Oppgaver:
Generelle rasjonale funksjoner

Oppgave 1

Bestem nullpunktene til funksjonene.

a

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 1} \]

Fasit

\[ x = -2 \or x = 2 \]

Løsning

Vi leter først etter nullpunktene til tellerpolynomet:

\[ x^2 - 4 = 0 \liff (x + 2)(x - 2) = 0 \liff x = -2 \or x = 2. \]

Til slutt vi må sjekke nullpunktene til nevnerpolynomet og ekskludere nullpunkter de har til felles:

\[ x + 1 = 0 \liff x = -1. \]

Teller- og nevnerpolynomet har ingen felles nullpunkter som betyr at \(f\) har samme nullpunkter som tellerpolynomet. Dermed har vi at nullpunktene til \(f\) er

\[ x = -2 \or x = 2. \]

b

\[ g(x) = \dfrac{x - 1}{(x + 3)^2} \]

Fasit

\[ x = 1 \]

Løsning

Tellerpolynomet og nevnerpolynomet er allerede nullpunktsfaktorisert, og vi kan se at de ikke har noen felles faktorer. Derfor holder det å bestemme nullpunktene til tellerpolynomet:

\[ x - 1 = 0 \liff x = 1. \]

Dermed er nullpunktet til \(g\)

\[ x = 1. \]

c

\[ h(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x^2 - 4} \]

Fasit

\[ x = -3 \]

Løsning

Tellerpolynomet er nullpunktsfaktorisert allerede, men vi må nullpunktsfaktorisere nevnerpolynomet for å sjekke om de to polynomeme har noen lineære faktorer til felles. Vi bruker konjugatsetningen på nevnerpolynomet:

\[ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2)(x - 2). \]

Dermed kan vi skrive

\[ h(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{x + 3}{x + 2}, \quad x \neq 2. \]

Vi ser altså at \(x = -2\) er et bruddpunkt for \(h\) siden det er nullpunkt for både teller og nevner. Nå kan vi lete etter nullpunktene til \(h\) ved å undersøke når tellerpolynomet er null:

\[ x + 3 = 0 \liff x = -3. \]

Dermed er nullpunktet til \(h\) gitt ved

\[ x = -3. \]

d

\[ p(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 9} \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 2. \]

Løsning

Vi starter med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å sjekke om de har noen felles lineære faktorer. Vi bruker \(abc\)-formelen på tellerpolynomet:

\[\begin{split} x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 \pm 8}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2} = \begin{cases} 2 \\ -1 \end{cases} \end{split}\]

Dermed kan vi nullpunktsfaktorisere tellerpolynomet som

\[ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2). \]

Så nullpunktsfaktoriserer vi nevnerpolynomet med konjugatsetningen:

\[ x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3). \]

De har ingen lineær faktor til felles, så da holder det å bestemme nullpunktene til tellerpolynomet for å finne nullpunktene til \(p\). Disse fant vi med \(abc\)-formelen som ga oss

\[ x = -1 \or x = 2. \]

---

Oppgave 2

Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningene til de horisontale eller skrå asymptotene til funksjonene.

a

\[ f(x) = \dfrac{4x - 6}{2x + 1} \]

Fasit

\[ y = 2 \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon for å lese av kvotienten \(K(x)\) i divisjonen:

Vi kan se at kvotienten er \(K(x) = 2\) som betyr at likningen for den horisontale asymptoten er \(y = 2\).

b

\[ g(x) = \dfrac{4x^2 + x - 8}{x^2 + 1} \]

Fasit

\[ y = 4 \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten \(K(x)\) i divisjonen:

Fra divisjonen får vi at \(K(x) = 4\) som betyr at likningen for den horisontale asymptoten er \(y = 4\).

c

\[ h(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 5} \]

Fasit

\[ y = x - 4. \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten \(K(x)\) i divisjonen:

Fra divisjonen får vi at \(K(x) = x - 4\) som betyr at likningen for den skrå asymptoten er \(y = x - 4\).

d

\[ p(x) = \dfrac{x + 3}{x^2 + 2x + 1} \]

Fasit

\[ y = 0 \]

Løsning

Tellergraden er lavere enn nevnergraden som betyr at telleren allerede er et restpolynom i divisjonen. Derfor vil kvotienten være \(K(x) = 0\) og vi får at likningen til den horisontale asymptoten er \(y = 0\).

