17. Vekstfart#

Læringsmål

  • Kunne bestemme gjennomsnittlig vekstfart til en funksjon.

  • Kunne bestemme den momentane vekstfarten til en funksjon.

  • Kunne bestemme den deriverte til en andregradsfunksjon og bruke den til å finne egenskaper ved funksjonen.

Når vi jobbet med lineære funksjoner, så var en sentral egenskap at de har et stigningstall. Stigningstallet forteller oss hvor mye funksjonsverdier endrer seg når vi endrer \(x\)-verdien med én enhet. Mer generelt kaller vi dette for en funksjon sin vekstfart. Målet vårt her er å definere meningsfulle måter å måle hvor mye funksjonsverdien til en andregradsfunksjon endrer seg når vi endrer på \(x\)-verdien.

Gjennomsnittlig vekstfart#

Gjennomsnittlig vekstfart er et mål på hvor mye funksjonsverdien endrer seg i gjennomsnitt i et intervall dersom vi øker \(x\) med én enhet. Vi kan tolke dette som stigningstallet til en rett linje som går gjennom to punkter på grafen til funksjonen.

Gjennomsnittlig vekstfart

Den gjennomsnittlige vekstfarten til en andregradsfunksjon \(f\) i intervallet \([a, b]\) er gitt ved

\[ \dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Se figuren nedenfor.

../../../_images/figur37.svg

La oss se på et eksempel:

Eksempel 1

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([1, 3]\).

../../../_images/figur38.svg

Løsning

Fra grafen til \(f\) ser vi at \(f(1) = -4\) og \(f(3) = 0\). Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([1, 3]\) er da gitt ved

\[ \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{0 - (-4)}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2 \]

Altså øker funksjonsverdien til \(f\) i gjennomsnitt med \(2\) når vi øker \(x\) med \(1\) i intervallet \([1, 3]\).


Underveisoppgave 1

En andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([-2, 1]\).

../../../_images/figur39.svg

Momentan vekstfart#

Momentan vekstfart er et mål på hvor mye funksjonsverdien endrer seg når vi øker \(x\) med en veldig liten verdi. Vi kan tolke det som et mål på hvor bratt grafen er i et punkt. Vi skal se på momentan vekstfart som stigningstallet til en lineær funksjon som vi kaller for en tangent.

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til en andregradsfunksjon \(f\) i et punkt \((a, f(a))\) på grafen, er stigningstallet til en tangent som kun går gjennom \((a, f(a))\) på grafen til \(f\). Vi bruker følgende notasjon for den momentane vekstfarten:

\[ f'(a) = \text{Momentan vekstfart til $f$ i punktet $(a, f(a))$} \]

Se figuren nedenfor.

../../../_images/figur40.svg

Det er ikke opplagt hvordan vi kan finne stigningstallet til en tangent siden den bare er definert ved hjelp av ett punkt. Vi skal snart se hvordan vi kan gjøre dette med regning, men det er hensiktsmessig å først se hvordan vi kan gjøre det med digitale verktøy. La oss se på et eksempel:

Eksempel 2

I gif-en nedenfor viser vi hvordan vi kan bestemme likningen til en tangent til grafen til en andregradsfunksjon \(f\) i punktet \((3, f(3))\). Andregradsfunksjonen er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 4x + 5. \]
../../../_images/finne_tangenter_ggb.gif

Likningen til tangenten i \((3, f(3))\) er

\[ y = 2x - 4 \]

Stigningstallet til tangenten er \(2\). Den momentane vekstfarten til \(f\) i punktet \((3, f(3))\) er dette stigningstallet. Vi skriver dette som

\[ f'(3) = 2 \]

Underveisoppgave 2

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 4x + 1 \]

Bruk Geogebra-vinduet til å bestemme den momentane vekstfarten til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).

Den deriverte#

Siden vi kan bestemme stigningstallet til tangenter overalt på grafen til en andregradsfunksjon, er det naturlig å lure på om det finnes en funksjon som gir oss stigningstallet i alle punkter på grafen. Det gjør det, og denne funksjonen kaller vi for den deriverte til \(f\). Vi skriver denne funksjonen som \(f'\) og leser det som “\(f\)-derivert”.

Den deriverte

Den deriverte til en andregradsfunksjon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) er en lineær funksjon gitt ved

\[ f'(x) = 2ax + b \]

Hvis du er nysgjerrig på hvor dette uttrykket kommer fra, kan du lese beviset nedenfor. Men det kan være lurt å se resten av kapittelet først så du får en bedre forståelse av hva den deriverte er og hva vi kan bruke den til.


