Oppgaver: Ekstremalpunktsform

Oppgaver: Ekstremalpunktsform#

Oppgave 1

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 1)^2 + 3. \]

Bestem grafens ekstremalpunkt og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt.

Fasit

Bunnpunkt i \((1, 3)\).

Løsning

Grafen har et ekstremalpunktet i \((1, 3)\). Siden den ledende koeffisienten \(a = 1> 0\), så grafen konveks (den smiler \(\smile\)) og ekstremalpunktet er derfor et bunnpunkt.

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x + 1)^2 + 5. \]

Bestem grafens ekstremalpunkt og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt.

Fasit

Toppunkt i \((-1, 5)\).

Løsning

Grafen har et ekstremalpunkt i \((-1, 5)\). Siden den ledende koeffisienten \(a = -2 < 0\), så grafen er konkav (surt fjes \(\frown\)) og ekstremalpunktet er derfor et toppunkt.

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = -3(x - 2)^2 - 4 \]

Bestem grafens ekstremalpunkt og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt.

Fasit

Toppunkt i \((2, -4)\).

Løsning

Grafen har et ekstremalpunkt i \((2, -4)\). Siden den ledende koeffisienten \(a = -3 < 0\), så grafen er konkav (surt fjes \(\frown\)) og ekstremalpunktet er derfor et toppunkt.

d

En andregradsfunksjon \(d\) er gitt ved

\[ p(x) = 4(x + 3)^2 + 2 \]

Bestem grafens ekstremalpunkt og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt.

Fasit

Bunnpunkt i \((-3, 2)\).

Løsning

Grafen har et ekstremalpunkt i \((-3, 2)\). Siden den ledende koeffisienten \(a = 4 > 0\), så grafen er konveks (den smiler \(\smile\)) og ekstremalpunktet er derfor et bunnpunkt.

Oppgave 2

Figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon gitt ved

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 \]

a

Bestem koordinatene til ekstremalpunktet til \(f\) og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt.

Kan du si noe om fortegnet til \(a\)?

Løsning

Grafens ekstremalpunkte er i \((1, 3)\). Dette er et bunnpunkt siden grafen er konveks (den smiler \(\smile\)). Det betyr at \(a > 0\).

b

Bestem verdiene til \(x_0\) og \(y_0\).

Fasit

\[ x_0 = 1 \and y_0 = 3 \]

c

Bestem verdien til \(a\) og bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ a = 1 \and f(x) = (x - 1)^2 + 3 \]

Løsning

Vi vet nå at vi kan skrive \(f(x)\) på formen

\[ f(x) = a(x - 1)^2 + 3 \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 4)\) som betyr at

\[ f(0) = 4 \liff a(0 - 1)^2 + 3 = 4 \]

som vi forenkler til

\[ a + 3 = 4 \liff a = 1. \]

Dermed er

\[ f(x) = (x - 1)^2 + 3 \]

Oppgave 3

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 4x + 3. \]

a

Bestem symmetrilinja \(x_0\) til grafen til \(f\).

Fasit

\[ x_0 = 2 \]

Løsning

Symmetrilinja til grafen til \(f\) er gitt ved

\[ x_0 = -\dfrac{b}{2a} \]

Vi kan se at \(a = 1\) og \(b = -4\) så

\[ x_0 = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2. \]

b

Bestem koordinatene til ekstremalpunktet til \(f\) og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt.

Fasit

Toppunkt i \((2, -1)\).

Løsning

Vi vet allerede \(x\)-koordinaten til ekstremalpunktet siden dette er det samme som symmetrilinja \(x_0 = 2\). For å finne \(y\)-koordinaten setter vi \(x = 2\) inn i \(f(x)\):

\[ y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. \]

Dermed er ekstremalpunktet \((2, -1)\). Dette er et bunnpunkt siden \(a > 0\) og grafen er derfor konveks (den smiler \(\smile\)).

c

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 \]

Fasit

\[ f(x) = -(x - 2)^2 - 1 \]

Løsning

Vi vet at \(x_0 = 2\) og \(y_0 = -1\). Vi vet også at \(a = -1\), som betyr at

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = -(x - 2)^2 - 1. \]

Oppgave 4

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2(x - 1)^2 - 4 \]

a

Bestem ekstremalpunktet til \(f\) og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt.