---

Oppgave 3

Bestem likningene til de vertikale asymptotene til hver av funksjonene (dersom de eksisterer).

a

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 9} \]

Fasit

\[ x = -3 \or x = 3. \]

Løsning

Vi må starte med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å sjekke om de har noen felles faktorer. Med konjugatsetningen kan vi skrive:

\[ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2)(x - 2) \]

og

\[ x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3). \]

Dermed har vi at

\[ f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 3)(x - 3)} \]

Vi kan se at telleren og nevner ikke har noen felles faktorer, som betyr at vi nå trygt kan finne de vertikale asymptotene ved å se på nullpunktene til nevneren:

\[ (x + 3)(x - 3) = 0 \liff x = -3 \or x = 3. \]

som er likningene til de vertikale asymptotene til \(f\).

b

\[ g(x) = \dfrac{x^2 - x - 6}{(x + 3)(x - 4)} \]

Løsning

Vi starter med å nullpunktsfaktorisere tellerpolynomet for å se etter lineære faktorer som er felles:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \]

Dermed får vi

\[ g(x) = \dfrac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 3)(x - 4)} \]

Vi ser at tellerpolynomet og nevnerpolynomet ikke deler noen lineære faktorer, så vi kan bestemme de vertikale asymptotene ved å se på nullpunktene til nevnerpolynomet:

\[ (x + 3)(x - 4) = 0 \liff x = -3 \or x = 4. \]

Dermed likningene til de vertikale asymptotene \(x = -3\) og \(x = 4\).

c

\[ h(x) = \dfrac{x + 3}{x^2 + 6x + 9} \]

Fasit

\[ x = -3. \]

Løsning

Vi starter med å se de lineære faktorene i teller- og nevnerpolynomet. Vi kan skrive om nevnerpolynomet med 1.kvadratsetning:

\[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]

som betyr at \(f(x)\) kan skrives om til

\[ f(x) = \dfrac{x + 3}{(x + 3)^2} = \dfrac{1}{x + 3} \]

Vi har eliminert alle felles lineære faktorer, og kan gå videre på se etter vertikale asymptoter ved å bestemme nullpunktene til nevnerpolynomet:

\[ x + 3 = 0 \liff x = -3. \]

Dermed har \(f\) er en vertikal asymptote i \(x = -3\).

d

\[ p(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 3}{x + 1} \]

Fasit

Ingen vertikale asymptoter.

Løsning

Vi starter med å se om teller- og nevnerpolynomet har felles lineære faktorer og kvitter oss med dem. Vi skriver om tellerpolynomet med fullstendig kvadraters metode:

\[ x^2 + 4x + 3 = x^2 + 4x + 2^2 - 2^2 + 3 = (x + 2)^2 - 1 = (x + 1)(x + 3) \]

Dermed kan vi skrive \(p(x)\) som

\[ p(x) = \dfrac{(x + 1)(x + 3)}{x + 1} = x + 3, \quad x \neq -1. \]

Vi ser at selv om \(x = -1\) er et bruddpunkt for \(p\) siden det er nullpunktet til nevnerpolynomet, så vil det ikke være en vertikal asymptote fordi tellerpolynomet hadde én av den samme lineære faktoren. Dermed har \(p\) ingen vertikale asymptoter.

---

Oppgave 4

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 4}{x - 2} \]

Nedenfor vises 4 figurer der én av dem viser grafen til \(f\).

Bestem hvilken graf som hører til \(f\).

Fasit

Graf C.

---

Oppgave 5

To rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 2x + 1} \quad \text{og} \quad g(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 2x - 3} \]

Nedenfor viser 4 figurer der én av dem viser grafen til \(f\) og én av dem viser grafen til \(g\).

a

Bestem hvilken graf som tilhører \(f\).

Fasit

Graf B.

b

Bestem hvilken graf som tilhører \(g\).

Fasit

Graf C.

---

Oppgave 6

To rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 + 4x +4} \quad \text{og} \quad g(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} \]

Nedenfor vises 4 figurer. Én av dem viser grafen til \(f\) og én av dem viser grafen til \(g\).

a

Bestem hvilken graf som tilhører \(f\).

Fasit

Graf A.

b

Bestem hvilken graf som tilhører \(g\).

Fasit

Graf C.

---

Oppgave 7

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 16}{(x + 2)(x - 2)} \]

a

Bestem nullpunktene til \(f\).

Fasit

\[ x = \pm 4. \]

Løsning

Vi starter med å se etter nullpunktene til tellerpolynomet:

\[ x^2 - 16 = 0 \liff x^2 = 16 \liff x = \pm 4. \]

Ingen av disse er også nullpunkter for nevnerpolynomet, så som betyr at nullpunktene til \(f\) er

\[ x = \pm 4. \]

b

Bestem likningen til den horisontale asymptoten til \(f\).

