Oppgaver: Sinus, cosinus og tangens

Oppgaver: Sinus, cosinus og tangens#

Oppgave 1

I figuren til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

a

Bestem \(\sin B\) og \(\cos B\).

Fasit

\[ \sin B = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \quad \quad \quad \cos B = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \]

b

Bestem \(\tan B\).

Fasit

\[ \tan B = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \]

c

Bestem \(\sin C\) og \(\cos C\).

Fasit

\[ \sin C = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \quad \quad \quad \cos C = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \]

d

Bestem \(\tan C\).

Fasit

\[ \tan C = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \]

Oppgave 2

I figuren til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

a

Bestem \(BC\).

Fasit

\[ BC = \sqrt{3}. \]

b

Bestem \(\sin A\) og \(\cos A\).

Fasit

\[ \sin A = \dfrac{1}{2} \quad \quad \quad \cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

c

Bestem \(\tan A\).

Fasit

\[ \tan A = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \]

d

Bestem \(\sin C\) og \(\cos C\).

Fasit

\[ \sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos C = \dfrac{1}{2} \]

e

Bestem \(\tan C\).

Fasit

\[ \tan C = \sqrt{3} \]

Oppgave 3

Hvordan regne ut sinus og cosinus med CAS

I gif-en nedenfor viser vi hvordan man bruker CAS til å bestemme \(\sin v\), \(\cos v\) og \(\tan v\) for en vinkel \(v = 30\degree\) i en rettvinklet trekant. For å få gradertegn \(\degree\) må du:

Trykke på “option + o” på tastaturet på macOS.

Trykke på “Alt + o” på tasteturet på Windows.

En trekant \(\triangle ABC\) er vist til høyre.

a

Regn ut \(\sin A\) og \(\cos A\) med CAS.

Fasit

\[ \sin A = \dfrac{1}{4}\sqrt{2\left(5 - \sqrt{5}\right)} \and \cos B = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{5} + 1\right) \]

b

Bruk trigonometri til å bestemme \(AC\).

Fasit

\[ AC = \sqrt{5} + 3 \]

c

Bruk trigonometri til å bestemme \(BC\).

Fasit

\[ BC = 2\sqrt{2(-\sqrt{5} + 5)} \]

Oppgave 4

a

Bruk CAS til å regne ut \(\sin 45^\circ\), \(\cos 45^\circ\) og \(\tan 45^\circ\).

Fasit

Altså er

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \tan 45^\circ = 1 \]

b

Bruk CAS til å regne ut \(\sin 60^\circ\), \(\cos 60^\circ\) og \(\tan 60^\circ\).

Fasit

Altså er

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \quad \quad \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3} \]

Oppgave 5

I denne oppgaven skal du bruke trigonometri og CAS til å bestemme ukjente sidelenger i rettvinklede trekanter.

a

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bruk CAS til å bestemme \(x\).

Fasit

Dermed er \(x = 10\).

b

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bruk CAS til å bestemme \(x\).

Fasit

Dermed er \(x = 2\).

c

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bruk CAS til å bestemme \(x\).

Fasit

Dermed er \(x = 4\sqrt{2}\).

d

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bruk CAS til å bestemme \(x\).

Fasit

Altså er \(x = 4\).

e

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bruk CAS til å bestemme \(x\).

Fasit

Altså er \(x = 1.25\).

f

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bruk CAS til å bestemme \(x\).

Fasit

Altså er \(x = 3.22\).

Oppgave 6

I denne oppgaven skal du lære å utlede eksakte verdier for sinus og cosinus når vinklene er \(30^\circ\) og \(60^\circ\). Disse verdiene er viktige å huske utenat, men det er enklere å huske dem dersom du vet hvor de kommer fra.

En likesidet trekant \(\triangle ABC\) er vist i figuren til høyre.

a

Bestem høyden \(h\) i trekanten.

Fasit

\[ h = \sqrt{3}. \]

b

Bruk trekanten til å bestemme en eksakt verdi for \(\sin 60^\circ\) og \(\cos 60^\circ\).

Fasit

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \]

c

Bruk trekanten til å bestemme en eksakt verdi for \(\sin 30^\circ\) og \(\cos 30^\circ\).

Fasit

\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \quad \quad \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

d

Vis at

\[ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 \]

for \(v = 30^\circ\) og \(v = 60^\circ\).

Oppgave 7

I denne oppgaven skal du lære hvordan man kommer fram til sinus og cosinus når vinkelen er \(45^\circ\). Det er også viktig å kunne disse verdiene utenat. Igjen – det er enklest å huske dersom man vet hvordan man kommer fram til dem.

a

Bestem sidelengdene \(AB\) og \(BC\).