La oss se på et eksempel hvor vi bruker formelen:

Eksempel 3

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]

Bestem \(f'(x)\).

Løsning

Den deriverte er gitt ved

\[ f'(x) = 2a + b \]

Vi har at \(a = 3\) og \(b = -6\), så

\[ f'(x) = 2 \cdot 3 \cdot x - 6 = 6x - 6 \]

Grafisk sammenheng mellom \(f\) og \(f'\)#

I animasjonen nedenfor vises sammenhengen mellom grafen til \(f\) og grafen til \(f'\). Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist til venstre og grafen til den deriverte \(f'\) er vist til høyre.

Vi kan oppsummere noen viktige observasjoner fra animasjonen:

Grafisk sammenheng mellom \(f\) og \(f'\)

  • Grafen til \(f\) stiger når \(f'(x) > 0\).

  • Grafen til \(f\) synker når \(f'(x) < 0\).

  • Grafen til \(f\) har et ekstremalpunkt når \(f'(x) = 0\). Symmetrilinja til \(f\) svarer til nullpunktet til den deriverte \(f'\).

La oss se på et konkret eksempel som illustrerer dette:

Eksempel 4

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\) til venstre og grafen til den deriverte \(f'\) til høyre.

../../../_images/merged_figure29.svg

Fig. 17.1 grafen til \(f\) vises til venstre og grafen til \(f'\) vises til høyre.#

Vi kan legge merke til følgende:

  • Symmetrilinja til \(f\) er \(x = -2\). Vi kan også se at da skjærer grafen til \(f'\) gjennom \(x\)-aksen. Med andre ord er \(f'(x) = 0\) ved ekstremalpunktet til \(f\).

  • Til venstre for ekstremalpunktet til \(f\), så stiger grafen. Vi kan se at på det tilsvarende område, så ligger grafen til \(f'\) over \(x\)-aksen. Altså er \(f'(x) > 0\) og da stiger grafen.

  • Til høyre for ekstremalpunktet til \(f\), så synker grafen. Vi kan se at på det tilsvarende område, så ligger grafen til \(f'\) under \(x\)-aksen. Altså er \(f'(x) < 0\) og da synker grafen.


Underveisoppgave 4

../../../_images/graf8.svg

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.

Nedenfor vises det fire grafer som alle kan være grafen til den deriverte \(f'\).

Hvilken graf viser grafen til \(f'\)?

../../../_images/merged_figure30.svg

Anvendelser av den deriverte#

Den deriverte gir oss et nytt verktøy for å finne egenskapene til en andregradsfunksjon. Vi kan bruke den til å finne symmetrilinja til grafen, likningen til tangenter, og vi kan bruke den til å bestemme \(f(x)\) og \(f'(x)\) når vi har informasjon om grafen.

Bestemme ekstremalpunkt#

Vi har sett at grafen til den deriverte \(f'\) skjærer \(x\)-aksen i samme punkt som grafen til \(f\) har ekstremalpunkt. Eller sagt med andre ord, samme \(x\)-verdi som grafen til \(f\) har symmetrilinje. Vi kan se at dette stemmer ved å sette \(f'(x) = 0\) og løse likningen for \(x\):

\[ f'(x) = 0 \liff 2ax + b = 0 \liff 2ax = -b \liff x = -\frac{b}{2a} \]

Her har vi gode gamle formelen for symmetrilinja til en andregradsfunksjon! Det betyr at vi nå har et nytt verktøy for å finne symmetrilinja – eller \(x\)-koordinaten til ekstremalpunktet til grafen til \(f\). La oss se på et eksempel:

Eksempel 5

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 8x + 5 \]

Bestem symmetrilinja til grafen til \(f\).

Løsning

Vi bestemmer \(f'(x)\) først. Vi ser at \(a = 1\) og \(b = -8\), så vi får

\[ f'(x) = 2 \cdot 1 \cdot x - 8 = 2x - 8 \]

Deretter løser vi likningen

\[ f'(x) = 0 \liff 2x - 8 = 0 \liff x = 4 \]

Altså er symmetrilinja til grafen til \(f\) gitt ved

\[ x = 4. \]

Vi sjekke at dette stemmer overens med formelen for symmetrilinja til en andregradsfunksjon:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4 \]

Det stemmer!


Underveisoppgave 5

Bruk den deriverte til å finne \(x\)-verdien til ekstremalpunktet til

\[ f(x) = -2x^2 + 4x + 1. \]

Sjekk at svaret ditt stemmer overens ved å bruke formelen for symmetrilinja til en andregradsfunksjon.

