29. Eksponentialfunksjoner#
Læringsmål
Kunne veksle mellom prosentvis endring og vekstfaktor.
Kunne sette opp og tolke eksponentialfunksjoner i praktiske situasjoner.
Kunne lage matematiske modeller ved bruk av regresjon.
Kunne skrive enkle programmer som bruker prosentvis endring og eksponentiell vekst.
Eksponentialfunksjoner brukes til å beskrive situasjoner der noe vokser eller synker med en fast prosentvis endring. Denne prosentvise endringen kan vi uttrykke med en vekstfaktor som lar oss sette opp en funksjon som beskriver utviklingen.
Prosent#
Når vi snakker om prosent av noe, så mener vi gjerne en del av det hele. Prosent betyr “per hundre” eller “delt på hundre”, og vi kan tolke prosenttegnet \(\% = \dfrac{1}{100} = 0.01\). Det betyr at vi kan representere prosent på tre ulike måter:
Prosent: Representasjoner
Vi tolker prosenttegnet \(\%\) som at det betyr \(\% = \dfrac{1}{100} = 0.01\) og at \(30\%\) betyr \(30 \cdot \dfrac{1}{100} = 0.3\).
Underveisoppgave 1
Ta quizen! Flere alternativer kan være riktig.
Hva er det samme som \(20\%\)?
Hva er det samme som \(0.75\)?
Hva er det samme som \(\dfrac{1}{4}\)?
Hva er det samme som \(150\%\)?
Hva er det samme som \(0.08\)?
Vekstfaktor#
En vekstfaktor er det tallet vi må gange en opprinnelig verdi med for å få den nye verdien etter en prosentvis endring.
Tenk deg at du har \(1000\) kr på sparekonto og så øker beløpet med \(5\%\). Pengene du har etter økningen er da
Tallet \(1.05\) kaller vi for vekstfaktoren til endringen.
Vi kan også forestille oss en situasjon der beløpet i stedet synker med \(5\%\). Da har vi at det nye beløpet er
Da ble vekstfaktoren \(0.95\).
Vi kan merke oss at når det er en økning, så blir vekstfaktoren et tall større enn \(1\), og når det er en nedgang, så blir vekstfaktoren et positivt tall mindre enn \(1\).
Mer generelt har vi følgende beskrivelse av vekstfaktorer:
Vekstfaktor og prosentvis endring
Når en størrelse øker eller minker med en prosent \(p\), så er vekstfaktoren \(V\) gitt ved
\(V\) |
\(p\) |
Beskrivelse |
|---|---|---|
\(V > 1\) |
\(p > 0\) |
Økning |
\(0 < V < 1\) |
\(p < 0\) |
Nedgang |
Eksempel 1
En vare øker med \(15 \%\). Bestem vekstfaktoren til endringen.
Løsning
Her er \(p = 15 \% = 0.15\) siden det er en økning på \(15 \%\). Vekstfaktoren \(V\) er da
Eksempel 2
Prisen på en vare synker med \(8 \%\). Bestem vekstfaktoren til endringen.
Løsning
Her er \(p = -8 \% = -0.08\) siden det er en nedgang på \(8 \%\). Vekstfaktoren \(V\) er da
Underveisoppgave 2
Ta quizen!
Hva blir vekstfaktoren ved \(10\%\) økning?
Hva er vekstfaktoren ved \(9\%\) nedgang?
Hva er den prosentvise endringen hvis vekstfaktoren er \(1.02\)?
Hva er den prosentvise endringen hvis vekstfaktoren er \(0.70\)?
Hva er den prosentvise endringen hvis vekstfaktoren er \(1.25\)?
Hva er den prosentvise endringen hvis vekstfaktoren er \(0.85\)?
Eksponentiell vekst fremover og bakover#
La oss forestille oss en vare som koster \(100\) kr i dag, og som øker med \(10\%\). Da er vekstfaktoren \(1.10\). Da vil verdien etter endringen være gitt ved
Når vi skal finne verdien etter en endring ganger vi altså vekstfaktoren med startverdien for å få sluttverdien.
Eksponentiell vekst fremover
La \(G\) være startverdien og \(V\) være vekstfaktoren for en prosentvis endring. Da er sluttverdien \(N\) etter endringen gitt ved
Underveisoppgave 3
En vare koster \(300\) kr. Prisen øker med \(20\%\).
Bestem et uttrykk for prisen etter økningen.
Fasit
La oss nå forestille oss at en vare opprinnelig kostet \(G\) kr, og så sank prisen med \(20 \%\). Da kostet den 400 kr. For å finne startverdien \(G\) kan vi da sette opp likningen
Altså deler vi med vekstfaktoren når vi ønsker å regne oss bakover for å finne startverdien.
