Trigonometri (Del 1)

Trigonometri (Del 1)#

Disse oppgavene skal løses uten hjelpemidler.

Oppgave 1 (Vår 2023)

En rettvinklet trekant har sidelengder \(8\), \(6\) og \(10\).
Se figuren til høyre.

Vis at

\[ \left(\cos u\right)^2 + \left(\sin u\right)^2 = 1 \]

Løsning

Fra figuren, kan vi regne ut cosinus til vinkel \(u\) som

\[\begin{align*} \cos u & = \dfrac{\mathrm{hosliggende \, katet \, til} \, u}{\mathrm{hypotenus}} \\ \\ \cos u & = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \\ \end{align*}\]

Tilsvarende kan vi for sinus til vinkel \(u\) regne ut:

\[\begin{align*} \sin u & = \dfrac{\mathrm{motstående \, katet \, til} \, u}{\mathrm{hypotenus}} \\ \\ \sin u & = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \\ \end{align*}\]

Til slutt regner vi ut:

\[\begin{align*} \left(\cos u\right)^2 + \left(\sin u\right)^2 &= \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 \\ \\ &= \dfrac{3^2}{5^2} + \dfrac{4^2}{5^2} \\ \\ &= \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} \\ \\ &= \dfrac{9 + 16}{25} \\ \\ &= \dfrac{25}{25} \\ \\ &= 1. \end{align*}\]

Oppgave 2 (Høst 2023)

En likesidet trekant har sidelengder \(2\).
Se figuren til høyre.

Bruk trekanten til å vise at

\[ \cos 60\degree = \dfrac{1}{2} \]

Løsning

Vi tegner oss en hjelpefigur der vi slår en normal fra toppunktet ned på grunnlinja i trekanten. Da vil grunnlinja være delt i to like store deler som begge har lengde \(1\).

Deretter kan vi bruke definisjonen av cosinus direkte:

Så bruker vi at

\[ \cos 60\degree = \dfrac{\mathrm{hosliggende \, katet}}{\mathrm{hypotenus}} = \dfrac{1}{2} \]

Oppgave 3 (Høst 2023)

../../../../../_images/merged_figure3.svg

Hvilken av de to trekantene har størst areal?

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Løsning

Fra arealsetningen har vi at

\[ T = \dfrac{1}{2}\cdot 6^2 \cdot \sin u \]

der \(u\) er vinkelen mellom de to sidelengdene. Siden \(\sin u\) er en voksende størrelse for \(u \in [0\degree, 90\degree]\), så vil en vinkel nærmest mulig \(u = 90\degree\) gi størst mulig verdi for \(\sin u\) og dermed størst areal. Siden \(\sin u = \sin (180\degree - u)\), følger det at

\[ \sin 150\degree = \sin (180\degree - 30\degree) = \sin 30\degree. \]

Men \(u = 32\degree\) er nærmere \(90\degree\) enn \(u = 30\degree\), som betyr at \(\sin 32\degree > \sin 30\degree\). Dermed er arealet til trekanten med \(u = 32\degree\) større enn arealet til trekanten med \(u = 150\degree\). Derfor er trekanten til høyre med \(u = 32\degree\) trekanten med størst areal.

Oppgave 4 (Vår 2024)

Tom har arbeidet med trekanten til høyre og påstår at

\[ \tan u \cdot \tan v = 1. \]

a

Vis at Tom har rett.

Løsning

Vi kan først bestemme \(\tan u\):

\[ \tan u = \dfrac{\mathrm{motstående \, katet \, til \,} u}{\mathrm{hosliggende \, katet \, til \,} u} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}. \]

Deretter bestemmer vi \(\tan v\):

\[ \tan v = \dfrac{\mathrm{motstående \, katet \, til \,} v}{\mathrm{hosliggende \, katet \, til \,} v} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}. \]

Så ganger vi de to sammen:

\[ \tan u \cdot \tan v = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{3\cdot 4}{4\cdot 3} = 1. \]

Så Tom har derfor rett i sin påstand.

b

Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse trekanter \(u\) og \(v\).