Likningen til en tangent#

Når vi introduserte begrepet momentan vekstfart, så vi hvordan vi kan bestemme likningen til en tangent med digitale verktøy. Nå skal vi se hvordan vi kan gjøre det ved regning. Først minner vi oss på at likningen til en lineær funksjon med stigningstall \(a\) som går gjennom ett punkt \((x_0, y_0)\) er gitt ved ettpunktsformelen

\[ y = a(x - x_0) + y_0 \]

Når linja er en tangent, så er stigningstallet \(a\) lik den momentane vekstfarten til \(f\) i punktet \((x_0, f(x_0))\). Det vil si at \(a = f'(x_0)\).

Likningen til en tangent

Likningen til en tangnt til grafen til en andregradsfunksjon \(f\) i punktet \((x_0, f(x_0))\) er gitt ved ettpunktsformelen

\[ y = a(x - x_0) + y_0 \]

der \(a = f'(x_0)\) er den momentane vekstfarten til \(f\) i punktet \((x_0, f(x_0))\) og \(y_0 = f(x_0)\).

La oss se på et eksempel:

Eksempel 6

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 3x + 1. \]

Bestem likningen til tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((2, f(2))\).

Løsning

Likningen til tangenten er gitt ved

\[ y = a(x - x_0) + y_0 \]

Vi har at \(x_0 = 2\). For å bestemme \(y\)-koordinaten til punktet, regner vi ut \(f(2)\):

\[ y_0 = f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1. \]

For å bestemme stigningstallet \(a = f'(2)\), regner vi først ut den deriverte.

\[ f'(x) = 2\cdot 1\cdot x - 3. \]

Deretter setter vi inn \(x = 2\):

\[ f'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1. \]

Altså er stigningstallet til tangenten \(a = 1\). Da får vi at likningen til tangenten er gitt ved

\[ y = 1\cdot(x - 2) - 1 = x - 2 - 1 = x - 3. \]

Underveisoppgave 6

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -2x^2 + 5x + 1 \]

Bestem likningen til tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).

Bestemme \(f(x)\) og \(f'(x)\)#

Vi kan bruke opplysninger om grafen til \(f\) og grafen til \(f'\) til å bestemme funksjonsuttrykkene \(f(x)\) og \(f'(x)\). La oss se på et eksempel:

Eksempel 7

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\). Grafen har en tangent i punktet \((3, f(3))\) med likningen \(y = -4x + 13\).

Bestem \(f(x)\) og \(f'(x)\).

../../../_images/figur41.svg

Løsning

Her bruker vi CAS til å sette opp et likningssystem for å bestemme \(f(x)\) og \(f'(x)\). Bruk CAS-vinduet til å utføre utregningene som vises nedenfor!

Vi skriver \(f(x)\) på standardform:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 4)\) som betyr at \(f(0) = 4\).

Likningen til tangenten er gitt ved \(y = -4x + 13\). Siden tangenten går gjennom punktet \((3, f(3))\), kan vi bestemme \(f(3)\) ved å sette inn \(x = 3\) i likningen til tangenten:

\[ f(3) = -4 \cdot 3 + 13 = -12 + 13 = 1. \]

Stigningstallet til tangenten er \(-4\), som betyr at \(f'(3) = -4\) siden stigningstallet til tangenten er lik den momentane vekstfarten til \(f\) i punktet \((3, f(3))\). Da har vi tre likninger:

\[\begin{align*} f(0) &= 4 && \text{Skjæring med $y$-aksen} \\ \\ f(3) &= 1 && \text{Punktet tangenten treffer} \\ \\ f'(3) &= -4 && \text{Stigningstallet til tangenten} \end{align*}\]

Vi løser likningsssystemet med CAS for å bestemme \(a\), \(b\) og \(c\):

../../../_images/sol7.png

Vi skriver f'(x) for å få den deriverte til \(f\) i CAS-vinduet.

Fra utskriften ser vi at

\[ a = 1 \and b = -2 \and c = 4. \]

Det betyr at

\[ f(x) = ax^2 + bx + c = x^2 - 2x + 4. \]

og

\[ f'(x) = 2ax + b = 2\cdot 1\cdot x - 2 = 2x - 2. \]

Underveisoppgave 7

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Grafen har en tangent i punktet \((-2, f(-2))\) med stigningstall \(2\) og en tangent som går gjennom ett av nullpunktene til \(f\) med likningen \(y = -4x + 4\).

Bestem \(f(x)\) og \(f'(x)\).

../../../_images/figur42.svg