4. Matematisk logikk og symboler

Læringsmål

• Kunne bruke symbolene for implikasjon og ekvivalens for å uttrykke logiske sammenhenger mellom påstander.

• Kunne bruke symbolene for logisk-og og logisk-eller for å uttrykke logiske sammenhenger mellom påstander.

For å gjøre det enklere å skrive matematikk, er det nyttig å innføre noen symboler som beskriver logiske sammenhenger mellom påstander. En påstand i matematikk kan for eksempel være en likning eller en ulikhet.

Ekvivalens og implikasjon

Hvis en påstand sin sannhet automatisk betyr at en annen påstand også er sann, sier vi at den første påstanden impliserer den andre.

Implikasjon

Hvis en påstand \(P\) impliserer en annen påstand \(Q\), skriver vi dette som \(P \implies Q\). Vi leser dette som “hvis \(P\) er sann, så er \(Q\) sann”.

Vi tar et litt konkret eksempel.

Symbolet \(\nimplies\)

Symbolet leses som “impliserer ikke”. Når vi vil uttrykke at noe ikke stemmer, slår vi en skråstrek over symbolet.

Eksempel 1

Hvis Anna bor i Oslo, så betyr det også at hun bor i Norge. Da kan vi skrive dette som:

\[ \text{Anna bor i Oslo} \limplies \text{Anna bor i Norge} \]

Men det motsatte er ikke sant. Hvis Anna bor i Norge, betyr ikke det nødvendigvis at hun bor i Oslo. Hun kan for eksempel bo i Bergen. Da kan vi skrive

\[ \text{Anna bor i Norge} \nimplies \text{Anna bor i Oslo} \]

---

Vi tar et eksempel som er litt mer matematisk.

Eksempel 2

Hvis \(x = 2\), så er \(x^2 = 4\). Da kan vi skrive

\[ x = 2 \limplies x^2 = 4 \]

---

Hvis to påstander må være sanne samtidig, sier vi at de er ekvivalente. Det betyr at hvis én av de er sanne, så må begge være sanne. I eksempel 1 så vi at det at Anna bodde i Norge ikke nødvendigvis ville betydd at hun bodde i Oslo. Disse påstandene er derfor ikke ekvivalente.

Vi kan også lese \(P \iff Q\) som at \(P\) er sann hvis og bare hvis \(Q\) er sann.

Ekvivalens

Hvis en påstand \(P\) er sann betyr at en påstand \(Q\) også må er sann og omvendt, skriver vi dette som \(P \iff Q\). Vi leser dette som “\(P\) er ekvivalent med \(Q\)”.

Vi tar et eksempel.

Vi kunne også skrevet

\[ 2x = 4 \limpliedby x = 2 \]

som vi leser som “\(2x = 4\) er implisert av \(x = 2\)”.

Eksempel 3

Hvis \(2x = 4\), så er \(x = 2\). Det betyr at

\[ 2x = 4 \limplies x = 2 \]

Men hvis \(x = 2\), så er også \(2x = 4\). Det betyr at

\[ x = 2 \limplies 2x = 4 \]

Siden påstandene impliserer begge veier, betyr dette at

\[ 2x = 4 \liff x = 2 \]

Logisk-og og logisk-eller

Noen ganger så vil vi uttrykke at én av flere påstander kan være sanne, men ikke nødvendigvis alle sammen samtidig. Da bruker vi logisk-eller. Hvis vi for eksempel sier at “Anna bor i Oslo eller Bergen”, så betyr det at hun kan bo i Oslo, eller hun kan bo i Bergen, eller hun kan bo i begge byene.

Logisk-eller

Hvis en påstand \(P\) er sann eller en annen påstand \(Q\) er sann, skriver vi dette som \(P \lor Q\). Vi leser dette som “\(P\) eller \(Q\)”.

---

Eksempel 4

Hvis Anna bor i Oslo eller Bergen, kan vi skrive dette som

\[ \text{Anna bor i Oslo} \or \text{Anna bor i Bergen} \]

---

Vi tar et eksempel er mer matematisk.

Eksempel 5

Hvis \(x^2 = 4\), så kan det bety at \(x = 2\) eller at \(x = -2\) siden

\[ 2^2 = 4 \qog (-2)^2 = 4 \]

Da kan vi skrive at

\[ x^2 = 4 \liff x = 2 \or x = -2 \]

---

I tilfeller hvor to påstander må være sanne samtidig, bruker vi logisk-og. Den typiske situasjonen hvor dette er aktuelt, er når vi jobber med likningssystemer eller ulikheter.

Logisk-og

Hvis en påstand \(P\) er sann og en annen påstand \(Q\) er sann, skriver vi dette som \(P \land Q\). Vi leser dette som “\(P\) og \(Q\) samtidig”.

Eksempel 6

Et likningssystem er et eksempel på to påstander som må være sanne samtidig. Gitt likningssystemet som består av likningene

\[\begin{align*} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{align*}\]

så mener vi egentlig at de skal være oppfylt samtidig. Da er det mer presist å skrive at

\[ x + y = 2 \and x - y = 0 \]

Begge likninger er oppfylt hvis \(x = 1\) og \(y = 1\) samtidig. Derfor kan vi uttrykke løsningen som

\[ x = 1 \and y = 1 \]

Oppsummering

Oppsummering

Skrivemåte	Betydning	Eksempel
\(P \implies Q\)	\(P\) impliserer \(Q\)	\(x = 2 \limplies x^2 = 4\)
\(P \iff Q\)	\(P\) er ekvivalent med \(Q\)	\(2x = 4 \liff x = 2\)
\(P \lor Q\)	\(P\) eller \(Q\) (eller begge)	\(x = -2 \or x = 2\)
\(P \land Q\)	\(P\) og \(Q\) (samtidig)	\(x = 1 \and y = 1\)