3.2. Nullpunktsform

Læringsmål

• Kunne representere og tolke en lineær funksjon på nullpunktsform.

• Kunne bytte mellom nullpunktsform og standardform.

Vi har så langt sett at vi kan representere en lineær funksjon \(f\) på standardform Standardformen til en lineær funksjon er $$f(x) = ax + b$$ . Standardformen forteller oss grafisk hvor mye grafen stiger eller synker, og hvor den skjærer \(y\)-aksen. Her skal vi se på en annen representasjonsform som vi skal kalle for nullpunktsform. Denne vil også fortelle oss hvor mye grafen til \(f\) stiger eller synker, men vil i stedet fortelle oss hvor grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen fremfor \(y\)-aksen.

Nullpunktsform

Nullpunktsform

En lineær funksjon \(f\) kan skrives på nullpunktsform som følger:

---

Utforsk 1

Nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\) i et interaktivt vindu der \(f(x)\) er skrevet på nullpunktsform

\[ f(x) = a \cdot \left(x - x_1\right) \]

a

Undersøk hva som skjer med grafen til \(f\) når du justerer verdien til \(x_1\).

Hvordan kan du lese av hvilken verdi \(x_1\) har fra grafen til \(f\)?

Løsning

Vi kan lese verdien til \(x_1\) ved å se på \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og \(x\)-aksen.

b

Undersøk hva som skjer med grafen til \(f\) når du justerer verdien til \(a\).

Kan du fortsatt lese av verdien til \(a\) på samme måte som når vi bruke standardform?

Løsning

Stigningstallet \(a\) kan leses av på samme måte som før ved å se på hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi øker verdien til \(x\) med \(1\).

---

Quiz 1

---

Underveisoppgave 1

Nedenfor vises nullpunktsformen til en lineær funksjon \(f\) som er gitt ved

\[ f(x) = 3\cdot (x - 1) \]

Hvilken av grafene nedenfor tilhører \(f\)?

Fasit

Graf C

Løsning

Nullpunktet til \(f\) er \(x_1 = 1\) og stigningstallet er \(3\). Vi kan lese av at graf A og C skjærer \(x\)-aksen i \(x = 1\) som passer med opplysningene om \(f\). Men graf A har negativt stigningstall, mens graf C har positivt stigningstall. Dermed må graf C være grafen til \(f\).

---

Underveisoppgave 2

Nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = -2\cdot (x - 3) \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x_1 = 3\), som betyr at dette er nullpunktet til \(f\). Stigningstallet kan vi lese av til å være \(a = -2\) siden \(f(x)\) synker med \(2\) når \(x\) øker med \(1\). Dermed kan vi skrive

\[ f(x) = a \cdot (x - x_1) = -2\cdot (x - 3). \]

---

Fra standardform til nullpunktsform – og omvendt

Dersom vi kjenner til \(f(x)\) på standardform, kan vi skrive den om til nullpunktsform ved å faktorisere ut stigningstallet \(a\):

Eksempel 1

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2\cdot x + 4. \]

Bestem nullpunktsformen til \(f(x)\).

Løsning

Vi starter med \(f(x)\) på standardform og så faktoriserer vi ut stigningstallet \(a = 2\) fra alle leddene:

\[\begin{align*} f(x) &= 2\cdot x + 4 \\ \\ &= \textcolor{red}{2}\cdot x + \textcolor{red}{2}\cdot 2 \\ \\ &= \textcolor{red}{2}\cdot \left(x + 2\right) \\ \end{align*}\]

Dermed er nullpunktsformen til \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = 2\cdot \left(x + 2\right) = 2\cdot \left(x - (-2)\right). \]

Dette betyr også at nullpunktet til \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 0 \liff x = -2. \]

---

Underveisoppgave 3

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -3\cdot x + 6 \]

a

Bestem nullpunktsformen til \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -3\cdot \left(x + 2\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} f(x) &= -3\cdot x + 6 \\ \\ &= \textcolor{red}{-3}\cdot x + \left(\textcolor{red}{-3}\right)\cdot (-2) \\ \\ &= \textcolor{red}{-3}\cdot \left(x - (-2)\right) \\ \\ &= -3\cdot \left(x + 2\right) \end{align*}\]

b

Bestem nullpunktet til \(f\).

Fasit

\[ x = -2 \]

Løsning

Siden nullpunktsformen til \(f(x)\) er gitt ved

\[ f(x) = -3 \cdot (x + 2) = -3 \cdot (x - (-2)), \]

betyr det at nullpunktet til \(f\) er gitt ved

\[ x = -2. \]