Oppgaver: Enhetssirkelen

Oppgaver: Enhetssirkelen#

Oppgave 1

Nedenfor vises et interaktivt vindu hvor enhetssirkelen er tegnet inn med en vinkel \(v\) som kan varieres.

a

Bruk det interaktive vinduet til å bestemme

\[ \cos 35 \degree \quad \text{og} \quad \sin 35 \degree \]

Fasit

\[ \cos 35 \degree = 0.82 \quad \text{og} \quad \sin 35 \degree = 0.57 \]

Løsning

\(v = 35 \degree\) gir \(P(0.82, 0.57)\). Siden \(x\)-koordinaten er \(\cos 35\degree\) og \(y\)-koordinaten er \(\sin 35\degree\), så er

\[ \cos 35 \degree = 0.82 \quad \text{og} \quad \sin 35 \degree = 0.57 \]

b

Bruk det interaktive vinduet til å bestemme

\[ \cos 145 \degree \quad \text{og} \quad \sin 145 \degree \]

Fasit

\[ \cos 145 \degree = -0.82 \quad \text{og} \quad \sin 145 \degree = 0.57 \]

Løsning

\(v = 145 \degree\) gir \(P(-0.82, 0.57)\). \(x\)-koordinaten er \(\cos 145\degree\) og \(y\)-koordinaten er \(\sin 145\degree\). Da følger det at

\[ \cos 145 \degree = -0.82 \quad \text{og} \quad \sin 145 \degree = 0.57 \]

c

Bruk det interaktive vinduet til å bestemme

\[ \cos 0 \degree \quad \text{og} \quad \sin 0 \degree \]

Fasit

\[ \cos 0 \degree = 1 \quad \text{og} \quad \sin 0 \degree = 0 \]

Løsning

\(v = 0 \degree\) gir \(P(1, 0)\). Fordi \(\cos 0 \degree\) er \(x\)-koordinaten og \(\sin 0 \degree\) er \(y\)-koordinaten, så er

\[ \cos 0 \degree = 1 \quad \text{og} \quad \sin 0 \degree = 0 \]

d

Bruk det interaktive vinduet til å bestemme

\[ \cos 90 \degree \quad \text{og} \quad \sin 90 \degree \]

Fasit

\[ \cos 90 \degree = 0 \quad \text{og} \quad \sin 90 \degree = 1 \]

Løsning

\(v = 90 \degree\) gir \(P(0, 1)\). Fordi \(\cos 90\degree\) er \(x\)-koordinaten og \(\sin 90\degree\) er \(y\)-koordinaten, så er

\[ \cos 90 \degree = 0 \quad \text{og} \quad \sin 90 \degree = 1 \]

e

Bruk det interaktive vinduet til å bestemme

\[ \cos 180 \degree \quad \text{og} \quad \sin 180 \degree \]

Fasit

\[ \cos 180 \degree = -1 \quad \text{og} \quad \sin 180 \degree = 0 \]

Løsning

\(v = 180 \degree\) gir \(P(-1, 0)\). Fordi \(\cos 180\degree\) er \(x\)-koordinaten og \(\sin 180\degree\) er \(y\)-koordinaten, så er

\[ \cos 180 \degree = -1 \quad \text{og} \quad \sin 180 \degree = 0 \]

f

Bruk det interaktive vinduet til å bestemme

\[ \cos 245 \degree \quad \text{og} \quad \sin 245 \degree \]

Fasit

\[ \cos 245 \degree = -0.42 \quad \text{og} \quad \sin 245 \degree = -0.91 \]

Løsning

\(v = 245 \degree\) gir \(P(-0.42, -0.91)\). Siden \(x\)-koordinaten er \(\cos 245\degree\) og \(y\)-koordinaten er \(\sin 245\degree\), så er

\[ \cos 245 \degree = -0.42 \quad \text{og} \quad \sin 245 \degree = -0.91 \]

g

Bruk det interaktive vinduet til å bestemme

\[ \cos 315 \degree \quad \text{og} \quad \sin 315 \degree \]

Fasit

\(v = 315 \degree\) gir \(P(0.71, -0.71)\). Dermed er

\[ \cos 315 \degree = 0.71 \quad \text{og} \quad \sin 315 \degree = -0.71 \]

Løsning

\(v = 315 \degree\) gir \(P(0.71, -0.71)\). Siden \(x\)-koordinaten er \(\cos 315\degree\) og \(y\)-koordinaten er \(\sin 315\degree\), så er

\[ \cos 315 \degree = 0.71 \quad \text{og} \quad \sin 315 \degree = -0.71 \]

Oppgave 2

Noen ganger når du har løst likninger som \(\sin(v\degree) = 0.5\), så har du fått to løsninger. Det samme gjelder for \(\cos(v\degree) = 0.5\). I denne oppgaven skal du finne ut hvorfor det er slik.

Nedenfor vises et interaktivt vindu hvor enhetssirkelen er tegnet inn med en vinkel \(v\) som kan varieres.

a

Bestem ved hvilke to vinkler \(\sin v = 0.5\).