Fasit

\[ AB = BC = 1 \]

b

Bruk trigonometri til å bestemme de eksakte verdiene for \(\sin 45\degree\) og \(\cos 45\degree\).

Fasit

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Oppgave 8

I en matematikkbok står det følgende:

Setning

For en vinkel \(v\), gjelder

\[ 2 \sin (v) \cdot \cos (v) = \sin (2\cdot v) \]

Vis at formelen stemmer for trekanten nedenfor med \(v = 30^\circ\).

Oppgave 9

Snells lov forteller oss at når lys går fra luft til vann, vil lyset brytes slik at lysstrålen sin retning i luft og vann oppfyller

\[ \sin u = 1.33 \cdot \sin v \]

a

Hvor stor vinkel \(u\) må lyset ha for at vinkelen etter brytning i vannet skal være \(v = 30^\circ\)?

Fasit

\(u \approx 41.68 \degree\).

b

Hva blir retningen til lysstrålen i vannet når \(u\) nærmer seg \(0^\circ\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Når \(u \approx 0^\circ\), vil \(\sin u \approx 0\) og dermed \(\sin v \approx 0\). Dermed vil lysstrålen gå parallelt med innfallsloddet og vannstrålen endrer ikke retning når den går gjennom vannoverflaten. Det skjer altså ingen brytning.

Oppgave 10

En lysstråle har beveget seg fra et punkt \(A(0, 1)\) i luft til et punkt \(B(10, -1)\) i vann. Lyset traff vannoverflaten i et punkt \(M(x, 0)\). Alle avstander er i kilometer.

I figuren nedenfor vises en mulig bane for lysstrålen.

a

Lag en modell \(L_\text{luft}\) som beskriver hvor mange kilometer \(L_\text{luft}(x)\) lysstrålen har beveget seg i luft før den traff vannoverflaten i punktet \(M(x, 0)\).

Fasit

\[ L_\text{luft}(x) = \sqrt{x^2 + 1} \]

b

Lag en modell \(L_\text{vann}\) som beskriver hvor mange kilometer \(L_\text{vann}(x)\) lysstrålen har beveget seg i vann etter at den traff vannoverflaten i punktet \(M(x, 0)\) og endte opp i \(B(10, -1)\).

Fasit

\[ L_\text{vann}(x) = \sqrt{(10 - x)^2 + 1} \]

c

Lys beveger seg med en fart på ca. 300 000 km/s i luft og ca. 225 000 km/s i vann.

Lag en modell \(T\) som beskriver hvor mange sekunder \(T(x)\) det tar for lysstrålen å bevege seg fra \(A\) til \(B\) via punktet \(M(x, 0)\).

Hint: Vei-fart-tid

For en strekning \(L\), en fart \(v\) og en tid \(t\), gjelder

\[ L = v \cdot t. \]

Fasit

\[ T(x) = \dfrac{L_\text{luft}(x)}{300000} + \dfrac{L_\text{vann}(x)}{225000} \]

d

Bestem i hvilket punkt \(M(x, 0)\) lysstrålen må ha truffet dersom lysstrålen skal bruke kortest mulig tid mellom \(A\) og \(B\).

Fasit

Altså gikk vannstrålen gjennom \(M(8.88, 0)\) hvis den skulle bruke kortest mulig tid fra \(A\) til \(B\).

e

Bruk svaret ditt fra d til å vise at

\[ \dfrac{\sin u}{\sin v} = 1.33 \]

Fasit

Oppgave 11

a

Månen har en radius på ca. 1737 km og er ca. 384 400 km unna jorden.

Bestem hvor stor vinkel \(v\) månen dekker på himmelen sett fra jorden.

Fasit

\[ v = 0.5 \degree \]

b

Andromedagalaksen er vår nærmeste nabogalakse. Den er er ca. 200 000 lysår i diameter og 2.5 millioner lysår unna oss.

Bestem hvor stor vinkel \(v\) Andromeda dekker på himmelen sett fra jorden.

Dekker månen eller Andromedagalaksen størst vinkel på himmelen?

Fasit

\[ v = 4.58 \degree. \]

Oppgave 12

Nedenfor vises en rettvinklet trekant med vinkler \(u\) og \(v\).

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer eller ikke.

a

For en rettvinklet trekant, gjelder alltid

\[ \sin v = \cos u \]

Fasit

Påstanden stemmer.

b

For en rettvinklet trekant, gjelder alltid

\[ \tan u \cdot \tan v = 1 \]

Fasit

Påstanden stemmer.

c

For en rettvinklet trekant, gjelder alltid

\[ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 \]

Fasit

Påstanden stemmer.