31. Teoridrevet modellering#
Læringsmål
Kunne sette opp en matematisk modell for en praktisk situasjon
Kunne bruke teori om funksjoner til å analysere en matematisk modell for en praktisk situasjon
Kunne bruke digitale verktøy til å analysere en matematisk modell, og fremstille resultater ved hjelp av grafiske framstillinger, tabeller og regneark.
Bruke en matematisk modell til å løse optimeringsproblemer i praktiske situasjoner
En viktig anvendelse av matematikk er å sette opp matematiske modeller som er teoridrevet. Det vil si at vi har en god teoretisk forståelse av hvordan den praktiske situasjonen fungerer og at vi kan bruke denne forståelsen til å sette opp en matematisk modell som har et godt samsvar med den praktiske situasjonen. De fleste praktiske situasjonene der vi bruker teoridrevne modeller er situasjoner som handler om optimering – å bestemme en størrelse slik at noe blir størst mulig eller minst mulig. Først skal vi se på noen eksempler ved bruk av ulike strategier for å løse slike problemer. Deretter skal vi se på typiske problemer som dukker opp siden det mest utfordrende med teoridrevet modellering er å sette opp den matematiske modellen i første omgang.
Optimering#
Vi kan løse teoridrevne optimeringsproblemer ved hjelp av tre ulike strategier:
Lage en verditabell og bruke denne til å finne den optimale verdien.
Lage en grafisk framstilling av modellen og bruke denne til å finne den optimale verdien ved hjelp av ekstremalpunktene til grafen.
Bruke CAS til å finne den optimale verdien ved hjelp av den deriverte.
Verditabell#
Én strategi for å løse et optimeringsproblem med en teoridrevet modell er å lage en systematisk oversikt ved hjelp av en verditabell. Dette betyr at vi regner ut en rekke verdier for en modell og lager en systematisk oversikt over disse verdiene i en tabell. For å lage dette, skal vi benytte oss av regneark. Vi kan så bruke denne tabellen til å finne den verdien som gir det optimale resultatet.
Eksempel 1
Et område skal gjerdes inn og skal ha form som et rektangel. Vi har 64 m med gjerde til rådighet som vi skal bruke til å gjerde inn området. Målet er å få størst mulig areal.
Se figuren nedenfor.
Lag en oversikt over arealet for ulike lengder av sidekantene og bestem omtrent hvilken lengde på sidekantene som gir størst mulig areal.
Løsning
Siden vi har \(64\) m med gjerde til rådighet som skal fordeles rundt to sidekanter med lengde \(x\) og to sidekanter med lengde \(y\), kan vi sette opp følgende likning for omkretsen:
som kan forenkles til
Her er det nyttig å løse likningen for \(y\) slik at vi kan velge verdien til \(x\) og dermed automatisk bestemme hvilken verdi \(y\) må ha slik at omkretsen fortsatt er \(64\) m. Vi får da
Vi må også vite arealet av rektangelet, som er gitt ved
Så lager vi en verditabell med et regneark der vi har en kolonne for \(x\), en kolonne for \(y\) og en kolonne for arealet \(A\). Vi velger verdier for \(x\) og bruker formelen for \(y\) til å regne ut verdiene for \(y\). Se gif-en nedenfor. Bruk Geogebra-vinduet til høyre for å følge eksempelet!
Fra gif-en ovenfor ser vi at når \(x = y = 16 \, \mathrm{m}\), så får vi det største mulige arealet som er da er \(256 \, \mathrm{m^2}\).
En svakhet med strategien i Eksempel 1 er at vi ikke får et eksakt svar på oppgaven – i stedet har vi regnet ut arealet for ulike verdier og velger ut verdiene til \(x\) og \(y\) ut ifra som det som gir størst areal ut ifra verdiene vi har regnet ut. For å få et mer eksakt svar, kan vi bruke en av de to andre strategiene vi skal se på nå.
Grafisk framstilling#
Å fremstille modellen grafisk er en annen strategi. Dette innebærer at vi må sette opp et funksjonsuttrykk for modellen som beskriver det vi ønsker å gjøre størst eller minst mulig. Deretter tegner grafen og
Finner toppunktene hvis vi ønsker å gjøre noe størst mulig.
Finner bunnpunktene hvis vi ønsker å gjøre noe minst mulig.
Vi tar utgangspunkt i samme situasjon som i Eksempel 1 i eksemplet nedenfor.
Eksempel 2
Et område skal gjerdes inn og skal ha form som et rektangel. Vi har 64 m med gjerde til rådighet som vi skal bruke til å gjerde inn området. Målet er å få størst mulig areal.
Se figuren nedenfor.
Lag en grafisk framstilling og bestem lengden på sidekantene som gir størst mulig areal.
Løsning
Fra Eksempel 1 har vi så langt funnet ut at
Hvis vi setter inn verdien for \(y\) i uttrykket for arealet \(A\), så får vi et funksjonsuttrykk \(A(x)\) for arealet som kun er avhengig av \(x\):
Bruk Geogebra-vinduet til høyre for å følge eksempelet!
Vi lager en grafisk framstilling av funksjonen \(A(x)\) og finner ekstremalpunktet til funksjonen ved å bruke 
i Geogebra. Se gif-en nedenfor.