Fasit

\[ v = 30\degree \or v = 150\degree \]

Løsning

Vi finner \(\sin v\) ved å se på \(y\)-koordinaten til punktet \(P\) på enhetssirkelen.

Setter vi \(v = 30\degree\), får vi \(P(0.87, 0.5)\) som betyr at \(\sin 30\degree = 0.5\). Setter vi \(v = 150\degree\), får vi \(P(-0.87, 0.5)\) som betyr at \(\sin 150\degree = 0.5\). Dermed er

\[ \sin v = 0.5 \liff v = 30\degree \or v = 150\degree \]

b

Bestem ved hvilke to vinkler \(\cos v = 0.5\).

Fasit

\[ v = 60\degree \or v = 300\degree \]

Løsning

Vi finner \(\cos v\) ved å se på \(x\)-koordinaten til punktet \(P\) på enhetssirkelen.

Setter vi \(v = 60\degree\) får vi \(P(0.5, 0.87)\). Dermed er \(\cos 60\degree = 0.5\). Setter vi \(v = 300\degree\) får vi \(P(0.5, -0.87)\). Dermed er \(\cos 300\degree = 0.5\). Altså har vi at

\[ \cos v = 0.5 \liff v = 60\degree \or v = 300\degree \]

c

Bestem ved hvilke to vinkler \(\cos v = -0.5\).

Fasit

\[ v = 120\degree \or v = 240\degree \]

Løsning

Vi husker på at \(\cos v\) er \(x\)-koordinaten til punktet \(P\) på enhetssirkelen. Vi må lete etter punkt \(P\), der \(x\)-koordinaten er \(-0.5\) for å bestemme hvilke vinkler \(v\) som medfører at \(\cos v = -0.5\).

Setter vi \(v = 120\degree\), vi \(P(-0.5, 0.87)\). Dermed er \(\cos 120\degree = -0.5\). Setter vi \(v = 240\degree\), får vi \(P(-0.5, -0.87)\) som betyr at \(\cos 240\degree = -0.5\). Dermed er

\[ \cos v = -0.5 \liff v = 120\degree \or v = 240\degree \]

d

Bestem ved hvilke to vinkler \(\sin v = -0.71\).

Fasit

\[ v = 225\degree \or v = 315\degree \]

Løsning

Vi husker på at \(\sin v\) er \(y\)-koordinaten til punktet \(P\) på enhetssirkelen. Vi må lete etter punkter \(P\) der \(y = -0.71\) for å bestemme hvilke vinkler \(v\) som medfører at \(\sin v = -0.71\).

Setter vi \(v = 225 \degree\), får vi \(P(-0.71, -0.71)\) som betyr at \(\sin 225\degree = -0.71\). Setter vi \(v = 315 \degree\), får vi \(P(0.71, -0.71)\) som betyr at \(\sin 315\degree = -0.71\). Dermed er

\[ \sin v = -0.71 \liff v = 225\degree \or v = 315\degree \]

Oppgave 3

Nedenfor vises enhetssirkelen med et punkt \(P(x, y)\) på sirkelen slik at \(OP = 1\), der \(O(0, 0)\) er origo.

Bruk figuren til å forklare at

\[ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 \]

Løsning

Først kan vi merke oss at vi har en rettvinklet trekant der den ene kateten er \(x\), den andre er \(y\) og hypotenusen er \(1\). Pytagoras’ setning forteller oss da at

\[ x^2 + y^2 = 1^2 \liff x^2 + y^2 = 1. \]

Siden \(\cos v\) er \(x\)-koordinaten til punktet på enhetssirkelen, og \(\sin v\) er \(y\)-koordinaten, følger der derfor at

\[ x = \cos v \and y = \sin v \]

som betyr at

\[ x^2 + y^2 = 1 \liff (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 \]

Oppgave 4

Nedenfor vises en trekant innskrevet i en sirkel med radius \(1\) der \(P\) ligger på sirkelen.

a

Bestem sidelengdene i trekanten.

Løsning

Trekanten har to sidelengder som går fra origo ut til sirkelen som betyr at sidelengdene er \(1\). Den tredje siden kan vi bestemme ved å bruke Pytagoras’ setning ved å merke oss at vi får en rettvinklet trekant ved å trekke en normal ned fra punktet \(P\) til \(x\)-aksen. Kateten på \(x\)-aksen blir da

\[ x = 1 - \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

og kateten langs \(y\)-aksen blir \(y = \dfrac{1}{2}\). Da følger det at lengden \(h\) av sidelengden på motstående side av vinkelen er

\[\begin{align*} h^2 &= x^2 + y^2 \\ \\ &= \left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ \\ &= 1^2 + 2\cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ \\ &= 1 + \sqrt{3} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \\ \\ &= 2 + \sqrt{3} \\ \end{align*}\]

Dermed er sidelengden

\[ h = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \]

b

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

\[ T = \dfrac{1}{4} \]

Løsning

Vi skriver opp arealsetningen der vi bruker at sidelengdene som spenner ut vinkelen på \(150\degree\) er begge \(1\). Med arealsetningen får vi derfor at arealet \(T\) er

\[ T = \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 \cdot \sin 150\degree = \dfrac{1}{2}\cdot \sin 150\degree \]

Vi kan lese av \(\sin 150\degree\) fra punktet på enhetssirkelen ved å se på \(y\)-koordinaten som er

\[ \sin 150\degree = y = \dfrac{1}{2} \]

Dermed er arealet av trekanten gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2}\cdot \sin 150\degree = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \]

Oppgave 5

Nedenfor vises enhetssirkelen med en vinkelbue på \(240\degree\).