Eksponentiell vekst bakover
La \(N\) være sluttverdien og \(V\) være vekstfaktoren for en prosentvis endring. Da er startverdien \(G\) før endringen gitt ved
Underveisoppgave 4
En jakke er på tilbud med \(30\%\) rabatt, og prisen er nå \(700\) kr.
Bestem et uttrykk for den opprinnelige prisen.
Fasit
Eksponentiell vekst i flere steg#
La oss forestille oss at en vare først koster \(100\) kr, så øker den med \(10\%\) og så synker den med \(10\%\). Hva er prisen på varen etter disse to endringene? Vi kan beregne verdien etter hver endring hver for seg.
Først har vi at
Deretter skal varen synke med \(10\%\), så vi har at
Den samlede regningen vi har gjort fra den opprinnelige verdien er da
Vi kan altså regne ut en samlet vekstfaktor for alle endringene ved å gange vekstfaktorene sammen. Deretter ganger vi den samlede vekstfaktoren med startverdien for å få sluttverdien.
Eksponentiell vekst i flere steg
Når en størrelse gjennomgår \(n\) prosentvise endringer med vekstfaktorer \(V_1, V_2, \ldots, V_n\), så er den samlede vekstfaktoren \(V\) gitt ved
La \(G\) være startverdien. Da er sluttverdien \(N\) gitt ved
Hvis de prosentvise endringene er like, altså at \(V_1 = V_2 = \ldots = V_n = V\), så vil sluttverdien være gitt ved
Underveisoppgave 5
En vare koster \(500\) kr. Prisen øker først med \(20\%\), og så synker den med \(10\%\).
Bestem et uttrykk for prisen etter disse to endringene.
Fasit
Underveisoppgave 6
Lønna til Anna har økt med \(5\%\) per år i \(3\) år. Lønnen til Anna var opprinnelig \(400~000\) kr.
Bestem et uttrykk for lønnen til Anna etter de \(3\) årene.
Fasit
Eksponentialfunksjoner#
Vi kan generalisere mønsteret vi har kommet fram til så langt til å lage oss en funksjon som beskriver en eksponentiell vekst. En slik funksjon kaller vi for en eksponentialfunksjon.
En eksponentialfunksjon \(f(x)\) består av to byggesteiner:
En startverdi \(a\) som forteller oss hvor den eksponentielle veksten starter.
En vekstfaktor \(b\) som forteller oss hvor stor den prosentvise veksten er når vi øker \(x\) med \(1\).
Vi bruker ordet “prosentvis vekst” både når det er en økning og når det er en nedgang.
La oss lage oss en oversikt over funksjonstypen:
Eksponentialfunksjoner
En eksponentialfunksjon \(f\) kan skrives på formen
der
\(a\) er startverdien til den eksponentielle veksten når \(x = 0\) (skjæring med \(y\)-aksen).
\(b\) er vekstfaktoren som forteller oss hvor mye \(f(x)\) vokser eller synker når \(x\) øker med \(1\).
Eksempel 3
Nedenfor ser vi to eksempler på eksponentialfunksjoner.
La oss se mer konkret på hvordan eksponentialfunksjoner kan brukes til å beskrive praktiske situasjoner.
Eksempel 4
Du setter inn \(1000\) kr på en sparekonto som gir \(5\%\) rente per år.
Bestem en funksjon \(f(x)\) som gir beløpet du har på kontoen etter \(x\) år.
Løsning
Siden vi setter inn \(1000\) kr, så er startverdien
Siden renten er \(5\%\) per år, så er vekstfaktoren
Det betyr at funksjonen \(f(x)\) som beskriver beløpet på kontoen etter \(x\) år er
Underveisoppgave 7
En bil blir kjøpt for 200 000 kr, og verdien synker med 15% per år.
Sett opp et funksjonsuttrykk \(f(x)\) som gir verdien av bilen etter \(x\) år.