Fra gif-en ovenfor er vi at ekstremalpunktet til grafen er \((16, 256)\). Dette er et toppunkt som betyr at når \(x = 16 \, \mathrm{m}\), så får vi det største mulige arealet som er da er \(256 \, \mathrm{m^2}\). Dette stemmer overens med det vi fant i Eksempel 1, men her kan vi være sikre på at svaret er riktig fordi den grafiske framstillingen tegner grafen med langt flere punkter enn vi kan lage i en verditabell.
Å løse optimeringsproblemer ved hjelp av grafisk framstilling er en god og robust strategi som gir oss god oversikt over situasjonen ved hjelp av grafen og hjelper oss å bestemme verdier for \(x\) som gjør en størrelse størst eller minst mulig. En svakhet med denne strategien er at den egentlig ikke gir oss eksakte verdier. I Eksempel 1 og 2, så er den riktige verdien et heltall som vi derfor får eksakt. Men i noen tilfeller vil det riktig svaret være et desimaltall eller et irrasjonalt tall og da vil denne strategien bare gi oss en tilnærmet verdi for svaret.
CAS#
Den tredje strategien vi skal se på er å bruke CAS til å finne den optimale verdien ved hjelp av den deriverte. Vi tar utgangspunkt i samme situasjon som i Eksempel 1 og 2 i eksemplet nedenfor.
Eksempel 3
Et område skal gjerdes inn og skal ha form som et rektangel. Vi har 64 m med gjerde til rådighet som vi skal bruke til å gjerde inn området. Målet er å få størst mulig areal.
Se figuren nedenfor.
Bestem lengden på sidekantene som gir størst mulig areal.
Løsning
Fra Eksempel 1 og 2 så fant vi at en modell for arealet \(A\) er gitt ved
der \(x\) er en av lengdene til sidekantene til rektangelet, og den andre lengden er gitt ved \(y = 32 - x\).
Bruk CAS-vinduet til å følge resten av eksemplet!
For å bruke CAS til å bestemme hvilken verdi av \(x\) som gir størst areal, husker vi på at eventuelle toppunkter til en funksjon \(A\) er gitt ved der den deriverte \(A'(x) = 0\). Dette kan vi løse med CAS:
Fra gif-en ovenfor ser vi at når vi løser \(A'(x) = 0\), så får vi \(x = 16\). Hvis vi ønsker å vite hva arealet er når \(x = 16\), så regner vi bare ut \(A(16)\) slik som er vist i gif-en.
Klassiske problemstillinger#
De vanligste problemstillingene som kommer til å dukke opp er å bestemme modeller som beskriver areal, lengder eller volum. Etter vi har satt opp modellene, kan vi velge en av de tre strategiene vi har sett på for å løse optimeringsproblemet. I eksemplene nedenfor vil vi fokusere på det å sette opp modeller og løse optimeringsproblemene som betyr at eksemplene i seg selv her ikke representerer noen praktisk situasjon. Jobben din i oppgavene er å gjenkjenne typen matematisk problemstilling som er beskrevet i den praktiske situasjonen og oversette dette til en matematisk modell!
Areal#
Vi tar et eksempel der vi må sette opp en modell for et areal og bestemme det største mulige arealet.
Eksempel 4
En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved
Et rektangel har hjørnene \((0, 0)\), \((a, 0)\), \((a, f(a))\) og \((0, f(a))\). Se figuren nedenfor.
Bestem \(a\) slik at arealet av rektangelet er størst mulig.
Løsning
Vi setter opp en modell \(A\) for arealet for en verdi av \(a \in [0, 3]\). Grunnlinjen til rektangelet er \(a\) og høyden er \(f(a)\), som gir oss arealet \(A\) gitt ved
For å bestemme verdien av \(a\) som gir størst mulig areal, kan vi bruke en av de tre strategiene vi har sett på. Her bruker vi CAS:
Vi vet at \(a \in [0, 3]\), så vi må passe på at vi kun får svar innenfor dette intervallet. Fra løsningen med CAS får vi at
Men det er bare \(a = \sqrt{3}\) som ligger i intervallet \([0, 3]\). Dermed får vi det største mulige arealet når \(a = \sqrt{3}\).
Lengde#
En vanlig problemstilling er å bestemme en modell for en lengde for å så bestemme den korteste mulige lengden. Vi tar et eksempel nedenfor.
Eksempel 5
Figuren nedenfor viser to punkter \(A\), \(B\) og et punkt \(M\).
Bestem den korteste mulige lengden \(AM + MB\) kan være.
Løsning
La \(M\) ha koordinatene \((x, 0)\) slik at avstanden fra “skyggen” til \(A\) er \(x\) og avstanden fra “skyggen” til \(B\) er \(12 - x\). Vi kan bruke Pytagoras’ setning til å sette opp en modell for lengden \(L\) av \(AM + MB\). Først bestemmer vi \(AM\):
Så bestemmer vi \(MB\):
Modellen vår for lengden er derfor
Denne gangen bruker vi en grafisk framstilling til å bestemme den korteste mulige lengden (bruk Geogebra-vinduet til høyre for å følge eksempelet!):
Fra figuren ovenfor ser vi at bunnpunktet til grafen er omtrent i \((5.45, 25.06)\) som betyr at den korteste mulige lengden er omtrent \(25.06\) som vi får når \(x \approx 5.45\).