Fasit

\[ y = 1. \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten \(K(x)\):

Dermed er \(K(x) = 1\) som betyr at likningen til den horisontale asymptoten er

\[ y = 1. \]

c

Bestem likningene til \(f\) sine vertikale asymptoter, dersom de eksisterer.

Fasit

\[ x = \pm 2. \]

Løsning

Vi starter med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å eliminere felles faktorer. Fra a har vi at nullpunktene til tellerpolynomet er \(x = \pm 4\). Det betyr at vi kan skrive \(f(x)\) som

\[ f(x) = \dfrac{(x + 4)(x - 4)}{(x + 2)(x - 2)} \]

siden den ledende koeffisientene til tellerpolynomet var \(1\). Vi kan ikke eliminere noen lineære faktorer som betyr at vi kan gå rett på å bestemme nullpunktene til nevnerpolynomet for å bestemme likningene til \(f\) sine vertikale asymptoter:

\[ (x + 2)(x - 2) = 0 \liff x = -2 \or x = 2. \]

som er likningene til de vertikale asymptotene til \(f\).

d

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).

Fasit

e

Lag en skisse av grafen til \(f\). Skissen skal inneholde:

• Nullpunktene til \(f\).

• Horisontale asymptoter.

• Vertikale asymptoter.

Fasit

f

Løs ulikheten \(f(x) \geq 0\).

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -4] \cup \langle -2, 2 \rangle \cup [4, \to \rangle. \]

Løsning

Vi bruker fortegnslinja til \(f(x)\) som vi tegnet i d til å bestemme hvor \(f(x) \geq 0\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi se at \(f(x) \geq 0\) når

\[ x \in \langle \gets, -4] \cup \langle -2, 2 \rangle \cup [4, \to \rangle. \]

---

Oppgave 8

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 8x + 12}{(x - 2)(x + 3)} \]

a

Bestem nullpunktene til \(f\).

Fasit

\[ x = 6. \]

Løsning

Nullpunktene til \(f\) er gitt ved nullpunktene til tellerpolynomet så lenge nevnerpolynomet ikke også har samme nullpunkter. Nullpunktene til tellerpolynomet kan vi bestemme med \(abc\)-formelen som gir

\[\begin{align*} x &= \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4\cdot 1 \cdot 12}}{2\cdot 1} \\ \\ &= \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} \\ \\ &= \dfrac{8 \pm \sqrt{16}}{2} \\ \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \\ \\ &= 4 \pm 2. \end{align*}\]

Dermed er nullpunktene til tellerpolynomet

\[ x = 2 \or x = 6. \]

Nullpunktene til nevnerpolynomet er

\[ (x - 2)(x + 3) = 0 \liff x = 2 \or x = -3. \]

Dermed er \(x = 2\) et felles nullpunkt for både teller- og nevnerpolynomet og dette kan derfor ikke være et nullpunkt for \(f\). Dermed har \(f\) kun ett nullpunkt i

\[ x = 6. \]

b

Bestem likningene til asymptotene til \(f\) dersom de eksisterer.

Fasit

Horisontale/skrå asymptoter

\[ y = 1. \]

Vertikale asymptoter

\[ x = -3. \]

Løsning

Horisontale/skrå asymptoter

For å bestemme eventuelle horisontale eller skrå asymptoter, utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten \(K(x)\):

Fra polynomdivisjonen finner vi at \(K(x) = 1\) som betyr at likningen til den horisontale asymptoten til \(f\) er

\[ y = 1. \]

Vertikale asymptoter

For å bestemme likningene til eventuelle vertikale asymptoter, faktoriserer vi teller- og nevnerpolynomet og eliminerer alle lineære faktorer som er felles. Vi har at

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 8x + 12}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{(x - 2)(x - 6)}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{x - 6}{x + 3} \]

der vi forutsetter at \(x \neq 2\). For å bestemme de vertikale asymptotene til \(f\) ser vi på nullpunktene til nevnerpolynomet som gjenstår som gir:

\[ x + 3 = 0 \liff x = -3. \]

Likningen til den vertikale asymptoten til \(f\) er derfor

\[ x = -3. \]

c

Lag en skisse av grafen til \(f\). Skissen skal inneholde:

• Nullpunkter

• Horisontale/skrå asymptoter

• Vertikale asymptoter

• “Hull” i grafen til \(f\) (bruddpunkter).

Hint: Det kan være lurt å tegne et fortegnsskjema for \(f(x)\) først.

