Programmeringsoppgaver

Oppgave 1

Ta quizen!

---

Oppgave 2

Nedenfor vises en programkode.

Forklar hva programmet regner ut og bestem verdien som skrives ut av programmet. Skriv inn svaret ditt i feltet nedenfor.

Fasit

Programmet regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f(x) = x^2 - 3x + 7\) i intervallet \([0, 5]\). Programmet skriver ut at denne verdien er \(2\).

---

Oppgave 3

Nedenfor vises en programkode.

a

Forklar hva programmet regner ut og avgjør hvilke verdier som skrives ut av programmet.

Skriv inn svaret ditt i feltet nedenfor.

Fasit

Programmet bestemmer nullpunktene til \(f(x) = x^2 - 2x - 8\). Vi bestemmer disse med \(abc\)-formelen som gir

\[ x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 4\cdot 8}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} = 1 \pm 3 \]

som betyr at programmet først skriver ut \(x = -2\) og deretter \(x = 4\).

b

Endre på programmet slik at det løser likningen

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Bestem løsningene med programmet ditt.

Fasit

Vi endrer på \(f(x)\) i programmet slik at vi i stedet bruker \(f(x) = x^2 - x - 6\).

def f(x):
    return x**2 - x - 6

for x in range(-10, 11):
    if f(x) == 0:
        print(x)

Programmet skriver da ut

-2
3

som betyr at løsningene av \(x^2 - x - 6 = 0\) er

\[ x = -2 \or x = 3. \]

---

Oppgave 4

En programkode er vist nedenfor.

a

Forklar hva programmet regner ut og bestem hvilken verdi som skrives ut av programmet.

Sjekk svaret ved å skrive inn i feltet nedenfor.

Fasit

Programmet regner ut summen av de \(4\) først naturlige tallene. Programmet skriver derfor ut verdi

\[ s = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. \]

b

Da en matematiker som het Gauss gikk på skolen, fikk han i oppgave å summere de 100 første heltallene som straff for at han var urolig i timen.

Endre på programmet og bruk det til å løse oppgaven til Gauss.

Fasit

Vi må endre på programmet slik at det summerer opp tallene \(1, 2, \ldots, 99, 100\), som vi kan oppnå ved å bruke range(1, 101) i stedet for range(1, 5). Da får vi programmet:

s = 0

for n in range(1, 101):
    s = s + n

print(s)

som gir utskriften

5050

Summen av de 100 første naturlige tallene er derfor \(5050\).

---

Oppgave 5

I denne oppgaven skal du jobbe med summer av oddetall og partall. Vi lar \(S_n\) være summen av de \(n\) første oddetallene. Nedenfor vises noen av disse summene:

\[\begin{align*} S_1 &= 1 \\ S_2 &= 1 + 3 \\ S_3 &= 1 + 3 + 5 \\ S_4 &= 1 + 3 + 5 + 7 \\ S_5 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 \\ S_6 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \\ \vdots & \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \vdots \\ \end{align*}\]

a

Lag et program som regner ut og skriver ut summene \(S_1, S_2, S_3, \ldots, S_{20}\).

Fasit

s = 0

for n in range(20):
    oddetall = 2 * n + 1
    s = s + oddetall
    print(s)

som gir utskriften

1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400

b

Avgjør om summen av de 20 første partallene er større enn summen av de 20 første oddetallene.

Fasit

s = 0

for n in range(1, 21):
    partall = 2 * n
    s = s + partall

print(s)

som gir utskriften

420

Altså er summen av de 20 første partallene større enn summen av de 20 første oddetallene.

---

Oppgave 6

Nedenfor vises en figur som er satt sammen av uendelig mange linjestykker.

Lengden til et linjestykke er alltid \(90 \%\) av lengden til det forrige linjestykket. Det første linjestykket er \(100\) cm langt.

a

Lag et program som bestemmer summen av lengdene til de \(10\) første linjestykkene.