Løsning

Vi lager oss en generell trekant med spisse vinkler \(u\) og \(v\), og sidelengder \(a\), \(b\) og \(c\). Se figuren til høyre.

Fra figuren kan vi skrive ned \(\tan u\) som:

\[\begin{align*} \tan u &= \dfrac{\mathrm{motstående \, katet \, til \,} u}{\mathrm{hosliggende \, katet \, til \,} u} \\ \\ \tan u &= \dfrac{c}{b} \end{align*}\]

og tilsvarende for \(\tan v\):

\[ \tan v = \dfrac{\mathrm{motstående \, katet \, til \,} v}{\mathrm{hosliggende \, katet \, til \,} v} = \dfrac{b}{c} \]

Deretter ganger vi de to sammen:

\[ \tan u \cdot \tan v = \dfrac{c}{b} \cdot \dfrac{b}{c} = \dfrac{c\cdot b}{b\cdot c} = 1. \]

Dermed stemmer påstanden for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler \(u\) og \(v\).

Oppgave 5 (Høst 2024)

Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok

\[ 2\cdot \sin (u) \cdot \cos (u) = \sin (2\cdot u) \]

Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når \(u = 30\degree\).

Løsning

Vi skal bruke at \(u = 30\degree\). For å vise at formelen gjelder for trekanten trenger vi da å bestemme

\(\sin (30\degree)\)
\(\cos (30\degree)\)
\(\sin (2\cdot 30\degree) = \sin (60\degree)\)

Vi har

\[ \sin (30\degree) = \dfrac{1}{2} \and \cos (30\degree) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]

Tilsvarende kan vi bestemme \(\sin (60\degree)\) ved

\[ \sin (60\degree) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]

Så sjekker vi om formelen stemmer:

Venstre side

\[ 2 \cdot \sin (30\degree) \cdot \cos (30\degree) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Høyre side

\[ \sin (60\degree) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Sammenligner vi venstre side og høyre side, så kan vi observere at de er like. Dermed gjelder formelen for trekanten når \(u = 30\degree\).

Oppgave 6 (Høst 2024)

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet en sirkel med radius \(r = 1\). Punktet \(P(0.64, 0.77)\) ligger på sirkelen.

a

Er \(\tan 50\degree > 1\)?
Husk å begrunne svaret ditt.

Løsning

Fra figuren kan vi se at

\[ \tan 50\degree = \dfrac{0.77}{0.64} > 1 \]

Dermed er \(\tan 50\degree > 1\).

b

Er \(\tan 130\degree > 0\)?
Husk å begrunne svaret ditt.

Løsning

Hvis vi speiler punktet \(P\) om \(y\)-aksen og tegner en stråle ut fra origo til punktet, får vi et punkt \(Q\) som danner en vinkel \(130\degree\) med \(x\)-aksen. Koordinatene til punktet \(Q\) er da \(Q(-0.64, 0.77)\). Regner vi ut \(\tan 130\degree\) får vi:

\[ \tan 130\degree = \dfrac{0.77}{-0.64} < 0 \]

Dermed er ikke \(\tan 130\degree > 0\).

Oppgave 7 (Høst 2022)

Gitt trekanten til høyre.