Fasit

Bunnpunkt i \((1, -4)\).

Løsning

Vi kan lese av at ekstremalpunktet er \((1, -4)\) ved å sammenligne uttrykkene:

\[ a(x - x_0)^2 - 4 = 2(x - 1)^2 - 4 \]

som gir oss

\[ x_0 = 1 \and y_0 = -4. \]

Dette er et bunnpunkt siden \(a = 2 > 0\) og grafen er derfor konveks (den smiler \(\smile\)).

b

Bestem symmetrilinja til grafen til \(f\).

Fasit

\[ x_0 = 1 \]

c

Bestem hvor grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen.

Fasit

\[ (0, -2) \]

Løsning

For å avgjøre hvor grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen, setter vi \(x = 0\) i \(f(x)\):

\[ f(0) = 2(0 - 1)^2 - 4 = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2. \]

Dermed skjærer grafen til \(f\) \(y\)-aksen i punktet \((0, -2)\).

d

Lag en skisse av grafen til \(f\) der du markerer

Ekstremalpunktet
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Symmetrilinja

Fasit

Oppgave 5

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3x^2 - 12x + 9. \]

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = 3(x - 2)^2 - 3. \]

Løsning

Vi bestemmer symmetrilinja \(x_0\) til grafen først. Vi har at \(a = 3\) og \(b = -12\), som gir oss

\[ x_0 = -\dfrac{-12}{2 \cdot 3} = \dfrac{12}{6} = 2. \]

Så må vi regne ut \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = f(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 9 = 3 \cdot 4 - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3. \]

Dermed er ekstremalpunktet \((2, -3)\). Vi vet fra før av at \(a = 3\), så dermed får vi

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = 3(x - 2)^2 - 3. \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2x^2 + 8x - 6. \]

Bestem \(g(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ g(x) = -2(x - 2)^2 + 2. \]

Løsning

Vi bestemmer symmetrilinja \(x_0\) til grafen først. Vi har at \(a = -2\) og \(b = 8\), som gir oss

\[ x_0 = -\dfrac{8}{2 \cdot -2} = -\dfrac{8}{-4} = 2. \]

Så må vi regne ut \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = g(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 = -2 \cdot 4 + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2. \]

Dermed er ekstremalpunktet \((2, 2)\). Vi vet fra før av at \(a = -2\), så dermed får vi

\[ g(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = -2(x - 2)^2 + 2. \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = -x^2 + 4x - 5. \]

Bestem \(h(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ h(x) = -(x - 2)^2 - 1. \]

Løsning

Vi bestemmer symmetrilinja \(x_0\) til grafen først. Vi har at \(a = -1\) og \(b = 4\), som gir oss

\[ x_0 = -\dfrac{4}{2 \cdot -1} = -\dfrac{4}{-2} = 2. \]

Så må vi regne ut \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = h(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1. \]

Dermed er ekstremalpunktet \((2, -1)\). Vi vet fra før av at \(a = -1\), så dermed får vi

\[ h(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = -(x - 2)^2 - 1. \]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 2 \]

Bestem \(p(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ p(x) = \dfrac{1}{2}(x - 3)^2 - \dfrac{5}{2}. \]

Løsning

Vi bestemmer symmetrilinja \(x_0\) til grafen først. Vi har at \(a = \dfrac{1}{2}\) og \(b = -3\), som gir oss

\[ x_0 = -\dfrac{-3}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = -\dfrac{-3}{1} = 3. \]