Fasit
Løsning
Startverdien er \(200 \, 000\) kr siden dette er det bilen blir kjøpt for, så
Verdien til bilen synker med \(15 \%\) hvert år som betyr at vekstfaktoren er
Dermed er funksjonen \(f(x)\) som beskriver verdien av bilen etter \(x\) år gitt ved
Negative eksponenter#
Når vi definerte eksponentialfunksjonen \(f(x)\), så sa vi at \(a = f(0)\) representerte startverdien og at \(b\) var vekstfaktoren som forteller oss hvor mye \(f(x)\) vokser eller synker når \(x\) øker med \(1\). Men funksjonsuttrykket kan helt fint brukes til å regne ut \(f(x)\) for negative \(x\)-verdier også. Å regne ut \(f(x)\) for negative \(x\)-verdier kan tolkes som å regne seg bakover i tid. For eksempel, hvis vi har at
betyr det at at verdien \(2\) år før “startverdien” må være
Dette bør være et helt rimelig uttrykk å regne med siden det er helt rimelig å tenke at noe kan ha hatt en verdi i fortiden, men det er litt uklart hva det vil si å opphøye et tall med en negativ eksponent. Det vi skal mene med å opphøye med en negativ eksponent er at
Vi så tidligere at når vi ønsket å regne oss bakover fra en sluttverdi, så delte vi med vekstfaktoren. Siden det å sette inn en negativ \(x\)-verdi må svare til å regne oss bakover (gjerne bakover i tid), så er det rimelig å definere det som følger:
Negative eksponenter
La \(b\) være et grunntall. Da vil en potens med negativ eksponent \(-x\) være definert ved
Når vi regner ut \(b^{-x}\) betyr dette altså det samme som å dele med \(b^x\).
Eksempel 5
Du har satt inn et innskudd på en bankkonto som gir \(5\%\) rente per år. Etter \(3\) år har du \(20~000\) kr på kontoen.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hvor mye du satte inn i utgangspunktet?
Løsning
Siden innskuddet skal vokse med \(5\%\) per år, så er vekstfaktoren \(b = 1.05\). Da har vi at innskuddet vi satt inn må oppfylle
Dermed vil uttrykk 2) og 6) kunne brukes til å finne ut hvor mye du satte inn i utgangspunktet.
Underveisoppgave 8
Ta quizen nedenfor. Flere alternativer kan være riktige.
En vare har økt med \(4 \%\) over 5 år. Varen koster nå \(500\) kr.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hva varen kostet for noen år siden?
En bakteriekultur dobles hver time. Etter 6 timer er det 12 800 bakterier.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hvor mange bakterier det var i utgangspunktet?
Mengden radioaktivt stoff minker med 8% per dag. Etter 10 dager er det 500 gram igjen.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hvor mye stoff det var for 10 dager siden?
En befolkning vokser med 3% per år. Etter 8 år er befolkningen 150 000 mennesker.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hvor mange mennesker det var for 8 år siden?
En bil minker i verdi med 12% per år. Etter 4 år er bilen verdt 88 000 kr.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hva bilen kostet i utgangspunktet?
En investering øker med 6% per kvartal. Etter 12 kvartaler er investeringen verdt 45 000 kr.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hva den opprinnelige investeringen var?
Programmering av eksponentiell vekst#
Vi kan bruke programmering til å regne med eksponentiell vekst. La oss se på et eksempel.
Eksempel 6
Du setter inn \(1000\) kr på en sparekonto som gir \(5\%\) rente per år.
Lag et program som regner ut på kontoen etter \(5\) år.
Løsning
Vi har at startverdien er \(a = 1000\) og at vekstfaktoren er \(b = 1.05\). Da har vi at
En algoritme for å regne ut beløpet på kontoen etter \(5\) år kan da være:
Start med \(s = 1000\).
for \(n = 1, 2, \ldots, 5\):
Sett \(s = s \cdot 1.05\)
Programmet nedenfor regner ut beløpet på kontoen etter \(5\) år:
I eksempelet ovenfor kunne vi i prinsippet bare regnet ut \(1000 \cdot 1.05^5\) direkte, så det kan virke litt unødvendig å bruke programmering her.
Men la oss forestille oss at vi i stedet skal sette inn et innskudd på starten av hvert år. Det er her programmering kan skinne.
Eksempel 7
Du skal sette inn et innskudd på \(1000\) kr på en sparekonto på starten av hvert år. Renten per år er på \(5\%\).
Hvor mye penger har du på kontoen etter \(10\) år?
Løsning
Her har vi at startverdien er \(a = 1000\) og at vekstfaktoren er \(b = 1.004\). Siden vi setter inn et innskudd hver måned, kan vi ikke bare bruke én eksponentiell modell for å regne ut beløpet på kontoen over tid. I stedet må vi bruke algoritmen nedenfor:
Start med \(s = 0\).
For \(n = 1, 2, \ldots, 10\) år:
Sett \(s = s + 1000\) for å legge til det nye innskuddet
Sett \(s = s \cdot 1.05\) for å øke sparebeløpet med 5% rente
Programmet nedenfor bruker algoritmen ovenfor.