Programmeringsoppgaver

Programmeringsoppgaver#

Oppgave 1

Ta quizen!

Oppgave 2

Nedenfor vises en programkode.

Forklar hva programmet regner ut og bestem verdien som skrives ut av programmet. Skriv inn svaret ditt i feltet nedenfor.

Fasit

Programmet regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten til $f(x) = x^2 - 3x + 7$ i intervallet $[0, 5]$. Programmet skriver ut at denne verdien er $2$.

Oppgave 3

Nedenfor vises en programkode.

a

Forklar hva programmet regner ut og avgjør hvilke verdier som skrives ut av programmet.

Skriv inn svaret ditt i feltet nedenfor.

Fasit

Programmet bestemmer nullpunktene til $f(x) = x^2 - 2x - 8$. Vi bestemmer disse med $abc$-formelen som gir

\[ x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 4\cdot 8}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} = 1 \pm 3 \]

som betyr at programmet først skriver ut $x = -2$ og deretter $x = 4$.

b

Endre på programmet slik at det løser likningen

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Bestem løsningene med programmet ditt.

Fasit

Vi endrer på $f(x)$ i programmet slik at vi i stedet bruker $f(x) = x^2 - x - 6$.

def f(x):
    return x**2 - x - 6

for x in range(-10, 11):
    if f(x) == 0:
        print(x)

Programmet skriver da ut

-2
3

som betyr at løsningene av $x^2 - x - 6 = 0$ er

\[ x = -2 \or x = 3. \]

Oppgave 4

En programkode er vist nedenfor.

a

Forklar hva programmet regner ut og bestem hvilken verdi som skrives ut av programmet.

Sjekk svaret ved å skrive inn i feltet nedenfor.

Fasit

Programmet regner ut summen av de $4$ først naturlige tallene. Programmet skriver derfor ut verdi

\[ s = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. \]

b

Da en matematiker som het Gauss gikk på skolen, fikk han i oppgave å summere de 100 første heltallene som straff for at han var urolig i timen.

Endre på programmet og bruk det til å løse oppgaven til Gauss.

Fasit

Vi må endre på programmet slik at det summerer opp tallene $1, 2, \ldots, 99, 100$, som vi kan oppnå ved å bruke range(1, 101) i stedet for range(1, 5). Da får vi programmet:

s = 0

for n in range(1, 101):
    s = s + n

print(s)

som gir utskriften

Summen av de 100 første naturlige tallene er derfor $5050$.

Oppgave 5

I denne oppgaven skal du jobbe med summer av oddetall og partall. Vi lar $S_n$ være summen av de $n$ første oddetallene. Nedenfor vises noen av disse summene:

\[\begin{align*} S_1 &= 1 \\ S_2 &= 1 + 3 \\ S_3 &= 1 + 3 + 5 \\ S_4 &= 1 + 3 + 5 + 7 \\ S_5 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 \\ S_6 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \\ \vdots & \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \vdots \\ \end{align*}\]

a

Lag et program som regner ut og skriver ut summene $S_1, S_2, S_3, \ldots, S_{20}$.

Fasit

s = 0

for n in range(20):
    oddetall = 2 * n + 1
    s = s + oddetall
    print(s)

som gir utskriften

b

Avgjør om summen av de 20 første partallene er større enn summen av de 20 første oddetallene.

Fasit

s = 0

for n in range(1, 21):
    partall = 2 * n
    s = s + partall

print(s)

som gir utskriften

Altså er summen av de 20 første partallene større enn summen av de 20 første oddetallene.

Oppgave 6

Nedenfor vises en figur som er satt sammen av uendelig mange linjestykker.

Lengden til et linjestykke er alltid $90 \%$ av lengden til det forrige linjestykket. Det første linjestykket er $100$ cm langt.

a

Lag et program som bestemmer summen av lengdene til de $10$ første linjestykkene.

