Oppgaver: Polynomdivisjon

Oppgave 1

a

Regn ut

\[ (x^3 - 5x^2 - 9x + 45) : (x - 5) \]

Fasit

\[ (x^3 - 5x^2 - 9x + 45) : (x - 5) = x^2 - 9. \]

Løsning

b

Regn ut

\[ (x^3 - 2x^2 - 11x + 12) : (x - 4) \]

Fasit

\[ (x^3 - 2x^2 - 11x + 12) : (x - 4) = x^2 + 2x - 3. \]

Løsning

c

Regn ut

\[ (x^3 + 11x^2 + 38x + 40) : (x + 5) \]

Fasit

\[ (x^3 + 11x^2 + 38x + 40) : (x + 5) = x^2 + 6x + 8. \]

Løsning

d

Regn ut

\[ (x^3 + 3x^2 - 4x - 12) : (x + 2) \]

Fasit

\[ (x^3 + 3x^2 - 4x - 12) : (x + 2) = x^2 + x - 6. \]

Løsning

---

Oppgave 2

a

Regn ut

\[ (x^3 - 3x^2 - 24x + 80) : (x + 4) \]

Fasit

\[ (x^3 - 3x^2 - 24x + 80) : (x + 4) = x^2 - 7x + 4 + \dfrac{64}{x + 4} \]

Løsning

b

Regn ut

\[ (x^3 + 2x^2 - 16x - 32) : (x - 3) \]

Fasit

\[ (x^3 + 2x^2 - 16x - 32) : (x - 3) = x^2 + 5x - 1 + \dfrac{-35}{x - 3} \]

Løsning

c

Regn ut

\[ (x^3 - 4x^2 - 5x) : (x + 4) \]

Fasit

\[ (x^3 - 4x^2 - 5x) : (x + 4) = x^2 - 8x + 27 + \dfrac{-108}{x + 4} \]

Løsning

d

Regn ut

\[ (x^3 - 9x) : (x - 5) \]

Fasit

\[ (x^3 - 9x) : (x - 5) = x^2 + 5x + 16 + \dfrac{80}{x - 5} \]

Løsning

Oppgave 3

Utfør polynomdivisjonene

a

\[ (x^3 + x^2 - 9x - 9) : (x + 3) \]

Fasit

\[ (x^3 + x^2 - 9x - 9) : (x + 3) = x^2 - 2x - 3 \]

Løsning

b

\[ (x^3 - 4x^2 - 11x + 30) : (x - 2) \]

Fasit

\[ (x^3 - 4x^2 - 11x + 30) : (x - 2) = x^2 - 2x - 15 \]

Løsning

c

\[ (x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6) : (x + 2) \]

Fasit

\[ (x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6) : (x + 2) = x^3 - 3x^2 - x + 3 \]

Løsning

d

\[ (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1) \]

Fasit

\[ (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1) = x^2 - x - 6 \]

Løsning

Oppgave 4

Utfør polynomdivisjonene

a

\[ (x^3 - 5x^2 - 2x + 6) : (x + 1) \]

Fasit

\[ (x^3 - 5x^2 - 2x + 6) : (x + 1) = x^3 - 6x + 4 + \dfrac{2}{x + 1} \]

Løsning

b

\[ (x^3 + x^2 - 5x + 3) : (x^2 + 2x - 3) \]

Fasit

\[ (x^3 + x^2 - 5x + 3) : (x^2 + 2x - 3) = x - 1 \]

Løsning

c

\[ (x^3 + 6x^2 - x - 30) : (x - 1) \]

Fasit

\[ (x^3 + 6x^2 - x - 30) : (x - 1) = x^2 + 7x + 6 + \dfrac{-24}{x - 1} \]

Løsning

d

\[ (x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) : (x^2 - 6x + 8) \]

Fasit

\[ (x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) : (x^2 - 6x + 8) = x^2 - 4x + 3 \]

Løsning

Oppgave 5

Utfør polynomdivisjonene.

