3.3. Ettpunktsform

Læringsmål

• Kunne representere en lineær funksjon på ettpunktsform og beskrive sammenhengen med den grafiske representasjonen.

• Kunne bytte fra en representasjon til en annen.

Hittil har vi sett på to måter å representere en lineær funksjon på, nemlig standardform $f(x) = ax + b$ og nullpunktsform $f(x) = a(x - x_0)$ . Standardform fortalte oss stigningen til grafen og hvor grafen skjærer gjennom \(y\)-aksen, mens nullpunktsform fortalte oss stigningen og hvor grafen skjærer gjennom \(x\)-aksen.

Her skal vi se på en tredje måte å representere en lineær funksjon som vi skal kalle for ettpunktsform. Denne måten å uttrykke en lineær funksjon forteller oss stigningen til grafen og ett punkt som grafen går gjennom. Vi kan se på denne måten å uttrykke funksjonen på som at vi bygger opp linja ved å starte fra ett punkt og så forteller stigningstallet oss hvilken retning vi skal tegne grafen i.

Ettpunktsform

En lineær funksjon \(f\) kan skrives på ettpunktsform som følger:

---

Utforsk 1

Nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\) i et interaktivt vindu der \(f(x)\) er skrevet på ettpunktsform

\[ f(x) = a\cdot (x - x_0) + y_0 \]

a

Undersøk hva som skjer med grafen til \(f\) når du justerer verdien til \(x_0\).

Gi en beskrivelse av hva som skjer med grafen.

b

Undersøk hva som skjer med grafen til \(f\) når du justerer verdien til \(y_0\).

Gi en beskrivelse av hva som skjer med grafen.

c

Undersøk hva som skjer med grafen til \(f\) når du justerer verdien til \(a\).

Er det noen forskjell fra standardform og nullpunktsform? Kan du fortsatt lese av verdien til \(a\) på samme måte som før?

---

Underveisoppgave 1

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2\cdot (x - 1) + 3 \]

Hvilken av grafene nedenfor viser grafen til \(f\)?

Fasit

Graf B

Løsning

Fra ettpunktsformen til \(f(x)\) kan vi lese av at grafen må gå gjennom punktet \((1, 3)\). Dette passer med graf A, B og C. Stigningstallet til \(f\) er \(a = 2\) som eliminerer graf A siden den har negativ stigning. Sjekker vi stigningstallet til graf B er stigningstallet \(a = 2\), mens stigningstallet til graf C er \(a = 1\).

Dermed er graf B grafen til \(f\).

---

Underveisoppgave 2

Nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\) på ettpunktsform med utgangspunkt i punktet på grafen når \(x_0 = 1\).

Fasit

\[ f(x) = -3 \cdot (x - 1) - 4 \]

Løsning

Stigningstallet til grafen kan vi lese av som \(a = -3\) ved å se at funksjonsverdien til \(f(x)\) synker med \(3\) når \(x\) øker med \(1\). For eksempel kan vi se dette ved at grafen går gjennom punktene \((-1, 2)\) og \((0, -1)\).

Når \(x_0 = 1\) er \(y_0 = -4\) som betyr at vi kan skrive \(f(x)\) på ettpunktsform som:

\[ f(x) = a \cdot (x - x_0) + y_0 = -3 \cdot (x - 1) - 4 \]

Ettpunktsformelen

Ettpunktsformen til en lineær funksjon er en måte å uttrykke en sammenheng som kalles for ettpunktsformelen. Vi skal se nærmere på denne sammenhengen nå.

Ettpunktsformelen

En linje som har stigningstall \(a\) og går gjennom et punkt \((x_0, y_0)\), så kan vi skrive likningen for linja som

\[ y = a\cdot(x - x_0) + y_0 \]