Oppgaver: Formler

Oppgave 1

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. La \(S_n\) være antall sirkler i figur \(n\).

a

Bestem verdien til \(S_1\), \(S_2\) og \(S_3\) fra figurene.

Fasit

\[ S_1 = 4 \qog S_2 = 8 \qog S_3 = 12 \]

b

Bestem \(S_4\).

Fasit

\[ S_4 = 16 \]

c

Bestem en formel for \(S_n\).

Fasit

\[ S_n = 4n \qder n \in \mathbb{N} \]

d

Hvilken figur har \(120\) sirkler?

Fasit

Figur \(30\) har \(120\) sirkler siden \(S_{30} = 4 \cdot 30 = 120\).

---

Oppgave 2

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. La \(S_n\) være antall fargelagte kvadrater i figur \(n\).

a

Bestem verdien til \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) og \(S_4\) fra figurene.

Fasit

\[ S_1 = 6 \qog S_2 = 10 \qog S_3 = 14 \qog S_4 = 18 \]

b

Bestem en formel for \(S_n\).

Fasit

\[ S_n = 4n + 2 \qder n \in \mathbb{N} \]

c

Hvilken figur har \(82\) sirkler?

Fasit

Figur \(20\) har \(82\) sirkler siden \(S_{20} = 4 \cdot 20 + 2 = 82\).

---

Oppgave 3

En tallfølge \(a_n\) er gitt ved

\[ 4, 7, 10, 13, \ldots \]

a

Bestem det neste leddet i tallfølgen.

Fasit

Neste ledd i tallfølgen er \(16\).

b

Bestem en formel for \(a_n\).

Fasit

\[ a_n = 3n + 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

c

Hvilket ledd i tallfølgen har verdien \(100\)?

Fasit

Leddet \(n = 33\) har verdien \(100\) siden \(a_{33} = 3 \cdot 33 + 1 = 100\).

---

Oppgave 4

I denne oppgave skal du bestemme formlene til tallfølger.

a

En tallfølge \(a_n\) er gitt ved

\[ -1, 1, 3, 5, \ldots \]

Bestem en formel for \(a_n\).

Fasit

\[ a_n = 2n - 3 \qder n \in \mathbb{N} \]

b

En tallfølge \(b_n\) er gitt ved

\[ 6, 11, 16, 21, \ldots \]

Bestem en formel for \(b_n\).

Fasit

\[ b_n = 5n + 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

c

En tallfølge \(c_n\) er gitt ved

\[ 0, 3, 8, 15, \ldots \]

Bestem en formel for \(c_n\).

Fasit

\[ c_n = n^2 - 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

---

Oppgave 5

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. La \(R_n\) være antall prikker i figur \(n\).

a

Bestem verdien til \(R_5\).

Fasit

\[ R_5 = 30 \]

b

Bestem et uttrykk for \(R_n\).

Fasit

\[ R_n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

c

La \(T_n\) være antall prikker i figur \(n\) som er blå.

Bestem en formel for \(T_n\).

Fasit

\[ T_n = \dfrac{R_n}{2} = \dfrac{n(n + 1)}{2} \qder n \in \mathbb{N} \]

---

Oppgave 6

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. La \(F_n\) være antall fargelagte firkanter i figur \(n\).

---

Tips til oppgave 7

\(1 = (-1)^2 = (-1)^4 = (-1)^6 = \ldots\)

og

\(-1 = (-1)^3 = (-1)^5 = (-1)^7 = \ldots\)

Oppgave 7

a

En tallfølge \(a_n\) er gitt ved

\[ 1, -2, 4, -6, 8, -10, \ldots \]

Bestem en formel for \(a_n\).

Fasit

\[ a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2n \qder n \in \mathbb{N} \]

b

En tallfølge \(b_n\) er gitt ved

\[ -1, 4, -9, 16, -25, \ldots \]

Bestem en formel for \(b_n\).

Fasit

\[ b_n = (-1)^n \cdot n^2 \qder n \in \mathbb{N} \]

c

En tallfølge \(c_n\) er gitt ved

\[ 1, -3, 5, -7, 9, -11, \ldots \]

Bestem en formel for \(c_n\).

Fasit

\[ c_n = (-1)^{n+1} \cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

d

En tallfølge \(d_n\) er gitt ved

\[ 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots \]

Bestem en formel for \(d_n\).

Fasit

\[ d_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} \qder n \in \mathbb{N} \]