Fasit

s = 0 # summen av lengdene
lengde = 100 # første linjestykke
n = 0 # antall linjestykker

while n < 10:
    s = s + lengde     # plusser på lengden
    n = n + 1        # øk antall linjestykker med 1
    lengde = 0.9 * lengde     # neste lengde = 90% av forrige lengde
    
print(s)

gir utskriften

651.3215599000001

som betyr at summen av lengdene til de 10 første linjestykkene er ca. $651.32$ cm.

b

Hvor mange linjestykker må du legge sammen for at summen av lengdene skal bli minst 9 meter?

Fasit

s = 0 # summen av lengdene
lengde = 100 # første linjestykke
n = 0 # antall linjestykker

while s < 900: # så lengde summen er mindre enn 9 m = 900 cm
    s = s + lengde     # plusser på lengden
    n = n + 1        # øk antall linjestykker med 1
    lengde = 0.9 * lengde     # neste lengde = 90% av forrige lengde
    
print(n)

gir utskriften

som betyr at vi trenger 22 linjestykker før linjestykket blir lenger enn 9 meter (900 cm).

c

Hvilken lengde vil lengden av hele figuren nærme seg?

Fasit

Kjører vi programmet med veldig mange linjestykker, vil summen av lengdene nærme seg $1000$ cm.

Oppgave 7

I figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{8}{x^2 + 4} \]

Et rektangel har hjørner i punktene $(0,0)$, $(3, 0)$, $(3, f(3))$ og $(0, f(3))$.

a

Lag et program som regner ut arealet til rektangelet.

Fasit

def f(x):
    return 8 / (x**2 + 4)
    
def A(x):
    return x * f(x)
    

areal = A(3)

print(areal)

som gir utskriften

1.8461538461538463

som betyr at arealet av rektangelet er omtrent $1.85$.

b

Utvid programmet ditt slik at det skriver ut arealet av rektangelene med hjørner i punktet $(0, 0)$, $(k, 0)$, $(k, f(k))$ og $(0, f(k))$ for $k = \{1, 2, 3, \ldots, 9, 10\}$.

Fasit

def f(x):
    return 8 / (x**2 + 4)
    
def A(x):
    return x * f(x)


for k in range(1, 11):
    print(k, A(k))

som gir utskriften

1.6
2.0
1.8461538461538463
1.6
1.3793103448275863
1.2000000000000002
1.0566037735849056
0.9411764705882353
0.8470588235294118
0.7692307692307693

Første kolonne er verdiene av $k$ og andre kolonne er arealene av rektanglene.

c

Utvid programmet ditt og bestem hvilken verdi av $k \in \langle 0, \to\rangle$ som gir størst mulig areal.

Fasit

Vi starter med den laveste mulige verdien av $k$, så øker vi $k$ med en liten verdi så lenge det neste arealet er større enn det nåværende. Når det neste arealet er mindre enn det nåværende, har vi funnet den verdien av $k$ som gir størst areal:

def f(x):
    return 8 / (x**2 + 4)
    
def A(x):
    return x * f(x)


k = 0
while A(k) < A(k + 0.01): # Så lenge neste areal er større 
    k = k + 0.01
    
print(k)

som gir utskriften

2.0000000000000013

som betyr at $k \approx 2$ gir størst mulig areal.

Oppgave 8

I figuren nedenfor vises en følge av kvadrater der det første kvadratet har sidelengde $1$. Sidelengdene i det neste kvadratet er $90 \%$ av sidelengdene i det forrige kvadratet. Slik fortsetter følgen i det uendelige.

Lag et program som regner ut summen av arealene til veldig mange kvadrater.

Fasit

sidelengde = 1
n_kvadrater = 1_000_000 # antall kvadrater

sum_arealer = 0    # lagrer summen av arealene
for i in range(n_kvadrater):
    areal = sidelengde ** 2 # arealet til kvadratet
    sum_arealer = sum_arealer + areal # legg til på summen
    
    sidelengde = 0.9 * sidelengde # neste sidelengde er 90% av forrige

print(sum_arealer)

som gir utskriften

5.263157894736843

som betyr at arealet når vi bruker mange kvadrater er omtrent $5.26$.