Så må vi regne ut \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = p(3) = \dfrac{1}{2} \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = \dfrac{1}{2} \cdot 9 - 9 + 2 = \dfrac{9}{2} - 9 + 2 = \dfrac{9}{2} - \dfrac{18}{2} + \dfrac{4}{2} = -\dfrac{5}{2}. \]

Dermed er ekstremalpunktet \((3, -\dfrac{5}{2})\). Vi vet fra før av at \(a = \dfrac{1}{2}\), så dermed får vi

\[ p(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = \dfrac{1}{2}(x - 3)^2 - \dfrac{5}{2}. \]

Oppgave 6

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2(x - 1)^2 + 3. \]

Bestem \(f(x)\) på standardform.

Fasit

\[ f(x) = 2x^2 - 4x + 5. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesen og samler leddene:

\[\begin{align*} f(x) &= 2(x - 1)^2 + 3 \\ \\ &= 2(x^2 - 2x + 1) + 3 \\ \\ &= 2x^2 - 4x + 2 + 3 \\ \\ &= 2x^2 - 4x + 5. \end{align*}\]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -3(x + 2)^2 + 5. \]

Bestem \(g(x)\) på standardform.

Fasit

\[ g(x) = -3x^2 - 12x - 7. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesen og samler leddene:

\[\begin{align*} g(x) &= -3(x + 2)^2 + 5 \\ \\ &= -3(x^2 + 4x + 4) + 5 \ \\ &= -3x^2 - 12x - 12 + 5 \\ \\ &= -3x^2 - 12x - 7. \end{align*}\]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = -4(x - 3)^2 - 1. \]

Bestem \(h(x)\) på standardform.

Fasit

\[ h(x) = -4x^2 + 24x - 37. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesen og samler leddene:

\[\begin{align*} h(x) &= -4(x - 3)^2 - 1 \\ \\ &= -4(x^2 - 6x + 9) - 1 \\ \\ &= -4x^2 + 24x - 36 - 1 \\ \\ &= -4x^2 + 24x - 37. \end{align*}\]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = 5(x + 4)^2 + 2. \]

Bestem \(p(x)\) på standardform.

Fasit

\[ p(x) = 5x^2 + 40x + 82. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesen og samler leddene:

\[\begin{align*} p(x) &= 5(x + 4)^2 + 2 \\ \\ &= 5(x^2 + 8x + 16) + 2 \\ \\ &= 5x^2 + 40x + 80 + 2 \\ \\ &= 5x^2 + 40x + 82. \end{align*}\]

Oppgave 7

a

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = (x - 2)^2 - 9. \]

Løsning

Vi ser at grafen har et ekstremalpunkt i \((2, -9)\) som betyr at

\[ f(x) = a(x - 2)^2 - 9. \]

Vi trenger ett punkt til på grafen til \(f\) for å bestemme verdien til \(a\). Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -5)\) som betyr at

\[ f(0) = -5 \liff a(0 - 2)^2 - 9 = -5. \]

Det forenkler vi til

\[ 4a - 9 = -5 \liff 4a = 4 \liff a = 1. \]

Dermed er

\[ f(x) = (x - 2)^2 - 9. \]

b

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(g(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ g(x) = -2(x + 3)^2 + 2. \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(g\) har et ekstremalpunkt i \((-3, 2)\) som betyr at

\[ g(x) = a(x + 3)^2 + 2. \]

Vi trenger ett punkt til på grafen til \(g\) for å bestemme verdien til \(a\). Vi ser at grafen skjærer \(x\)-aksen i \((-2, 0)\) som betyr at

\[ g(-2) = 0 \liff a(-2 + 3)^2 + 2 = 0. \]

Vi forenkler dette til

\[ a + 2 = 0 \liff a = -2. \]

Dermed er

\[ g(x) = -2(x + 3)^2 + 2. \]

c

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(h(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ h(x) = (x + 1)^2 + 2. \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(h\) har et ekstremalpunkt i \((-1, 2)\) som betyr at

\[ h(x) = a(x + 1)^2 + 2. \]