Fasit

s = 0 # summen av lengdene
lengde = 100 # første linjestykke
n = 0 # antall linjestykker

while n < 10:
    s = s + lengde     # plusser på lengden
    n = n + 1        # øk antall linjestykker med 1
    lengde = 0.9 * lengde     # neste lengde = 90% av forrige lengde
    
print(s)

gir utskriften

651.3215599000001

som betyr at summen av lengdene til de 10 første linjestykkene er ca. \(651.32\) cm.

b

Hvor mange linjestykker må du legge sammen for at summen av lengdene skal bli minst 9 meter?

Fasit

s = 0 # summen av lengdene
lengde = 100 # første linjestykke
n = 0 # antall linjestykker

while s < 900: # så lengde summen er mindre enn 9 m = 900 cm
    s = s + lengde     # plusser på lengden
    n = n + 1        # øk antall linjestykker med 1
    lengde = 0.9 * lengde     # neste lengde = 90% av forrige lengde
    
print(n)

gir utskriften

22

som betyr at vi trenger 22 linjestykker før linjestykket blir lenger enn 9 meter (900 cm).

c

Hvilken lengde vil lengden av hele figuren nærme seg?

Fasit

Kjører vi programmet med veldig mange linjestykker, vil summen av lengdene nærme seg \(1000\) cm.

---

Oppgave 7

I figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{8}{x^2 + 4} \]

Et rektangel har hjørner i punktene \((0,0)\), \((3, 0)\), \((3, f(3))\) og \((0, f(3))\).

a

Lag et program som regner ut arealet til rektangelet.

Fasit

def f(x):
    return 8 / (x**2 + 4)
    
def A(x):
    return x * f(x)
    

areal = A(3)

print(areal)

som gir utskriften

1.8461538461538463

som betyr at arealet av rektangelet er omtrent \(1.85\).

b

Utvid programmet ditt slik at det skriver ut arealet av rektangelene med hjørner i punktet \((0, 0)\), \((k, 0)\), \((k, f(k))\) og \((0, f(k))\) for \(k = \{1, 2, 3, \ldots, 9, 10\}\).

Fasit

def f(x):
    return 8 / (x**2 + 4)
    
def A(x):
    return x * f(x)


for k in range(1, 11):
    print(k, A(k))

som gir utskriften

1 1.6
2 2.0
3 1.8461538461538463
4 1.6
5 1.3793103448275863
6 1.2000000000000002
7 1.0566037735849056
8 0.9411764705882353
9 0.8470588235294118
10 0.7692307692307693

Første kolonne er verdiene av \(k\) og andre kolonne er arealene av rektanglene.

c

Utvid programmet ditt og bestem hvilken verdi av \(k \in \langle 0, \to\rangle\) som gir størst mulig areal.

Fasit

Vi starter med den laveste mulige verdien av \(k\), så øker vi \(k\) med en liten verdi så lenge det neste arealet er større enn det nåværende. Når det neste arealet er mindre enn det nåværende, har vi funnet den verdien av \(k\) som gir størst areal:

def f(x):
    return 8 / (x**2 + 4)
    
def A(x):
    return x * f(x)


k = 0
while A(k) < A(k + 0.01): # Så lenge neste areal er større 
    k = k + 0.01
    
print(k)

som gir utskriften

2.0000000000000013

som betyr at \(k \approx 2\) gir størst mulig areal.

---

Oppgave 8

I figuren nedenfor vises en følge av kvadrater der det første kvadratet har sidelengde \(1\). Sidelengdene i det neste kvadratet er \(90 \%\) av sidelengdene i det forrige kvadratet. Slik fortsetter følgen i det uendelige.

Lag et program som regner ut summen av arealene til veldig mange kvadrater.

Fasit

sidelengde = 1
n_kvadrater = 1_000_000 # antall kvadrater

sum_arealer = 0    # lagrer summen av arealene
for i in range(n_kvadrater):
    areal = sidelengde ** 2 # arealet til kvadratet
    sum_arealer = sum_arealer + areal # legg til på summen
    
    sidelengde = 0.9 * sidelengde # neste sidelengde er 90% av forrige

print(sum_arealer)

som gir utskriften

5.263157894736843

som betyr at arealet når vi bruker mange kvadrater er omtrent \(5.26\).