Bruk figuren til å bestemme en eksakt verdi for \(\sin 240\degree\) og \(\cos 240\degree\) når du vet at \(\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}\)

Løsning

Vi vet at \(x\)-koordinaten til punktet på enhetssirkelen er \(\cos 240\degree\) og \(y\)-koordinaten er \(\sin 240\degree\). Vi må derfor bestemme koordinatene til dette punktet.

Den rettvinklede trekanten som er tegnet inn vil ha en vinkel som er \(30\degree\) og en hypotenus med lengde \(1\). Vi kan tegne følgende hjelpefigur for trekanten:

Fra trekanten kan vi se at

\[ \sin 30\degree = \dfrac{x}{1} = x \]

Fra opplysningene i oppgaven, vet vi at \(\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}\). Men siden \(x\)-koordinaten skal være negativ, betyr at vi må sette

\[ x = -\dfrac{1}{2} \]

Med Pytagoras’ setning kan vi finne lengden \(y\):

\[ x^2 + y^2 = 1 \liff \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 1 \liff \dfrac{1}{4} + y^2 = 1 \]

som gir

\[ y^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \limplies y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

I det siste steget velger vi den negative løsningen fordi \(y\)-koordinaten på enhetssirkelen er negativ.

Dermed har vi funnet at

\[ (x, y) = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = (\cos 240\degree, \sin 240\degree) \]

Oppgave 6

Nedenfor vises en sirkel med radius \(1\). Vinkelen mellom \(x\)-aksen og \(OP\) er \(50 \degree\).

a

Bruk figuren til å avgjøre om \(\tan 50\degree > 1\).

Løsning

Siden

\[ \tan 50\degree = \dfrac{\sin 50 \degree}{\cos 50 \degree} \]

og vi vet at \(x\)-koordinaten til punktet på enhetssirkelen er \(\cos 50 \degree\) og \(y\)-koordinaten er \(\sin 50 \degree\), så kan vi hente ut verdiene fra punktet og avgjøre om \(\tan 50\degree > 1\). Vi har at

\[ \sin 50\degree \approx 0.77 \quad \text{og} \quad \cos 50\degree \approx 0.64 \]

som betyr at

\[ \tan 50\degree = \dfrac{0.77}{0.64} > 1 \]

siden telleren er større enn nevneren. Dermed er \(\tan 50\degree > 1\).

b

Avgjør om \(\tan 130 \degree > \tan 50\degree\).

Løsning

Vi vet at

\[ \sin \left(180\degree - 50\degree\right) = \sin 130\degree = \sin 50\degree \]

og

\[ \cos \left(180\degree - 50\degree\right) = \cos 130\degree = -\cos 50\degree \]

Dermed har vi at

\[ \tan 130\degree = \dfrac{\sin 130\degree}{\cos 130\degree} = \dfrac{\sin 50\degree}{-\cos 50\degree} = -\dfrac{\sin 50\degree}{\cos 50\degree} = -\tan 50\degree \]

Siden \(\tan 50\degree > 0\), så er \(\tan 130\degree < 0\). Dermed er \(\tan 130\degree < \tan 50\degree\), så påstanden er usann.

Oppgave 7

Nedenfor vises et interaktivt vindu hvor enhetssirkelen er tegnet inn med en vinkel \(v\) som kan varieres.

a

Hvis \(\cos v = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87\), hvilke verdier kan \(v\) ha?

Fasit

\[ v = 30\degree \or v = 330\degree \]

b

Ved hvilke vinkler \(v\) er \(\sin v = \cos v\)?

Fasit

\[ v = 45\degree \or v = 225\degree \]

c

Ved hvilke vinkler \(v\) er \(\tan v = 1\)?

Fasit

\[ v = 45\degree \or v = 225\degree \]

d

Hvis \(\sin v = -0.5\), hvilke verdier kan \(\cos v\) ha?

Fasit

\[ \cos v \approx 0.87 \or \cos v \approx -0.87 \]

Oppgave 8

Nedenfor vises et interaktivt vindu hvor enhetssirkelen er tegnet inn med en vinkel \(v\) som kan varieres.

a

Løs ulikheten \(\sin v > 0\).

Fasit

\[ v \in \langle 0\degree, 180\degree \rangle \]

b

Løs ulikheten \(\sin v > \cos v\).

Fasit

\[ v \in \langle 45\degree, 225\degree \rangle \]

c

Løs ulikheten \(\tan v < 0\).

Fasit

\[ v \in \langle 90\degree, 180\degree\rangle \cup \langle 270\degree, 360\degree \rangle \]