Vi trenger ett punkt til på grafen til \(h\) for å bestemme verdien til \(a\). Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\) som betyr at

\[ h(0) = 3 \liff a(0 + 1)^2 + 2 = 3. \]

Vi forenkler dette til

\[ a + 2 = 3 \liff a = 1. \]

Dermed er

\[ h(x) = (x + 1)^2 + 2. \]

d

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(p(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ p(x) = -1(x - 2)^2 + 4. \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(p\) har et ekstremalpunkt i \((2, 4)\) som betyr at

\[ p(x) = a(x - 2)^2 + 4. \]

Vi trenger ett punkt til på grafen til \(p\) for å bestemme verdien til \(a\). Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 0)\) som betyr at

\[ p(0) = 0 \liff a(0 - 2)^2 + 4 = 0. \]

Vi forenkler dette til

\[ 4a + 4 = 0 \liff 4a = -4 \liff a = -1. \]

Dermed er

\[ p(x) = -1(x - 2)^2 + 4. \]

Oppgave 8

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x + 1)^2 - 2 \]

Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(f\).

Fasit

Graf C.

Løsning

Grafen til \(f\) har et ekstremalpunkt i \((-1, -2)\) og symmetrilinje i \(x = -1\). Videre er grafen konveks siden \(a = 1 > 0\). Dermed må grafen ha et bunnpunkt i \((-1, -2)\). Dette passer bare med graf C som derfor må være grafen til \(f\).

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = (x + 2)^2 + 1 \]

Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(g\).

Fasit

Graf B.

Løsning

Grafen til \(g\) har et ekstremalpunkt i \((-2, 1)\) og er konveks siden \(a = 1 > 0\). Dermed må grafen ha et bunnpunkt i \((-2, 1)\). Dette passer bare med graf A som derfor må være grafen til \(g\). Dette passer bare med graf B siden dette er den eneste grafen som er konveks og har et bunnpunkt med negativ \(x\)-koordinat og positiv \(y\)-koordinat.

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = 2(x - 2)^2 + 4 \]

Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(h\).

Fasit

Graf C.

Løsning

Grafen til \(h\) har et ekstremalpunkt i \((2, 4)\) og er konveks siden \(a = 2 > 0\). Dermed må grafen ha et bunnpunkt i \((2, 4)\). Graf C er den eneste grafen som er konveks og har positiv \(x\)-koordinat og positiv \(y\)-koordinat i bunnpunktet sitt, så derfor er graf C grafen til \(h\).

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -3(x - 3)^2 + 1 \]

Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(p\).

Fasit

Graf D.

Løsning

Grafen til \(p\) har et ekstremalpunkt i \((3, 1)\) og er konkav siden \(a = -3 < 0\). Dermed må grafen ha et toppunkt i \((3, 1)\). Graf D er den eneste grafen som har et toppunkt der begge koordinatene er positive. Derfor er graf D grafen til \(p\).

Oppgave 9

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2(x - 1)^2 - 8. \]

Lag en skisse av grafen til \(f\) der du markerer:

Ekstremalpunktet
Symmetrilinja
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -(x + 1)^2 + 4 \]

Lag en skisse av grafen til \(g\) der du markerer:

Ekstremalpunktet
Symmetrilinja
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = -2(x - 2)^2 + 3 \]

Lag en skisse av grafen til \(g\) der du markerer:

Ekstremalpunktet
Symmetrilinja
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = (x + 2)^2 + 3 \]

Lag en skisse av grafen til \(g\) der du markerer:

Ekstremalpunktet
Symmetrilinja
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Oppgave 10

a

Om en andregradsfunksjon \(f\) får du vite at

Grafen har et toppunkt i \((2, 3)\).
Grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 + 3. \]

Løsning

Siden vi kjenner til toppunktet på grafen, velger vi ekstremalpunktsform:

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 \]