Fasit

Løsning

Vi har allerede sett at vi kan skrive \(f(x)\) som

\[ f(x) = \dfrac{x - 6}{x + 3} \]

så lenge \(x \neq 2\). I \(x = 2\) vil grafen til \(f\) ha et hull, men vil ellers oppføre som en lineær-over-lineær rasjonal funksjon slik som vi har uttrykt over. Vi kan tegne et fortegnsskjema for det forenklede uttrykket for \(f(x)\) og så må vi huske på at \(x = 2\) representerer et bruddpunkt.

Denne informasjonen om fortegnet til \(f(x)\) sammen med asymptotene \(y = 1\) og \(x = -3\) kan vi skissere grafen til \(f\) som følger:

d

Løs ulikheten \(f(x) \leq 0\).

Fasit

\[ x \in \langle -3, 6] \setminus \{2\}. \]

Løsning

For å løse ulikheten \(f(x) \leq 0\) bruker vi fortegnslinja til \(f(x)\) som vi tegnet i c:

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi lese av at for det forenklede uttrykket er \(f(x) \leq 0\) når

\[ x \in \langle -3, 6]. \]

Men så var \(x = 2\) et bruddpunkt for \(f\) og siden \(2 \in \langle -3, 6]\) så må vi ekskludere \(2\) fra løsningsmengden. Dermed er løsningen til ulikheten

\[ x \in \langle -3, 6] \setminus \{2\}. \]

---

Oppgave 9

I 1T skal du ikke lære å finne \(f'(x)\) for den deriverte til en rasjonal funksjon \(f\). Likevel kan vi finne ut mye om \(f'\) fra grafen til \(f\).

I Fig. 22.5 vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1} \]

Fig. 22.5 viser grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

a

Bestem nullpunktet og likningene til asymptotene til \(f\).

Fasit

• Nullpunkt: \(x = 2\).

• Vertikal asymptote: \(x = -1\).

• Horisontal asymptote: \(y = 1\).

b

Bruk grafen til \(f\) til å bestemme den horisontale asymptoten til \(f'\).

Fasit

\[ y = 0. \]

c

Grafen til \(f'\) har samme vertikal asymptote som \(f\).

Tegn en fortegnslinje for \(f'(x)\).

Fasit

d

Lag en skisse av grafen til \(f'\). Skissen skal inneholde (hvis de eksisterer):

• Nullpunktene til \(f'\).

• Vertikale asymptoter til \(f'\).

• Horisontale asymptoter til \(f'\).

Fasit

• Ingen nullpunkter

• Vertikal asymptote: \(x = -1\).

• Horisontal asymptote: \(y = 0\) (\(x\)-aksen).

---

Oppgave 10

I Fig. 22.6 vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{-x^2 + 1}{x^2 - 4} \]

Fig. 22.6 viser grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

a

Bestem nullpunktene og likningene til asymptotene til \(f\).

Fasit

• Nullpunkter: \(x = \pm 1\).

• Vertikale asymptoter: \(x = \pm 2\).

• Horisontal asymptote: \(y = -1\).

b

Bruk grafen til å bestemme nullpunktene til \(f'\).

Fasit

\[ x = 0. \]

c

Bruk grafen til \(f\) til å bestemme likningen til den horisontale asymptoten til \(f'\).

Fasit

\[ y = 0. \]

d

Tegn en fortegnslinje for \(f'(x)\).

Fasit

e

Lag en skisse av grafen til \(f'\). Skissen skal inneholde:

• Nullpunktene til \(f'\).

• Vertikale asymptoter til \(f'\).

• Horisontale asymptoter til \(f'\).

Fasit

• Nullpunkt: \(x = 0\).

• Vertikale asymptoter: \(x = -2\) og \(x = 2\).

• Horisontal asymptote: \(y = 0\).

---

Oppgave 11

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 8}{x^m + 8}, \quad m \in \mathbb{N}. \]

Nedenfor følger noen påstander.

1. Avgjør om påstanden er sann eller usann.

2. Hvis påstanden er usann, rett opp i påstanden så den blir sann.

Påstand 1

Grafen til \(f\) har én vertikal asymptote så lengde \(m\) er et oddetall.

Fasit

Påstanden er usann når \(m = 3\). Påstanden er sann for alle andre oddetall.

Påstand 2

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i to punkter for alle \(m \in \mathbb{N}\).

Fasit

Påstanden er usann for \(m = 3\). Påstanden er sann for alle \(m \in \mathbb{N} \setminus \{3\}\).

Påstand 3

Grafen til \(f\) har en skrå asymptote kun når \(m = 1\).

Fasit

Påstanden er sann fordi det er kun når \(m = 1\) at tellerpolynomet er én grad høyere enn nevnerpolynomet.