Hint: Hvis det “mangler” noen ledd i dividenden, kan det være lurt å legge til en null på plassen til leddet som mangler. For eksempel \(x^3 - x + 1 = x^3 + 0x^2 - x + 1\).

a

\[ (x^3 + 2x - 1) : (x + 2) \]

Fasit

\[ (x^3 + 2x - 1) : (x + 2) = x^2 - 2x + 6 + \dfrac{-13}{x + 2} \]

Løsning

b

\[ (x^3 - 7x + 1) : (x^2 - 3) \]

Fasit

\[ (x^3 - 7x + 1) : (x^2 - 3) = x + \dfrac{-4x + 1}{x^2 - 3} \]

Løsning

c

\[ (4x^3 - 18x^2 + 26x - 15) : (2x^2 - 4x + 3) \]

Fasit

\[ (4x^3 - 18x^2 + 26x - 15) : (2x^2 - 4x + 3) = 2x - 5 \]

Løsning

d

\[ (x^4 - 1) : (x - 1) \]

Fasit

\[ (x^4 - 1) : (x - 1) = x^3 + x^2 + x + 1 \]

Løsning

---

Oppgave 6

a

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen blir en identitet.

\[ x^3 - x^2 + 4x - 4 = (x - 1)(ax^2 + bx + c). \]

Fasit

\[ a = 1 \and b = 0 \and c = 4 \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon med \((x - 1)\) for å finne andregradspolynomet \((ax^2 + bx + c)\)

Vi ser at

\[ ax^2 + bx + c = x^2 + 4 \]

som betyr at

\[ a = 1 \and b = 0 \and c = 4. \]

b

Bestem \(a\) og \(b\) slik at likningen blir en identitet.

\[ 3x^3 + 2x^2 - 12x - 8 = (x^2 - 4)(ax + b). \]

Fasit

\[ a = 3 \and b = 2. \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon med \((x^2 - 4)\) for å finne førstegradspolynomet \((ax + b)\).

Vi ser at

\[ ax + b = 3x + 2 \]

som betyr at

\[ a = 3 \and b = 2. \]

c

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen blir en identitet.

\[ -x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x + 2 = (x^2 - 2x + 1)(ax^2 + bx + c). \]

Fasit

\[ a = -1 \and b = 0 \and c = 2. \]

Løsning

Vi utfører polynomdivisjon med \((x^2 - 2x + 1)\) for å finne det ukjente andregradspolynomet:

Vi ser at

\[ ax^2 + bx + c = -x^2 + 2 \]

som betyr at

\[ a = -1 \and b = 0 \and c = 2. \]

Oppgave 7

En tredjegradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x - 2. \]

a

Bruk et Horner-skjema til å regne ut \(f(2)\).

Fasit

\[ f(2) = -4. \]

Horner-skjema:

Løsning

b

Bruk et Horner-skjema til å regne ut \(f(-1)\).

Fasit

\[ f(-1) = -10. \]

Horner-skjema:

Løsning

c

Bruk et Horner-skjema til å regne ut \(f(1)\).

Fasit

\[ f(1) = -2. \]

Horner-skjema:

Løsning

d

Bruk et Horner-skjema til å regne ut \(f(-3)\).

Fasit

\[ f(-3) = -74. \]

Horner-skjema:

Løsning

---

Oppgave 8

a

Bruk et Horner-skjema til å regne ut polynomdivisjonen

\[ (x^3 + x^2 - 5x + 3) : (x + 3). \]

Fasit

\[ (x^3 + x^2 - 5x + 3) : (x + 3) = x^2 + 2x - 3. \]

Løsning

\[ (x^3 + x^2 - 5x + 3) : (x + 3) = x^2 -2x + 1. \]

b

Bruk et Horner-skjema til å regne ut polynomdivisjonen

\[ (x^3 - 2x^2 + 1) : (x - 2). \]

Fasit

\[ (x^3 - 2x^2 + 1) : (x - 2) = x^2 + \dfrac{1}{x - 2} \]

c

Bruk et Horner-skjema til å regne ut polynomdivisjonen

\[ (x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30) : (x - 1). \]

Fasit

\[ (x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30) : (x - 1) = x^3 + 4x^2 - 11x - 30. \]

d

Bruk et Horner-skjema til å regne ut polynomdivisjonen

\[ (x^3 - 8) : (x - 2). \]

Fasit

\[ (x^3 - 8) : (x - 2) = x^2 + 2x + 4. \]