Vi har at \((x_0, y_0) = (2, 3)\) som vi kan sette inn i uttrykket:

\[ f(x) = a(x - 2)^2 + 3. \]

Vi vet at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\) så vi setter inn \(x = 0\) i \(f(x)\) og bestemmer verdien til \(a\):

\[ f(0) = 1 \liff a(0 - 2)^2 + 3 = 1 \]

som vi forenkler til

\[ 4a + 3 = 1 \liff 4a = -2 \liff a = -\dfrac{1}{2}. \]

Dermed er

\[ f(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 + 3. \]

b

Om en andregradsfunksjon \(g\) får du vite at

Grafen har et bunnpunkt i \((1, -3)\).
Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((4, 0)\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = \dfrac{1}{3}(x - 1)^2 - 3. \]

Løsning

Siden vi kjenner til bunnpunktet på grafen, velger vi ekstremalpunktsform:

\[ g(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 \]

Vi vet at \((x_0, y_0) = (1, -3)\) som vi kan sette inn i uttrykket:

\[ g(x) = a(x - 1)^2 - 3. \]

Siden grafen skjærer \(x\)-aksen \((4, 0)\) så må har vi at

\[ g(4) = 0 \liff a(4 - 1)^2 - 3 = 0 \]

som vi forenkler til

\[ 9a - 3 = 0 \liff 9a = 3 \liff a = \dfrac{1}{3}. \]

Dermed er

\[ g(x) = \dfrac{1}{3}(x - 1)^2 - 3. \]

c

Om en andregradsfunksjon \(h\) får du vite at

Grafens symmetrilinje er \(x = -1\).
Grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 2)\).
Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((1, 0)\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = -\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 2. \]

Løsning

Vi velger standardform her siden vi bare kjenner til symmetrilinja (og ikke \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet) og hvor grafen skjærer \(y\)-aksen:

\[ h(x) = ax^2 + bx + c \]

Grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 2)\), så vi har at \(c = 2\).

Siden symmetrilinja er \(x_0 = -1\), så har vi at

\[ x_0 = -\dfrac{b}{2a} \liff -1 = -\dfrac{b}{2a} \liff b = 2a. \]

Nå kan vi sette inn uttrykket \(b\) og \(c\) i \(h(x)\) som gir

\[ h(x) = ax^2 + 2ax + 2. \]

Vi vet at grafen skjærer \(x\)-aksen i \((1, 0)\), så vi setter inn \(x = 1\) i \(h(x)\):

\[ h(1) = 0 \liff a \cdot 1^2 + 2a \cdot 1 + 2 = 0 \]

som vi forenkler til

\[ a + 2a + 2 = 0 \liff 3a + 2 = 0 \liff 3a = -2 \liff a = -\dfrac{2}{3}. \]

Så kan vi regne ut verdien til \(b\):

\[ b = 2a = 2 \cdot -\dfrac{2}{3} = -\dfrac{4}{3}. \]

Dermed er

\[ h(x) = -\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 2. \]

d

Om en andregradsfunksjon \(p\) får du vite at

Grafen har et ekstremalpunkt i \((0, 3)\).
Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((-3, 0)\).

Bestem \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = -\dfrac{1}{3}x^2 + 3. \]

Løsning

Vi velger ekstremalpunktsform siden vi kjenner til ekstremalpunktet:

\[ p(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 \]

Siden ekstremalpunktet er \((x_0, y_0) = (0, 3)\), så får vi

\[ p(x) = a(x - 0)^2 + 3 = ax^2 + 3. \]

Vi vet vet også at grafen skjærer \(x\)-aksen i \((-3, 0)\), så vi setter inn \(x = -3\) i \(p(x)\):

\[ p(-3) = 0 \liff a \cdot (-3)^2 + 3 = 0 \]

som vi forenkler til

\[ 9a + 3 = 0 \liff 9a = -3 \liff a = -\dfrac{1}{3}. \]

Dermed er

\[ p(x) = -\dfrac{1}{3}x^2 + 3. \]

