Oppgaver: Lineære likningssystemer

Oppgaver: Lineære likningssystemer#

Oppgave 1

Bruk figurene til å løse likningssystemene.

\[\begin{align*} 2x + y &= -3 \\ -x + 3y &= 5 \end{align*}\]
../../../_images/a16.svg
\[\begin{align*} x - 2y &= 2 \\ x + 4y &= 8 \end{align*}\]
../../../_images/b16.svg
\[\begin{split} \begin{align*} x + y &= 1 \\ x - 3y &= 9 \end{align*} \end{split}\]
../../../_images/c15.svg
\[\begin{split} \begin{align*} 2x + y &= 0 \\ x - y &= -6 \end{align*} \end{split}\]
../../../_images/d8.svg

Oppgave 2

Bruk innsettingsmetoden til å løse likningssystemene.

\[\begin{align*} x + y &= 5 \\ x - 2y &= -1 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 3x + 2y &= -4 \\ x - 2y &= -4 \end{align*}\]
\[\begin{align*} -x + 2y &= 0 \\ x - 4y &= -1 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 2x + 4y &= 1 \\ x - y &= 5 \end{align*}\]

Oppgave 3

Bruk addisjonsmetoden til å løse likningssystemene.

\[\begin{align*} 2x + y &= 6 \\ 4x - y &= 5 \end{align*}\]
\[\begin{align*} -x + 2y &= 0 \\ x - 4y &= -1 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 2x + 3y &= 6 \\ 4x - y &= 5 \end{align*}\]

Hint

Her må du gange én av likningene med et tall før du plusser eller trekker den fra den andre likningen for at en variabel skal forsvinne.

\[\begin{align*} 2x + 3y &= 3 \\ x - y &= 5 \end{align*}\]

Oppgave 4

Én av figurene i hver oppgave hører til likningssystemet. Bestem riktig figur og bruk den til å løse likningssystemene.

Hint

Her må du kanskje skrive om likningene fra \(Ax + By = C\) til \(y = ax + b\) så du kan gjenkjenne hvilke grafer som hører til hvilke likninger.

\[\begin{align*} x + y &= 1 \\ 2x + y &= -1 \end{align*}\]
\[\begin{align*} x + 2y &= 4 \\ \\ -x + \dfrac{1}{2}y &= -\dfrac{3}{2} \end{align*}\]

Oppgave 5

Bruk CAS til å løse likningssystemene.

\[\begin{align*} 2x + 3y &= 6 \\ 4x - y &= 5 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 3x - 2y &= 2 \\ 5x + 4y &= 1 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 3x - y &= 7 \\ x + 3y &= -4 \end{align*}\]
\[\begin{align*} -2x + 3y &= 8 \\ x - 2y &= -1 \end{align*}\]

Oppgave 6

Nedenfor vises noen programmer som løser et likningssystem. Tolk hvilket likningssystem hvert program løser og bruk CAS til å forutsi hva programmet skriver ut.

Oppgave 7

Fyll ut programmet nedenfor slik at de løser likningssystemene.

\[\begin{align*} x + y &= 0 \\ -2x + 4y &= 6 \end{align*}\]
\[\begin{align*} x + \dfrac{1}{2}y &= 2 \\ \\ \dfrac{1}{6}x + \dfrac{1}{4}y &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 2x + y &= -1 \\ 5x + 4y &= 5 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 2x - 5y &= 11 \\ -4x + y &= 5 \end{align*}\]

Oppgave 8

Bruk CAS til å løse likningssystemene nedenfor.

\[\begin{align*} x + y + z &= 3 \\ 2x - y + 3z &= 1 \\ 3x + 2y - z &= 4 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 2x + 3y - z &= 5 \\ x - y + 2z &= 4 \\ 3x + y + z &= 2 \end{align*}\]
\[\begin{align*} x + 2y + 3z &= 6 \\ 4x - y + z &= 1 \\ -2x + 3y - z &= 5 \end{align*}\]
\[\begin{align*} 3x + y + 2z &= 7 \\ -x + 4y - z &= 2 \\ 2x - 3y + z &= 1 \end{align*}\]

Oppgave 9

I noen sammenhenger er det naturlig å bruker likningssystemer til å modellere praktiske situasjoner.

En bygård har 40 leiligheter med til sammen 90 rom.

Hvor mange leiligheter har 2 rom og hvor mange har 3 rom?

En butikk selger små og store sekker med hundemat. De små sekkene veier \(4.5\) kg og de store veier \(12\) kg.

En dag solgte butikken \(80\) sekker. Sekkene veide til sammen \(720\) kg.

Hvor mange små og hvor mange store sekker solgte butikken denne dagen?

En kino solgte 250 billetter til en forestilling. Barnebilletten koster 90 kr, og voksenbilletten koster 140 kr. Den totale billettinntekten var 27 000 kr.

Hvor mange barnebilletter og hvor mange voksenbilletter ble solgt?

Et skoletrinn skal på tur og bestiller busser. En stor buss har plass til 60 elever, og en liten buss har plass til 24 elever. De bestiller totalt 5 busser, og det er akkurat plass til hele trinnet på 228 elever.

Hvor mange store og hvor mange små busser ble bestilt?

Oppgave 10

Et likningssystem har løsningen

\[ x = -2 \and y = 3. \]

Lag et likningssystem som har denne løsningen.

Fasit

Et mulig likningssystem er:

\begin{align*} 2x + 3y &= 5 \ -x + 2y &= 8 \end{align*}}