---

Oppgave 9

I denne oppgaven skal du bestemme arealet av det fargelagte området vist i figuren nedenfor. Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{1}{9}(x + 1)(x - 6)^2 \]

For å bestemme arealet av det fargelagte området, skal du summere arealene til rektangler som bruker \(f(x)\) som høyde til rektangler for ulike verdier av \(x\) i intervallet \([0, 6]\). Se figurene nedenfor:

a

Bestem summen av arealene i rektanglene i figuren til venstre ovenfor (med 6 rektangler).

Fasit

Arealet av rektanglene i figuren til venstre ovenfor (med 6 rektangler) er ca. \(21.78\).

b

Lag et program som regner ut arealet av det fargelagte området ved å bruke \(6000\) rektangler.

Du kan ta utgangspunkt i programmet nedenfor.

Fasit

Programkode:

def f(x):
    return 1/9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2

x_min = 0
x_max = 6

n = 6000 # antall rektangler

bredde = (x_max - x_min) / n

areal = 0
for i in range(n):
    x = x_min + i * bredde
    høyde = f(x)
    
    areal = areal + bredde * høyde
    
print(areal)

Utskrift:

20.001999777777893

Arealet under grafen til \(f\) i intervallet \([0, 6]\) er derfor omtrent \(20\).

---

Oppgave 10

I figuren til høyre vises en likesidet trekant med sidelengder \(2\).

Inni den ytre trekanten er det innskrevet en mindre likesidet trekant. Inni denne trekanten er det igjen innskrevet en enda mindre likesidet trekant. Slik fortsetter det i det uendelige.

Lag et program som regner ut summen av omkretsene til de 100 største trekantene.

Løsning

sidelengde = 2
samlet_omkrets = 0

for i in range(100):
    omkrets = 3 * sidelengde    # omkretsen til nåværende trekant
    samlet_omkrets = samlet_omkrets + omkrets    # legg til omkretsen
    sidelengde = sidelengde / 2 # neste trekant har halvparten av sidelengden
    
print(samlet_omkrets)

som gir utskriften

11.999999999999998

som betyr at den samlede omkretsen til de 100 største trekantene er omtrent \(12\).

---

Oppgave 11

I figuren nedenfor til høyre vises en figur som er satt sammen av likesidede trekanter med sidelengder \(2\). Figuren nedenfor til høyre viser en tilsvarende figur med mange flere slike likesidede trekanter.

a

Lag et program som regner ut hvor mange trekanter det er i en figur dersom den ytre omkretsen til figuren er \(600\).

Løsning

Siden de mindre likesidede trekantene har sidelengder \(2\) og den ytre omkretsen skal være \(600\), så betyr at sidelengdene i den samlede figuren er \(600 / 3 = 200\). Da følger det at det er \(200 / 2 = 100\) rader med trekanter. Antall trekanter i hver rad er \(1, 3, 5, \ldots, 2n + 1\) der \(n = 0, 1, 2, \ldots, 99\). Vi kan summere opp antall trekanter i figuren med følgende program:

n_trekanter = 0 # for å summere opp antall trekanter
for n in range(100): # summerer over 100 rader.
    n_trekanter = n_trekanter + (2 * n + 1) # legger til antall trekanter i rad n.
    
print(n_trekanter)

som gir utskriften

10000

Altså er det 10000 trekanter i figuren.

b

Lag et program som regner ut hvor mange rader det er i en figur dersom arealet av hele figuren er \(100 \cdot \sqrt{3}\).

Oppgave 12

En lysstråle ble først observert ved et punkt \(A(1000, 0)\) i luften og deretter i et punkt \(B(10000, -1000)\) i vann.

Alle avstander er målt i meter. Se figuren nedenfor.

Lyset reiser med en fart på \(300 \, \mathrm{m/\mu s}\) (meter per mikrosekund) i luft og \(225 \, \mathrm{m/\mu s}\) i vann. Her står \(1 \, \mathrm{\mu s}\) for 1 mikrosekund som en milliondel av et sekund.

a

Nedenfor vises et program som regner ut tiden det tar for lyset å reise fra \(A\) til \(M(3000, 0)\).

Pusle sammen programmet i riktig rekkefølge.