Vis at

\[ \dfrac{\sin u}{\cos u} = \tan u \]

Løsning

Først regner vi ut \(\sin u\):

\[ \sin u = \dfrac{\mathrm{motstående \, katet \, til \,} u}{\mathrm{hypotenus}} = \dfrac{4}{5}. \]

Deretter regner vi ut \(\cos u\):

\[ \cos u = \dfrac{\mathrm{hosliggende \, katet \, til \,} u}{\mathrm{hypotenus}} = \dfrac{3}{5}. \]

Så bestemmer vi \(\tan u\) med definisjonen:

\[ \tan u = \dfrac{\mathrm{motstående \, katet \, til \,} u}{\mathrm{hosliggende \, katet \, til \,} u} = \dfrac{4}{3}. \]

Alt vi må gjøre nå er å vise at kvotienten \(\dfrac{\sin u}{\cos u}\) gir samme verdi som \(\tan u\):

\[ \dfrac{\sin u}{\cos u} = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{\cancel{5}} \cdot \dfrac{\cancel{5}}{3} = \dfrac{4}{3} = \tan u. \]

Oppgave 8 (Vår 2022)

Om en rettvinklet trekant \(ABC\) får du vite at \(\tan \angle B = \dfrac{3}{4}\).

Kan det være riktig at \(\sin \angle B = \dfrac{3}{10}\)?
Kan det være riktig at den ene kateten er \(6\) og den andre kateten er \(8\)?
Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn \(4\)?

Løsning

Påstand 1

Dersom \(\tan \angle B = \dfrac{3}{4}\) så følger det at trekanten må være formlik med en trekant der katetene er \(3\) og \(4\). Det betyr at hvilken enn trekant dette måtte være, så er den formlik med en trekant der hypotenusen \(h\) er

\[ h = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \]

Dermed må \(\sin \angle B\) være

\[ \sin \angle B = \dfrac{\mathrm{motstående \, katet}}{\mathrm{hypotenus}} = \dfrac{3}{5}. \]

Så med andre ord er \(\sin \angle B \neq \dfrac{3}{10}\).

Påstand 2

La oss anta at den ene kateten er \(6\) og den andre kateten er \(8\). Dette er en mulighet fordi

\[ \tan \angle B = \dfrac{3}{4} = \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4} = \dfrac{6}{8}. \]

Så denne påstanden kan være riktig.

Påstand 3

Hypotenusen kan være kortere enn \(4\) fordi \(\tan \angle B\) bare beskriver forholdstallet mellom katetene. Dermed vil finnes to kateter som medfører at hypotenusen er kortere enn \(4\) og samtidig at \(\tan \angle B = \dfrac{3}{4}\).

Oppgave 9 (Høst 2021)

Om en rettvinklet trekant \(ABC\) får du vite at

\(\cos \angle A = \dfrac{1}{2}\)
\(\sin \angle C = \dfrac{1}{2}\)
\(AB = 4\)

Bestem \(AC\).

Løsning

Vi starter med å lage en hjelpefigur der vi nødvendigvis må ha at \(\angle B = 90\degree\) siden trekanten er rettvinklet og \(\sin \angle C \neq 1\) og \(\cos \angle A \neq 0\) som betyr at ingen av dem kan være \(90\degree\).

Se figuren til høyre.

Vi tar utgangspunkt i at

\[ \cos \angle A = \frac{1}{2} \and \cos \angle A = \dfrac{4}{x} \]

som betyr at

\[\begin{align*} \dfrac{4}{x} & = \dfrac{1}{2} \\ \\ 4 & = \dfrac{x}{2} \\ \\ 8 & = x. \end{align*}\]

Dermed er \(x = AC = 8\).

Oppgave 10 (Vår 2021)

Du får vite følgende om trekanten \(ABC\)

\(AC = 10\)
\(\sin A = \dfrac{3}{5}\)

Bestem \(BC\).

Løsning

Først kan vi merke oss at

\[ \sin A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BC}{10} = \dfrac{3}{5} \]

Vi løser likningen for \(BC\):

\[\begin{align*} \dfrac{BC}{10} & = \dfrac{3}{5} \\ \\ \cancel{10}\cdot \dfrac{BC}{\cancel{10}} & = \dfrac{3}{\cancel{5}} \cdot \cancelto{\displaystyle 2}{10} \\ \\ \\ BC & = 3\cdot 2= 6. \end{align*}\]