29. Eksponentialfunksjoner#
Læringsmål
Kunne veksle mellom prosentvis endring og vekstfaktor.
Kunne sette opp og tolke eksponentialfunksjoner i praktiske situasjoner.
Kunne lage matematiske modeller ved bruk av regresjon.
Kunne skrive enkle programmer som bruker prosentvis endring og eksponentiell vekst.
Eksponentialfunksjoner er en type funksjon som brukes til å beskrive prosesser der noe vokser eller minker med en fast prosentvis endring. Funksjonen dukker opp i mange sammenhenger i naturvitenskap, økonomi, samfunnsvitenskap og teknologi.
For at vi skal kunne forstå eksponentialfunksjoner, er det viktig at vi har en god forståelse av prosentregning og vekstfaktor først.
Prosent#
Når vi jobber med prosentregning, kan vi representere en prosent på tre ulike måter:
Prosent
Tre ulike måter å representere en prosent på:
Vi kan dermed tolke at prosenttegnet betyr \(\% = \dfrac{1}{100} = 0.01\).
Underveisoppgave 1
Ta quizen! Flere alternativer kan være riktig.
Vekstfaktor#
Når en størrelse øker eller minker med en viss prosent, vil forholdet mellom den nye verdien \(N\) og den gamle verdien \(G\) være noe vi kaller for vekstfaktoren \(V\) til endringen. Vi skriver
Det kan da være naturlig å lure på om vi kan finne en generell beskrivelse av vekstfaktoren \(V\) dersom vi vet hvor mange prosent \(p\) en størrelse øker eller minker med. Vi vet at verdien før endringen \(G\) skal endres med en prosent \(p\), så vi kan derfor skrive at verdien etter endringen er
Sammenlikner vi de to likningene over, kan vi konkludere at vekstfaktoren generelt sett kan uttrykkes som
Vekstfaktor
Vekstfaktoren \(V\) når en verdi endres med en viss prosent \(p\) er gitt ved
der \(p\) er den prosentvise endringen.
\(p > 0\) brukes for økning. Da er \(V > 1\).
\(p < 0\) brukes for nedgang. Da er \(0 < V < 1\).
Eksempel 1
Bestem vekstfaktoren til \(20\%\) økning.
Løsning
Vekstfaktoren \(V\) til \(20\%\) økning er
Underveisoppgave 2
Bestem vekstfaktoren til \(30\%\) nedgang.
Fasit
Løsning
Vekstfaktoren til \(30\%\) nedgang er
Eksponentialfunksjoner#
Nå er vi klare for å se på hva en eksponentialfunksjon er. Vi skriver en eksponentialfunksjon \(f\) på formen
For å se hva det har med en prosentregning og vekstfaktorer å gjøre, kan vi se på sammenhengen mellom \(f(x)\) og \(f(x + 1)\):
Altså får vi funksjonsverdien i neste punkt \(x + 1\) ved å gange funksjonsverdien i \(x\) med faktoren \(b\). Dermed kan vi tolke \(b\) som en vekstfaktor!
Eksponentialfunksjoner
En eksponentialfunksjon \(f\) er en funksjon på formen
der \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) og \(b \in \langle 0, \to\rangle\) er konstanter.
Eksempel 2
Nedenfor vises to eksempler på eksponentialfunksjoner:
Bestemme \(f(x)\)#
Vi kan anvende to strategier for å bestemme funksjonsuttrykket til en eksponentialfunksjon.
Fra informasjon om to punkter på grafen til \(f\)
En eksponentiell modell med regresjon
La oss se på et eksempel der vi bestemme \(f(x)\) ut ifra informasjon om to punkter på grafen til \(f\).
Eksempel 3
En eksponentialfunksjon \(f\) går gjennom punktene \((0, 2)\) og \((3, 32)\).
Løsning
En eksponentialfunksjoner er på formen
Grafen til \(f\) går gjennom punktene \((0, 2)\) og \((3, 32)\) som betyr at
Vi kan bruke CAS til å bestemme verdiene til \(a\) og \(b\) ved hjelp av de to likningene:
Fra gif-en ser vi at vi får at
Vekstfaktoren \(b\) har en eksakt verdi, men i praksis er den ikke så lett å tolke. Hvis vi trykker på 
får vi en tilnærmet verdi for \(b\) som gir
Det betyr at \(f(x)\) er gitt ved
Underveisoppgave 3
En eksponentialfunksjon \(f\) går gjennom punktene \((1, 10)\) og \((3, 40)\).
Bestem \(f(x)\).
Fasit
Løsning
En eksponentialfunksjon \(f\) er på formen
Vi bruker CAS for å bestemme \(a\) og \(b\) slik at grafen til \(f\) går gjennom punktet \((1, 10)\) og \((3, 40)\):
Vi velge den løsningen som gir at \(b \in \langle 0, \to\rangle\). Dermed får vi
Det betyr at
Eksponentialfunksjoner kan brukes til å beskrive en del praktiske situasjoner. Vi sier at funksjonen modellerer situasjonen. Hvis en eksponentialfunksjon \(f\) brukes for å modellere en praktisk situasjon, kaller vi den for en eksponentiell modell.
I de fleste situasjoner, ønsker vi å lage en eksponentiell modell ut ifra et datamateriale som viser hvordan to størrelser henger sammen. La oss se på et eksempel på hvordan dette gjøres:
Eksempel 4
En pasient får en medisin. I tabellen nedenfor vises konsentrasjonen av medisinen i mg/mL i blodet til pasienten ved ulike tidspunkter etter at pasienten fikk medisinen.
Tid (minutter) |
\(0\) |
\(5\) |
\(10\) |
\(15\) |
\(20\) |
|---|---|---|---|---|---|
Konsentrasjon (\(\mathrm{mg}/\mathrm{mL}\)) |
\(3.00\) |
\(2.70\) |
\(2.43\) |
\(2.19\) |
\(1.97\) |
Lag en modell \(K\) som gir konsentrasjonen \(K(x)\) mg/mL når det har gått \(x\) minutter siden pasienten har fått medisinen.
Løsning
Vi skriver inn punktene i en liste i CAS og bruker RegEksp(data) for å bestemme en eksponentiell modell \(K(x)\) med regresjon. Se gif-en nedenfor.
Fra gif-en ser vi at modellen vi får med regresjon er gitt ved
Underveisoppgave 4
Befolkningen i en kommune i noen av årene mellom 2015 og 2024 er vist i figuren nedenfor.
År |
2015 |
2017 |
2018 |
2020 |
2024 |
|---|---|---|---|---|---|
Befolkningstall |
10000 |
10404 |
10612 |
11484 |
11944 |
Bestem en eksponentiell modell \(B\) som gir befolkningstallet \(B(x)\) der \(x\) er antall år etter 2015. Det vil si \(x = 0\) er 2015, \(x = 1\) er 2016 og så videre.
Fasit
Løsning
Vi skriver inn datamateriale i CAS, men passer på at vi skriver inn årstallene \(x\) slik at de er antall år etter 2015. Deretter bruker vi RegEksp(data) for å bestemme den eksponentielle modellen:
Fra utskriften ser vi at