Fasit

from math import sqrt # jeg må være første kodelinje!

def tid_luft(x):
    fart_luft = 300 # meter per mikrosekund
    
    AM = sqrt(x**2 + 1000**2) # meter
    tid = AM / fart_luft # mikrosekunder

    return tid
    

x = 3000
reisetid = tid_luft(x)

print(f"{reisetid = :.2f} mikrosekunder")

b

Forklar matematikken bak kodelinje 6 og 7 i programmet.

Fasit

• Kodelinje 6 bruker Pytagoras’ setning til å regne ut avstanden \(AM\) der den ene kateten er \(x = 3000\) m og den andre kateten er \(1000\) m.

• Kodelinje 7 bruker vei-fart-tid-formelen \(s = v \cdot t\) til å regne ut tiden det tar å reise avstanden \(AM\) i luft, der \(s\) er avstanden, \(v\) er farten og \(t\) er tiden.

c

Utvid programmet slik at det regner ut tiden det tar for lyset å reise fra \(M\) til \(C\) i vann.

Bruk programmet til å regne ut tiden det tar for lyset å reise helt fra \(A\) til \(C\).

Fasit

from math import sqrt

def tid_luft(x):
    fart_luft = 300 # meter per mikrosekund

    AM = sqrt(x**2 + 1000**2) # meter
    tid = AM / fart_luft # mikrosekunder

    return tid
    
def tid_vann(x):
    fart_vann = 225 # meter per mikrosekund
    
    MC = sqrt((x - 10_000)**2 + 1000**2)
    tid = MC / fart_vann
    
    return tid
    

x = 3000
reisetid = tid_luft(x) + tid_vann(x)

print(f"{reisetid = :.2f} mikrosekunder")

som gir utskriften

reisetid = 41.97 mikrosekunder

som betyr at lyset bruker omtrent \(41.97\) mikrosekunder fra \(A\) til \(C\).

d

Utvid programmet ditt med en funksjon T(x) som bruker funksjonen tid_luft(x) og tid_vann(x) til å regne ut den totale tiden lysstrålen bruker fra \(A\) til \(C\) når den treffer vannoverflaten i punktet \(M(x, 0)\).

Fasit

Funksjonen må plasseres nedenfor funksjonene tid_luft(x) og tid_vann(x) i programmet fra a. Da kan vi definere funksjonen som:

def T(x):
    return tid_luft(x) + tid_vann(x)

e

Ifølge Snells lov, vil lysstrålen vil alltid “velge” den veien mellom \(A\) og \(C\) som gir kortest mulig reisetid.

Utvid programmet ditt og bruk det til å bestemme i hvilket punkt lysstrålen må ha truffet vannoverflaten.

Fasit

1. Strategi

Vi må bestemme hvilken verdi av \(x\) som gir minst mulig verdi for \(T(x)\). Dette kan vi gjøre ved å starte med \(x = 0\), og deretter øke \(x\) med et lite tall så lenge reisetiden i \(x\) er større enn reisetiden i \(x + \mathrm{lite \, tall}\). Altså, så lenge

\[ T(x) > T(x + \mathrm{lite \, tall}) \]

Når \(T(x) \leq T(x + \mathrm{lite \, tall})\), har vi funnet den verdien av \(x\) som gir kortest mulig reisetid.

2. Utvidelse til programkode

Utvidelse av programkoden fra b:

x = 0
while T(x) > T(x + 0.01):
    x = x + 0.01
    
print(x)

3. Full programkode

Utvidelse av programkoden fra b:

from math import sqrt

def tid_luft(x):
    fart_luft = 300 # meter per mikrosekund

    AM = sqrt(x**2 + 1000**2) # meter
    tid = AM / fart_luft # mikrosekunder

    return tid
    
def tid_vann(x):
    fart_vann = 225 # meter per mikrosekund
    
    MC = sqrt((x - 10_000)**2 + 1000**2)
    tid = MC / fart_vann
    
    return tid

    
def T(x):
    return tid_luft(x) + tid_vann(x)    


x = 0
while T(x) > T(x + 0.01):
    x = x + 0.01

print(f"{x = :.2f} meter")

som gir utskriften

x = 8882.18 meter

som betyr at lysstrålen traff vannet omtrentlig i punktet \(M(8882, 0)\).