Oppgave 11

a

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet

\[ (x - s)^2 + r = x^2 - 4x + 3 \]

Fasit

\[ s = 2 \and r = -1. \]

Løsning

Vi har at uttrykket på høyre side er på standardform med koeffisientene

\[ a = 1 \and b = -4 \and c = 3. \]

På venstre side vil \(s\) være symmetrilinja til grafen som er

\[ s = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2. \]

Så kan vi regne ut \(r\) ved å sette inn verdien for \(s\) i høyre side:

\[ r = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. \]

Dermed er likningen en identitet når

\[ s = 2 \and r = -1. \]

b

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen nedenfor er en identitet

\[ ax^2 + bx +c = -2(x + 1)^2 + 5 \]

Fasit

\[ a = -2 \and b= -4 \and c = 3. \]

Løsning

Vi ganger ut høyresiden og sammenligner leddene for å bestemme \(a\), \(b\) og \(c\):

\[ -2(x + 1)^2 + 5 = -2(x^2 + 2x + 1) + 5 = -2x^2 - 4x - 2 + 5 = -2x^2 - 4x + 3. \]

Dermed er

\[ a = -2 \and b= -4 \and c = 3. \]

c

Bestem \(k\), \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet

\[ -x^2 + 8x + 12 = k(x - s)^2 + r \]

Løsning

Vi ser at venstresiden er på standardform med koeffisientene

\[ a = -1 \and b = 8 \and c = 12. \]

Høyresiden er på ekstremalpunktsform der \(k\) er den ledende koeffisientene som betyr at

\[ k = a = -1 \]

Her er \(s\) symmetrilinja til grafen som er

\[ s = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2 \cdot -1} = -\dfrac{8}{-2} = 4. \]

Så setter vi inn verdien for \(s\) i venstresiden for å bestemme \(r\):

\[ r = -(4)^2 + 8 \cdot 4 + 12 = -16 + 32 + 12 = 28. \]

Dermed er likningen en identitet når

\[ k = -1 \and s = 4 \and r = 28. \]

d

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen nedenfor er en identitet

\[ \dfrac{1}{2}(x - 4)^2 + 3 = ax^2 + bx + c \]

Løsning

Vi ganger ut venstresiden og sammenligner leddene for å bestemme \(a\), \(b\) og \(c\):

\[ \dfrac{1}{2}(x - 4)^2 + 3 = \dfrac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) + 3 = \dfrac{1}{2}x^2 - 4x + 8 + 3 = \dfrac{1}{2}x^2 - 4x + 11. \]

Ved sammenlikning av leddene, får vi at

\[ a = \dfrac{1}{2} \and b = -4 \and c = 11. \]

Oppgave 12

I denne oppgaven skal du vise at \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\) er symmetrilinja til grafen til en andregradsfunksjon.

Bruk algebra til å bestemme \(x_0\) og \(y_0\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 + y_0 \]

Fasit

\[ x_0 = -\dfrac{b}{2a} \and y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a} \]

Løsning

Vi ganger ut høyresiden

\[ a(x - x_0)^2 + y_0 = a(x^2 - 2x_0x + x_0^2) + y_0 = ax^2 - 2ax_0x + ax_0^2 + y_0. \]

Hvis vi sammenlikninger leddene med \(ax^2 + bx + c\), så får vi

\[ a = a \and -2ax_0 = b \and ax_0^2 + y_0 = c. \]

Fra likningen i midten kan vi regne ut \(x_0\):

\[ -2ax_0 = b \liff x_0 = -\dfrac{b}{2a} \]

som er formelen for symmetrilinja. Deretter kan vi sette inn \(x_0\) i likningen til høyre som gir

\[ ax_0^2 + y_0 = c \liff a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + y_0 = c \]

som vi kan forenkle til

\[ \dfrac{b^2}{4a} + y_0 = c \liff y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a} \]

som er \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet.