi stareter med nullpunktene; dette vil være nullpunktene til tellerpolynomet:
Altså vil grafen til \(f\) ha et nullpunkt i \(x = 2\).
For å bestemme likningene til eventuelle vertikale asymptoter, så leter vi etter nullpunktene til nevnerpolynomet:
Dermed vil grafen til \(f\) ha en vertikal asymptote i \(x = 3\).
Vi kan godt oppsummere funnene våre ved å skissere grafen til \(f\), men vi mangler å undersøke om grafen til \(f\) har en horisontal eller skrå asymptote. La oss sjekke raskt med polynomdivisjon:
Kvotienten ble \(K(x) = 1\) som betyr at \(y = 1\) er likningen til den horisontale asymptoten til \(f\).
Vi kan skissere grafen til \(f\) basert på det vi har funnet:
I figuren har vi markert et “kryss” i \(x = -2\) på grafen til \(f\) for å markere hullet til grafen til \(f\).