Oppgave 9

I denne oppgaven skal du bestemme arealet av det fargelagte området vist i figuren nedenfor. Funksjonen $f$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{1}{9}(x + 1)(x - 6)^2 \]

For å bestemme arealet av det fargelagte området, skal du summere arealene til rektangler som bruker $f(x)$ som høyde til rektangler for ulike verdier av $x$ i intervallet $[0, 6]$. Se figurene nedenfor:

a

Bestem summen av arealene i rektanglene i figuren til venstre ovenfor (med 6 rektangler).

Fasit

Arealet av rektanglene i figuren til venstre ovenfor (med 6 rektangler) er ca. $21.78$.

b

Lag et program som regner ut arealet av det fargelagte området ved å bruke $6000$ rektangler.

Du kan ta utgangspunkt i programmet nedenfor.

Fasit

Programkode:

def f(x):
    return 1/9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2

x_min = 0
x_max = 6

n = 6000 # antall rektangler

bredde = (x_max - x_min) / n

areal = 0
for i in range(n):
    x = x_min + i * bredde
    høyde = f(x)
    
    areal = areal + bredde * høyde
    
print(areal)

Utskrift:

20.001999777777893

Arealet under grafen til $f$ i intervallet $[0, 6]$ er derfor omtrent $20$.

Oppgave 10

I figuren til høyre vises en likesidet trekant med sidelengder $2$.

Inni den ytre trekanten er det innskrevet en mindre likesidet trekant. Inni denne trekanten er det igjen innskrevet en enda mindre likesidet trekant. Slik fortsetter det i det uendelige.

Lag et program som regner ut summen av omkretsene til de 100 største trekantene.

Løsning

sidelengde = 2
samlet_omkrets = 0

for i in range(100):
    omkrets = 3 * sidelengde    # omkretsen til nåværende trekant
    samlet_omkrets = samlet_omkrets + omkrets    # legg til omkretsen
    sidelengde = sidelengde / 2 # neste trekant har halvparten av sidelengden
    
print(samlet_omkrets)

som gir utskriften

11.999999999999998

som betyr at den samlede omkretsen til de 100 største trekantene er omtrent $12$.

Oppgave 11

I figuren nedenfor til høyre vises en figur som er satt sammen av likesidede trekanter med sidelengder $2$. Figuren nedenfor til høyre viser en tilsvarende figur med mange flere slike likesidede trekanter.

a

Lag et program som regner ut hvor mange trekanter det er i en figur dersom den ytre omkretsen til figuren er $600$.

Løsning

Siden de mindre likesidede trekantene har sidelengder $2$ og den ytre omkretsen skal være $600$, så betyr at sidelengdene i den samlede figuren er $600 / 3 = 200$. Da følger det at det er $200 / 2 = 100$ rader med trekanter. Antall trekanter i hver rad er $1, 3, 5, \ldots, 2n + 1$ der $n = 0, 1, 2, \ldots, 99$. Vi kan summere opp antall trekanter i figuren med følgende program:

n_trekanter = 0 # for å summere opp antall trekanter
for n in range(100): # summerer over 100 rader.
    n_trekanter = n_trekanter + (2 * n + 1) # legger til antall trekanter i rad n.
    
print(n_trekanter)

som gir utskriften

Altså er det 10000 trekanter i figuren.

b

Lag et program som regner ut hvor mange rader det er i en figur dersom arealet av hele figuren er $100 \cdot \sqrt{3}$.

Oppgave 12

Sara jobber med funksjonen $h$ gitt ved

\[ h(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 8, \quad x \in [0, 2], \]

som beskriver høydeprofilen til en sykkeletappe. Når man har syklet $x$ km i luftlinje fra starten av etappen, befinner man seg $h(x)$ km over havet.

Sara vil regne ut lengden av etappen med programmering. Hun har laget seg en figur som viser hvordan hun har tenkt å gjøre det.

a

Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregning og fyll ut verdiene som mangler.

$n$	$\Delta x$	$\Delta y_n$	$\ell_n$
$1$	$0.5$	$-2$	$\sqrt{(-2)^2 + (0.5)^2} \approx 2.06$
$2$	$0.5$
$3$	$0.5$
$4$	$0.5$

b

Lag et program som regner ut lengden av etappen ved å bruke $10~000$ linjestykker.