Sinus, cosinus og tangens

Innhold

34. Sinus, cosinus og tangens#

Læringsmål

Kunne bestemme \(\sin v\), \(\cos v\) og \(\tan v\) for en vinkel \(v\) i en rettvinklet trekant.
Kjenne til sammenhengen mellom \(\tan v\), og \(\sin v\) og \(\cos v\).

Trigonometri er en del av geometrien som handler om trekanter. Her skal vi se på tre trigonometriske størrelser som er sentrale i trigonometri: sinus, cosinus og tangens. Disse størrelsene er forholdstall som er avhengig av en bestemt vinkel \(v\) i en rettvinklet trekant.

Motstående og hosliggende kateter#

Når vi jobber med rettvinklede trekanter, kommer vi til å få bruk for å kategorisere sidene i trekanten.

Motstående og hosliggende kateter

I en rettvinklet trekant, vil katetene i trekanten ha to navn:

Den motstående kateten er kateten som står på motsatt side av vinkelen.
Den hosliggende kateten er kateten som spenner ut vinkelen.

Om en katet er motstående eller hosliggende er altså avhengig av hvilken vinkel vi ser på.

Underveisoppgave 1

En trekant \(\triangle ABC\) er vist til høyre.

a

Hvilken sidelengde er motstående katet til vinkel \(A\)?
Hvilken sidelengde er hosliggende katet til vinkel \(A\)?

Fasit

\(BC\) er motstående katet til vinkel \(A\).
\(AB\) er hosliggende katet til vinkel \(A\).

b

Hvilken sidelengde er motstående katet til vinkel \(A\)?
Hvilken sidelengde er hosliggende katet til vinkel \(A\)?

Fasit

\(AB\) er motstående katet til vinkel \(C\).
\(BC\) er hosliggende katet til vinkel \(C\).

\(\sin v\) og \(\cos v\)#

Vi skal nå se på de to mest grunnleggende trigonometriske størrelsene. Den ene er sinus til en vinkel \(v\) og skrives som \(\sin v\). Den andre er cosinus til en vinkel \(v\) og skrives som \(\cos v\).

Definisjon: Sinus og Cosinus

Sinus og cosinus til en vinkel \(v\) i en rettvinklet trekant er definert som forholdstallene:

\[ \sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} \]

\[ \cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} \]

Vi skriver ofte \(\sin A\) og \(\cos A\) når vi snakker om vinkelen i et hjørne \(A\) i en trekant, og tilsvarende for vinklene \(B\) og \(C\).

Eksempel 1

En trekant \(\triangle ABC\) er vist til høyre.

Bestem \(\sin A\) og \(\cos A\).
Bestem \(\sin C\) og \(\cos C\).

Løsning

For vinkel \(A\), vil \(AB = 3\) være hosliggende katet og \(BC = 4\) være motstående katet, og \(AC = 5\) er hypotenusen. Det betyr at

\[ \sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{4}{5} \qog \cos A = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{5} \]

For vinkel \(C\) vil \(BC = 4\) være hosliggende katet og \(AB = 3\) være motstående katet, og \(AC = 5\) er hypotenusen. Det betyr at

\[ \sin C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{5} \qog \cos C = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{4}{5} \]

Underveisoppgave 2

En trekant \(\triangle ABC\) er vist til høyre.

a

Bestem \(\sin A\).

Fasit

\[ \sin A = \dfrac{1}{2}. \]

b

Bestem \(\cos A\).

Fasit

\[ \cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]

c

Bestem \(\sin C\).

Fasit

\[ \sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]

d

Bestem \(\cos C\).

Fasit

\[ \cos C = \dfrac{1}{2}. \]

\(\tan v\)#

En annen trigonometrisk størrelse som er spesielt nyttig å måle avstander er tangens til en vinkel \(v\) som vi skriver som \(\tan v\). Eksempel på anvendelser er:

Måle høyden til bygninger eller trær
Måle avstanden til stjerner eller galakser
Måle høyden til fjell

Definisjon: Tangens

Tangens til en vinkel \(v\) i en rettvinklet trekant er definert som forholdstallet:

\[ \tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} \]

Denne definisjonen er ekvivalent med at

\[ \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} \]

Eksempel 2

En trekant \(\triangle ABC\) er vist til høyre.

Bestem \(\tan 30 \degree\).

Løsning

Vi kan bruke definisjonen av tangens til å finne at

\[ \tan 30 \degree = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}. \]

Underveisoppgave 3

En trekant \(\triangle ABC\) er vist til høyre.

Bestem \(\tan 60 \degree\).

Fasit

\[ \tan 60 \degree = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}. \]

Kjente vinkler for \(\sin v\) og \(\cos v\)#

For en bestemt vinkel \(v\), vil \(\sin v\), \(\cos v\) og \(\tan v\) ha samme verdi uansett hvor stor eller liten en trekant er. Verdiene er bare avhengig av forholdstallet mellom katetene, og hypotenusen. Derfor er det naturlig å tenke på de tre trigonometriske størrelsene som funksjoner av vinkelen \(v\).

Vi skal her se på noen eksakte verdier for \(\sin v\) og \(\cos v\) for noen utvalgte vinkler som vil bli nyttig i mange problemstillinger.

Eksempel 3

En trekant \(\triangle ABC\) er vist til høyre.

Bestem eksakte verdier for \(\sin 30 \degree\) og \(\cos 30 \degree\).

Fasit

\[ \sin 30 \degree = \dfrac{1}{2} \qog \cos 30 \degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]